Calculatrice d’antilogarithme

x = b^y (b la base, y le logarithme, x l’argument)

y

Le logarithme, l’exposant dont vous partez. Toute valeur comprise entre moins mille et mille est acceptée, et une valeur négative n’est pas un cas particulier : un exposant de −2 en base 10 donne 0,01, une réponse inférieure à 1, ce qui est exactement le sens d’un logarithme négatif. Les exposants fractionnaires sont acceptés eux aussi, et produisent le plus souvent un argument irrationnel.

b

La base, le nombre que l’on élève à une puissance. Elle doit être positive, et elle ne doit pas valoir 1. La base 1 échoue ici de façon plus fâcheuse encore que sur la page du logarithme : calculée à rebours, 1 élevé à n’importe quelle puissance redonne silencieusement 1, si bien qu’une calculatrice dépourvue de ce garde-fou afficherait un argument de 1 pour tout logarithme saisi. Les bases inférieures à 1 sont acceptées ; elles décrivent une décroissance et non une croissance.

b^y

La puissance elle-même, l’opération que cette page exécute. Tout ce que fait la page tient en une seule exponentiation, à laquelle s’ajoutent deux contrôles de débordement qui décident si le résultat est un nombre réellement affichable. Élever la base à l’exposant revient à faire monter la base sur une droite de puissances, ce qui explique qu’une variation modeste de l’exposant produise une variation considérable de la réponse.

x

L’argument, le nombre dont le logarithme initial avait été pris, et l’unique sortie de la page. Il est toujours positif, puisqu’une base positive élevée à n’importe quelle puissance est positive — contrairement à la page du logarithme, il n’y a donc ici ni zéro ni nombre négatif à rejeter. Lorsque le logarithme saisi vaut exactement 0, l’argument vaut 1, et ce pour toute base, car tout nombre élevé à la puissance zéro donne un.

1. L’antilogarithme de 3 en base 10

   1. Élevez la base à la puissance du logarithme : 10 puissance 3
   2. 10 × 10 × 10 = 1 000
   3. L’argument vaut 1 000, exactement
   4. Vérification sur la page du logarithme : le logarithme de 1 000 en base 10 vaut 3

   C’est ici que le couple de pages se voit le mieux. La calculatrice de logarithme prend 1 000 et renvoie 3 ; cette page prend 3 et renvoie 1 000. Aucune des deux réponses n’est une approximation, et la vérification tient en une seule exponentiation, dans un sens comme dans l’autre. Quelle que soit celle des deux valeurs que l’énoncé vous donne, vous pouvez atteindre l’autre.

2. L’antilogarithme d’un logarithme négatif

   1. Un exposant négatif signifie l’inverse de la puissance positive correspondante
   2. 10 puissance 2 vaut 100, donc 10 puissance −2 vaut 1 ÷ 100
   3. L’argument vaut 0,01
   4. Un argument inférieur à 1 signifie toujours que le logarithme était négatif

   La moitié de ce que l’on demande à un antilogarithme, et celle que l’on rate le plus souvent à la main. Tout logarithme négatif donne un argument compris entre 0 et 1 — jamais zéro et jamais un nombre négatif, puisqu’aucune puissance d’une base positive n’atteint ces valeurs. L’argument exactement égal à 1 est la frontière, et il correspond à un logarithme nul.

3. L’antilogarithme d’un logarithme fractionnaire

   1. Décomposez l’exposant : 10 puissance 2,5, c’est 10 au carré multiplié par la racine carrée de 10
   2. 10 au carré vaut 100 et la racine carrée de 10 vaut environ 3,162278
   3. 100 × 3,162278 = 316,227766
   4. La valeur exacte est irrationnelle, la réponse est donc arrondie à six décimales

   C’est la ligne qui sépare la table de logarithmes du logarithme lui-même : 2,5 n’est pas un entier, l’antilogarithme n’en est donc pas un non plus. Écrit exactement, il vaut 100√10, un nombre irrationnel qu’aucun nombre de décimales n’épuisera. Les six décimales affichées sont une limite de l’affichage et non la valeur elle-même.

La base doit être positive et ne peut pas valoir 1, pour la raison exposée plus haut : calculée dans ce sens, la base 1 renvoie silencieusement 1 pour toute entrée, et c’est le défaut que cette page doit le plus éviter. Le logarithme est limité à plus ou moins mille. En dehors de cet intervalle, l’argument dépasserait ce que l’arithmétique en double précision sait représenter — environ 10³⁰⁸ dans un sens comme dans l’autre — et la page refuse l’entrée plutôt que d’afficher l’infini. L’autre extrémité de cette même limite compte davantage : une base de 10⁻¹⁵ élevée à la puissance 100 passe sous les capacités de la virgule flottante, et zéro a alors l’air d’une réponse parfaitement ordinaire, alors qu’aucun logarithme n’a zéro pour argument. Ce passage à zéro est refusé lui aussi. Le résultat est arrondi à six décimales pour l’affichage. Les bases inférieures à 1 sont acceptées et donnent des arguments inférieurs à 1, ce qui relève de la décroissance et non de l’erreur. Les bases négatives sont refusées d’emblée : une base négative élevée à une puissance entière donne un réel, mais élevée à une puissance fractionnaire elle n’en donne pas, et comme la page accepte les exposants fractionnaires, elle n’accepte ni l’un ni l’autre.

Qu’est-ce qu’un antilogarithme ?

C’est le nombre dont un logarithme avait été pris. Le logarithme de 1 000 en base 10 vaut 3, donc l’antilogarithme de 3 en base 10 vaut 1 000. Sous forme de formule, l’antilogarithme de y en base b vaut b élevé à la puissance y. Le nom vient des tables imprimées, où l’on cherchait le logarithme dans un sens et son antilogarithme dans l’autre.

L’antilogarithme est-il la même chose que l’inverse du logarithme ?

Oui. « Inverse du logarithme » est le nom le plus parlant : les deux opérations se neutralisent, si bien qu’appliquer un logarithme puis son inverse redonne le nombre de départ. En pratique, l’inverse d’un logarithme décimal s’écrit 10 puissance x, et l’inverse d’un logarithme népérien s’écrit e puissance x. Cette calculatrice calcule cet inverse pour n’importe quelle base, et pas seulement pour ces deux-là.

Que se passe-t-il lorsque le logarithme est négatif ?

L’argument tombe entre 0 et 1. Un exposant négatif signifie l’inverse de la puissance positive correspondante, donc l’antilogarithme de −2 en base 10 vaut 1 ÷ 100, soit 0,01. Ce n’est pas un cas limite à traiter à part — c’est le comportement ordinaire d’un exposant, et c’est la seule façon pour un antilogarithme de produire une petite réponse.

Pourquoi la base ne peut-elle pas valoir 1 ?

Parce que 1 élevé à n’importe quelle puissance vaut 1, si bien que l’équation n’a pas de solution pour un argument donné. Dans ce sens-ci, la défaillance est plus grave que sur la page du logarithme : le calcul « 1 puissance y » ne lève aucune erreur, il renvoie silencieusement 1, et la page afficherait donc un argument de 1 pour tout logarithme saisi. Le garde-fou existe précisément pour empêcher cela.

Pourquoi une base très petite est-elle refusée ?

Parce que l’arithmétique passe en dessous de zéro. Une base de 10⁻¹⁵ élevée à la puissance 100 se situe bien en dessous du plus petit nombre positif que la double précision sait représenter, le résultat calculé est donc zéro — et zéro a l’air d’une réponse parfaitement raisonnable, alors qu’en réalité aucun logarithme n’a zéro pour argument. La page refuse cette entrée plutôt que d’afficher une valeur fausse d’apparence normale.

L’argument peut-il être négatif ?

Jamais. Une base positive élevée à n’importe quelle puissance est positive, donc l’argument de tout logarithme est positif, et son antilogarithme doit l’être aussi. La page l’impose par construction et non par un contrôle sur la sortie : les entrées qui la briseraient — une base non positive, ou la base 1 — sont refusées avant même que l’exponentiation ait lieu.

• Antilogarithm — the inverse of the logarithm, from the days when antilogarithms were looked up in printed tables — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the operation behind the single step this page performs, including the behaviour of negative and fractional exponents — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Function — the general idea the log and antilog pair is an instance of, and why both directions are single steps — Wolfram MathWorld (United States)