Calculatrice de puissance

bⁿ = b × b × … × b (n facteurs) b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)

b

La base, le nombre que l’on multiplie par lui-même. C’est un nombre pur, sans unité, et il a le droit d’être négatif, décimal ou nul — chacun de ces cas a sa propre règle plus bas. Une base négative n’est valide qu’avec un exposant entier, parce qu’une racine d’indice pair d’un nombre négatif n’est pas réelle.

n

L’exposant, le nombre de fois que la base apparaît dans le produit. C’est ici un nombre réel et non seulement un entier : une fraction signifie une racine (un exposant de 0,5 est la racine carrée, un exposant de 0,3333 en est proche de la racine cubique), et un signe moins signifie l’inverse de la puissance positive.

bⁿ

La puissance elle-même, la lecture principale. Elle est donnée en notation scientifique dès qu’elle sort de la plage allant de 0,001 à un million : 2⁶⁴ s’affiche donc comme une mantisse et un exposant de dix plutôt que comme un entier de vingt chiffres. Rien n’est plafonné ici, le seul plafond étant ce qu’un nombre en double précision peut contenir.

b × b × … × b

La forme développée, la même expression écrite comme une multiplication répétée. Les produits de plus de six facteurs sont abrégés par des points de suspension ; en deçà ils sont écrits en entier, ce qui fait que 3 à la puissance 4 montre ses quatre facteurs et que 2 à la puissance 10 n’en montre pas dix.

b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)

Ce que fait un exposant négatif : il prend l’inverse de la puissance positive, un divisé par le produit. 2 à la puissance −3 vaut 1 ÷ 8, et non −8. C’est la mauvaise lecture la plus répandue de cette notation, et c’est pourquoi la forme développée vaut la peine d’être affichée — l’inverse y est visible, et nulle part ailleurs sur la page.

b⁰ = 1

Toute base non nulle élevée à la puissance zéro vaut 1, et la forme développée le dit en affichant un 1 seul plutôt qu’un produit vide. La règle de descente l’impose — chaque division par la base doit continuer à fonctionner quand l’exposant baisse de un, et b ÷ b vaut 1 —, si bien que 7⁰ = 1 n’est pas une convention choisie par la page. Zéro puissance zéro est le seul cas que cette règle ne tranche pas, et il est refusé.

0,5 en exposant

Un exposant fractionnaire est une racine : élever un nombre à la puissance 0,5 donne la racine carrée, à la puissance un tiers la racine cubique. C’est ce qui fait refuser ici une base négative avec un exposant fractionnaire — la racine cubique d’un nombre négatif est parfaitement réelle, mais le chemin de calcul qui passe par une puissance ne l’est pas, et la calculatrice de racine est la page qui connaît la différence.

Cette page sert chaque fois qu’un nombre est multiplié par lui-même un nombre fixé de fois et que c’est le résultat que l’on cherche : une croissance composée écrite comme un facteur unique plutôt que comme une chaîne de multiplications, un doublement répété un certain nombre de fois, un facteur d’échelle appliqué encore et encore, la probabilité qu’un même événement se reproduise plusieurs fois de suite, la taille d’une unité de stockage exprimée en puissance de deux. C’est aussi la page des deux notations que l’on confond — le produit écrit en entier et la puissance écrite court —, parce qu’elle affiche les deux d’un coup : la forme développée est la définition et la puissance est la valeur, et les voir côte à côte est ce qui rend l’exposant négatif lisible. Prenez la calculatrice de racine quand l’exposant est l’inconnue et qu’une racine est demandée, car les cas négatifs et fractionnaires y ont leurs propres règles. Prenez la calculatrice de croissance exponentielle quand la base est fixe et dérivée d’un taux, ce qui est la forme de toute question d’intérêt ou de population. Prenez la calculatrice de logarithme quand la puissance est connue et que c’est l’exposant que vous voulez : c’est la même relation lue à l’envers.

1. 2 puissance 10

   1. La base vaut 2 et l’exposant 10, donc dix facteurs de 2 sont multipliés entre eux
   2. Par paquets : 2 × 2 = 4, puis 4 × 4 = 16, puis 16 × 16 = 256, ce qui fait huit facteurs
   3. Il reste deux facteurs : 256 × 2 × 2 = 1 024
   4. Le produit compte plus de six facteurs, la forme développée est donc abrégée en 2 × 2 × … × 2

   C’est la ligne sur laquelle se termine le tableau de référence, et le seul nombre de cette page qui vaut la peine d’être su par cœur : un kilooctet vaut 1 024 octets à cause d’elle. L’abréviation de la seconde lecture n’est pas un manque de place — dix facteurs et des points de suspension portent exactement la même information que dix facteurs écrits en entier, et le compte est déjà dans l’exposant que vous avez saisi.

2. 2 puissance −3

   1. L’exposant est négatif, la réponse est donc l’inverse de la puissance positive
   2. La puissance positive d’abord : 2 × 2 × 2 = 8
   3. L’inverse de 8 vaut 1 ÷ 8 = 0,125
   4. La forme développée affiche l’inverse lui-même, la division y est donc visible : 1 ÷ (2 × 2 × 2)

   Le cas sur lequel la forme développée gagne sa place. Un lecteur qui prend le signe moins pour un résultat négatif attend −8 et reçoit 0,125 ; la lecture 1 ÷ (2 × 2 × 2) est ce qui rend l’inverse évident au lieu d’être une chose à retenir. C’est aussi la lecture qui dit que la réponse devait forcément être plus petite que 1, puisque diviser un par un nombre supérieur à un ne peut rien donner d’autre.

3. 1,05 puissance 4

   1. Quatre facteurs de 1,05 sont multipliés entre eux, ce qui représente quatre années de croissance à 5 pour cent
   2. Deux facteurs : 1,05 × 1,05 = 1,1025
   3. Quatre facteurs : 1,1025 × 1,1025 = 1,21550625
   4. La puissance est affichée avec six décimales, elle se lit donc 1,215506

   La forme sous laquelle cette page est utilisée le plus souvent hors de la salle de classe : une base décimale juste au-dessus de 1, un exposant qui compte des périodes. Quatre facteurs donnent 1,2155, ce qui revient à dire que la quantité a augmenté de 21,55 pour cent sur les quatre périodes — c’est de ce taux de croissance que la calculatrice de croissance exponentielle dérive la base, et elle en donne le pourcentage directement au lieu de vous laisser soustraire un.

4. 7 puissance 0

   1. Un exposant nul signifie que le produit est vide — aucun facteur de 7 n’est multiplié
   2. Un produit vide vaut 1, qui est l’élément neutre de la multiplication : multiplier par lui ne change rien
   3. La règle de descente est d’accord : 7¹ ÷ 7 = 1, et 7⁰ ÷ 7 = 7⁻¹, donc 7⁰ doit valoir 1 pour que la suite reste cohérente
   4. La forme développée affiche le 1 seul plutôt qu’une multiplication vide

   L’entrée dont on attend le plus souvent 0, et qu’on devine le plus souvent ainsi. Rien n’est multiplié, donc rien ne peut en sortir — mais 1 est la valeur qui laisse toutes les puissances voisines correctes, et c’est pourquoi la définition est celle du produit vide et non celle de l’intuition. Le tableau de référence s’ouvre sur 2⁰ = 1 pour la même raison.

5. −2 puissance 3

   1. La base est négative et l’exposant est un nombre entier, ce qui est la combinaison autorisée
   2. −2 × −2 = 4, puisque multiplier deux négatifs donne un positif
   3. 4 × −2 = −8
   4. Le nombre de facteurs négatifs est impair, le signe de la réponse est donc négatif

   Une base négative n’est pas refusée — seule une base négative avec un exposant fractionnaire l’est, parce que c’est là que la réponse cesse d’être un nombre réel. Le signe du résultat suit la parité de l’exposant, ce que la forme développée rend comptable : trois facteurs de −2 se groupent une fois et laissent un facteur négatif de reste. Changez l’exposant pour 4 et la réponse devient +16.

Cette page élève un nombre à une puissance et rien d’autre. Elle n’additionne pas les puissances, ne les multiplie pas entre elles et n’en combine pas deux — les règles de calcul sur les exposants sont énoncées dans le bloc de formule et appliquées à la main, ce qui est délibéré, puisque la page n’a pas de seconde base sur laquelle les appliquer. Elle ne prend pas de logarithme : connaissant une puissance et une base, trouver l’exposant est la question inverse et appartient à la calculatrice de logarithme. Une base négative n’est acceptée qu’avec un exposant entier, et ce refus n’est pas une impossibilité de calculer — la racine cubique de −8 vaut bien −2 — mais une décision d’orientation, parce que l’arithmétique qui la produirait est une racine et non une puissance, et que la calculatrice de racine est la page qui porte cette règle. Le résultat est calculé en double précision et n’est exact que là où la double précision l’est : les nombres entiers y sont représentés exactement jusqu’à 2⁵³, et au-delà un entier revient avec des entiers voisins indiscernables de lui. L’exposant est borné à ±64 et la base à un million, ce qui sont des plages d’affichage et non des limites mathématiques — le vrai plafond est le point où le résultat cesse d’être un nombre représentable, et l’atteindre déclenche une erreur au lieu d’afficher un infini. La forme développée est abrégée au-delà de six facteurs : c’est donc une lecture de la multiplication et non sa transcription complète.

Que signifie un exposant négatif ?

Il signifie l’inverse de la puissance positive, et non un nombre négatif. 2 avec un exposant de −3 vaut 1 ÷ (2 × 2 × 2), soit 0,125 — la réponse est plus petite que 1 et non en dessous de zéro. La forme développée de cette page affiche la division au lieu du seul résultat, parce que le signe moins est le seul élément de cette notation que l’on lit régulièrement à l’envers.

Pourquoi un nombre élevé à la puissance zéro vaut-il 1 ?

Parce qu’un exposant nul signifie un produit vide, et qu’un produit vide est l’élément neutre de la multiplication, c’est-à-dire 1. La règle de descente dit la même chose : chaque fois que l’exposant baisse de un, la valeur est divisée par la base, et faire descendre 7¹ = 7 d’un cran donne 7 ÷ 7 = 1. Ce n’est jamais 0 — rien n’a été multiplié, donc rien ne peut en sortir.

Que vaut zéro puissance zéro ?

Cela n’a pas de valeur définie, et cette page le dit au lieu d’en afficher une. Deux règles s’y heurtent : toute base non nulle à la puissance zéro vaut 1, et zéro à n’importe quel exposant positif vaut 0. Le langage renvoie 1 pour cette expression, mais c’est une décision prise pour la cohérence de ses propres opérations et non un résultat mathématique, et c’est pourquoi la page la refuse au lieu de la reprendre à son compte.

Puis-je utiliser un exposant fractionnaire comme 0,5 ?

Oui, avec une base positive — un exposant de 0,5 est la racine carrée, donc 2 puissance 0,5 vaut 1,414214. Une base négative avec un exposant fractionnaire est refusée, parce que cette réponse n’est pas un nombre réel : l’arithmétique derrière une puissance fractionnaire passe par un logarithme, et le logarithme d’un nombre négatif n’existe pas dans les réels. Les racines d’indice impair d’un nombre négatif, elles, sont réelles, et la calculatrice de racine est la page qui connaît la différence.

Pourquoi la forme développée s’arrête-t-elle à six facteurs ?

Parce qu’au-delà, les points de suspension portent exactement autant d’information que le produit entier. 2⁶⁴ écrit en toutes lettres, c’est plus de cent caractères du même facteur répété, et le compte est déjà dans l’exposant que vous avez saisi : abréger en 2 × 2 × … × 2 ne perd donc rien. En deçà de six facteurs la multiplication est écrite en entier, ce qui fait que 3 puissance 4 montre bien ses quatre facteurs.

À partir de quand la réponse passe-t-elle en notation scientifique ?

Dès qu’elle sort de la plage allant de 0,001 à un million. À l’intérieur de cette fenêtre le nombre est imprimé en écriture décimale ordinaire, parce qu’un lecteur embrasse 9 375 d’un coup d’œil alors qu’il devrait d’abord traduire 9,375 × 10³. En dehors, la mantisse et l’exposant de dix sont donnés tous les deux, si bien que 2⁶⁴ se lit 1,844674 × 10¹⁹ plutôt qu’un entier de vingt chiffres dont l’ordre de grandeur reste invisible.

• Power — the definition of a power as repeated multiplication, together with the rules for negative and fractional exponents — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the operation itself, including the reciprocal rule for negative exponents and the treatment of the indeterminate case 0⁰ — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the arithmetic of powers across number systems, and the reason a negative base with a non-integer exponent has no real value — Wikipedia