Calculatrice de logarithme

log_b(x) = ln x / ln b b^y = x ⟺ y = log_b(x)

x

L’argument, le nombre dont on prend le logarithme. Il doit être positif : le logarithme de 0 file vers moins l’infini, et le logarithme d’un nombre négatif n’est pas un nombre réel du tout, si bien que la page refuse les deux au lieu d’afficher une valeur qui ressemble à une réponse.

b

La base, le nombre que l’on élève à une puissance. Elle doit être positive et ne peut pas valoir 1, parce que 1 élevé à n’importe quelle puissance vaut encore 1 : le seul argument qui ait un logarithme en base 1 est 1 lui-même, ce qui est une affirmation sur 1 et non sur l’argument, si bien que l’équation cesse de porter une information et que la page le dit.

log_b(x)

Le logarithme dans la base que vous avez saisie, la lecture principale. C’est l’exposant qui transforme la base en argument : le logarithme de 1 000 en base 10 vaut 3 parce que 10 au cube vaut 1 000. Lu à l’envers, c’est aussi le nombre de fois qu’il faut multiplier la base par elle-même, ce qui fait du logarithme l’outil naturel de tout ce qui se multiplie de façon répétée.

ln x

Le logarithme népérien, le logarithme en base e, où e vaut environ 2,718281828. Il est calculé avec la base fixée à e quelle que soit la base saisie, et c’est le logarithme dans lequel s’écrivent l’analyse et la croissance continue. La demi-vie et la croissance exponentielle se lisent directement dessus.

lg x

Le logarithme décimal, le logarithme en base 10, lui aussi calculé quelle que soit la base saisie. C’est le logarithme des ordres de grandeur, ce qui explique sa présence derrière le pH, les décibels et l’échelle de Richter. Les manuels français le notent log plutôt que lg, mais la notation lg est conservée ici pour ne pas le confondre avec un logarithme de base quelconque. Lorsque la base saisie vaut 10, cette colonne et la colonne principale affichent le même nombre : c’est le but recherché et non un doublon.

1. Le logarithme de 1 000 en base 10

   1. Base 10, argument 1 000 : un logarithme décimal
   2. 10 × 10 × 10 = 1 000, donc la base doit être multipliée par elle-même trois fois
   3. Le logarithme vaut 3, et il est exact plutôt qu’arrondi
   4. La colonne du logarithme décimal affiche elle aussi 3, parce que la base saisie vaut déjà 10

   Le cas avec lequel la page est le plus souvent ouverte, et la démonstration la plus nette qu’un logarithme est un exposant et non un bouton. Le logarithme népérien du même argument vaut 6,907755, et les deux nombres ne sont pas concurrents : ils comptent le même fait dans deux bases différentes, et l’un se déduit de l’autre en divisant par le logarithme de la nouvelle base.

2. Le logarithme de 1 024 en base 2

   1. Base 2, argument 1 024 : la base dans laquelle on compte en informatique
   2. Doubler dix fois : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024
   3. Le logarithme vaut donc 10, et 2 puissance 10 vaut exactement 1 024
   4. Le changement de base donne la même chose : ln 1 024 ÷ ln 2 = 6,931472 ÷ 0,693147

   Le cas de la base 2 est celui où le logarithme cesse d’être un objet scolaire pour devenir une grandeur que l’on compte : la réponse est le nombre de doublements nécessaires, ce qui explique sa présence aussi bien dans les préfixes binaires que dans la profondeur d’un arbre équilibré. À noter que la colonne du logarithme décimal affiche 3,0103 et non 3 : 1 024 dépasse un peu mille, et ce dépassement est exactement ce que la partie décimale enregistre.

3. Le logarithme de 0,5 en base 2

   1. L’argument est inférieur à 1, donc le logarithme est négatif
   2. 2 puissance −1 vaut 1 ÷ 2 = 0,5
   3. Le logarithme vaut exactement −1
   4. Toutes les colonnes sont négatives ici, y compris les deux logarithmes nommés

   La moitié de la page qu’un lecteur a le plus de chances de rater à la main : un argument inférieur à 1 donne un logarithme négatif, et le logarithme passe exactement par 0 pour un argument de 1. Aucun argument autre que 1 n’a un logarithme nul, quelle que soit la base, ce qui est le moyen le plus rapide de contrôler une réponse suspecte.

L’argument doit être un nombre réel strictement positif. Zéro et les arguments négatifs sont refusés plutôt que traités : le premier file vers moins l’infini et le second est un nombre complexe, et ni l’un ni l’autre n’est affichable ici. La base doit être positive et différente de 1, pour la raison donnée plus haut et non par simple convention d’écriture. La page affiche six décimales : c’est une limite d’affichage et non de précision, car l’arithmétique sous-jacente travaille en double précision et le changement de base est évalué en virgule flottante, si bien qu’un logarithme qui devrait être entier peut sortir à une fraction près avant d’être arrondi pour l’affichage. C’est un outil sur les nombres réels : les logarithmes complexes, les logarithmes d’arguments complexes et les coupures de branche qui les accompagnent sont hors de son domaine. Le vocabulaire employé est celui de l’usage français : ln pour le logarithme népérien et lg pour le logarithme décimal, que les manuels notent souvent log. Enfin la page ne trace, ne dérive et n’intègre rien, et le tableau de référence ne liste que des logarithmes entiers.

Qu’est-ce qu’un logarithme ?

C’est l’exposant qui transforme la base en argument. Demander le logarithme de 1 000 en base 10 revient à demander à quelle puissance il faut élever 10 pour obtenir 1 000, et la réponse est 3. Telle est la définition entière : b élevé à la puissance log base b de x donne x. Tout le reste — les règles sur les produits, les quotients et les puissances — découle de cette phrase, et c’est pourquoi la page imprime la forme exponentielle sous la formule.

Pourquoi la base ne peut-elle pas valoir 1 ?

Parce que 1 élevé à n’importe quelle puissance vaut encore 1. En base 1, l’équation 1 puissance y égale x n’a de solution que pour x égal à 1, et alors tous les y conviennent : le logarithme ne serait pas un nombre unique. Le calcul le montre par l’autre bout : le changement de base divise par le logarithme de la base, et le logarithme de 1 vaut 0 dans toutes les bases, donc la division se fait par zéro. La page refuse la base 1 au lieu de renvoyer ce que la division en virgule flottante veut bien produire.

Peut-on prendre le logarithme d’un nombre négatif ?

Pas comme nombre réel, et pas sur cette page. Le logarithme d’un argument négatif est complexe, et cet outil travaille sur les nombres réels. Zéro est refusé pour une autre raison : le logarithme de 0 n’est pas indéfini mais non borné, il file vers moins l’infini quand l’argument s’approche de 0 par valeurs supérieures, et moins l’infini n’est pas un nombre affichable. Les deux refus nomment l’argument qui les a provoqués.

Quelle est la différence entre ln et lg ?

C’est la même opération dans deux bases nommées. ln est le logarithme népérien, en base e, où e vaut environ 2,718281828 ; lg est le logarithme décimal, en base 10. La page affiche les deux quelle que soit la base saisie, parce qu’aucun n’est un cas particulier de l’autre et que les deux sont demandés par leur nom. ln est celui qui apparaît en analyse et dans la croissance continue, lg celui qui se cache derrière le pH, les décibels et toute échelle mesurée en ordres de grandeur.

Pourquoi la page affiche-t-elle deux fois le même nombre ?

Parce que vous avez saisi une base qui correspond à l’un des logarithmes nommés. Avec une base de 10, la colonne principale et la colonne du logarithme décimal portent le même nombre ; avec une base de e, c’est la colonne principale et celle du logarithme népérien. Ce n’est pas un calcul dupliqué mais une confirmation : c’est ainsi que le lecteur voit que la base qu’il a tapée est bien celle du logarithme qu’il avait en tête. Toute autre base donne trois nombres différents.

Comment vérifier un logarithme à la main ?

Élevez la base à la réponse et regardez si vous retrouvez l’argument. Pour le logarithme de 1 024 en base 2, la réponse est 10 et 2 puissance 10 vaut 1 024 : c’est vérifié. Avec une réponse fractionnaire, le contrôle fonctionne encore mais se fait difficilement de tête, et c’est là que le changement de base imprimé dans la section des formules rend service : diviser deux logarithmes que l’on a déjà est plus simple que de chercher l’exposant.

• Logarithm — the definition, the change of base formula this page computes with, and the domain restrictions on the base and the argument — Wolfram MathWorld (United States)
• Natural Logarithm — the base-e logarithm, including the series and the derivative that make it the logarithm of calculus — Wolfram MathWorld (United States)
• Common Logarithm — the base-10 logarithm and its history as the logarithm of tables and orders of magnitude — Wolfram MathWorld (United States)