Calculatrice de demi-vie

N = N₀ × (½)^(t ÷ T) n = t ÷ T part restante = N ÷ N₀

N₀

La quantité initiale, ce qu’il y avait avant que quoi que ce soit ne se désintègre. Elle n’a pas d’unité sur cette page : des grammes, des becquerels, des atomes et des concentrations sont la même entrée, parce que la loi de décroissance ne demande jamais que la fraction restante. Elle doit être supérieure à zéro — une quantité initiale nulle ferait de la part restante une division de zéro par zéro plutôt qu’un petit nombre.

T

La demi-vie, le temps qu’il faut pour que la moitié de ce qui est présent disparaisse. C’est une propriété de la substance et non de l’échantillon, elle ne change donc pas quand la quantité initiale change. Elle doit être saisie dans la même unité que le temps écoulé ; la page ne demande pas laquelle, parce que les deux temps se divisent l’un par l’autre et que le rapport est inchangé si on les convertit tous les deux.

t

Le temps écoulé, l’intervalle sur lequel porte la question. Il se mesure dans la même unité que la demi-vie et il ne peut pas être négatif — la formule tournerait volontiers à l’envers, mais « combien y en avait-il avant » est une autre question que celle à laquelle ce panneau est disposé à répondre.

n = t ÷ T

Le nombre de demi-vies écoulées, la deuxième lecture et celle qui rend le reste vérifiable. Les demi-vies se comptent et ne se décroissent pas par étapes entières : 2,5 est une valeur parfaitement ordinaire et signifie que l’échantillon se situe entre deux et trois divisions par deux. Il est imprimé avec quatre décimales pour que 2,9999 et 3 restent distinguables, puisque ces deux valeurs veulent dire « presque trois demi-vies » et « exactement trois ».

(½)^n

La part restante, un demi multiplié par lui-même une fois par demi-vie. C’est toute la loi de décroissance : aucune constante, aucune base autre que un demi, et aucune dépendance à la substance au-delà de la demi-vie. Dix demi-vies laissent moins d’un dixième de pour cent, et la part n’atteint jamais exactement zéro quel que soit le nombre de demi-vies écoulées, même si elle finit par passer sous la limite de représentation et devenir un zéro en double précision.

N = N₀ × (½)^n

La quantité restante, la lecture principale. C’est la quantité initiale mise à l’échelle par cette part : la réponse est donc proportionnelle plutôt qu’absolue, doubler la quantité initiale double ce qui reste à chaque point de la courbe, et le pourcentage n’est pas touché.

N ÷ N₀

La part restante en pourcentage, imprimée avec le signe pour cent déjà attaché. C’est la lecture à citer quand la substance est inconnue : « il reste environ 25 pour cent » dit tout ce que dit « 2,5 becquerels » une fois l’activité initiale connue, et c’est la seule des trois qui survive à un changement de quantité initiale.

Cette page sert quand quelque chose décroît à un rythme exprimé sous forme de demi-vie, ce qui est la façon dont s’écrit la décroissance de tout ce qui est instable : un radioisotope, un médicament qui s’élimine de l’organisme, un polluant qui se décompose, une population de choses qui meurent dans une proportion fixe. C’est aussi la page des deux questions qui entourent la datation au carbone 14 — combien il reste du carbone 14 d’origine après un nombre d’années donné, et à combien de demi-vies correspond une part mesurée, la seconde étant l’étape qui se transforme en âge. Prenez la calculatrice de croissance exponentielle quand la base n’est pas un demi mais qu’elle est dérivée d’un taux, ce qui est la même loi avec une autre constante. Prenez la calculatrice de temps de doublement quand la question va dans l’autre sens et que la quantité croît, puisque le doublement est la division par deux lue à l’envers. Prenez la calculatrice d’intérêts composés quand le même exposant s’applique à de l’argent, là où la multiplication suit un calendrier plutôt qu’elle n’est continue.

1. 100 unités de demi-vie 5, après 15

   1. Demi-vies écoulées : 15 ÷ 5 = 3
   2. Part restante : (½)³ = 1 ÷ 8 = 0,125
   3. Quantité restante : 100 × 0,125 = 12,5
   4. En pourcentage : 12,5 %

   La ligne que porte aussi le tableau de référence, et la plus facile à vérifier sans la page : trois divisions par deux de 100 donnent 50, puis 25, puis 12,5. Cette lecture par étapes est exactement à quoi sert le compte des demi-vies, et c’est pourquoi la page l’imprime à côté de la quantité — la quantité seule ne dit rien de l’endroit où l’on se trouve sur la courbe.

2. Le carbone 14, de demi-vie 5 730 ans, après 11 460

   1. Demi-vies écoulées : 11 460 ÷ 5 730 = 2
   2. Part restante : (½)² = 0,25
   3. Quantité restante : 1 × 0,25 = 0,25
   4. En pourcentage : 25 %

   Le cas autour duquel la page a été conçue, et la raison pour laquelle les deux champs de temps n’ont pas de sélecteur d’unité : l’unité est ici l’année, et la demi-vie est très au-delà de ce qu’une liste déroulante d’heures et de semaines pourrait contenir. La quantité initiale vaut 1 plutôt qu’une mesure réelle, de sorte que la réponse se lit directement comme une fraction — après deux demi-vies, il reste un quart du carbone 14 d’origine, ce qui est la première moitié du raisonnement de toute datation par le radiocarbone.

3. 200 unités de demi-vie 4, après 10

   1. Demi-vies écoulées : 10 ÷ 4 = 2,5
   2. Part restante : (½)^2,5 = 1 ÷ √32 = 0,176776695…
   3. Quantité restante : 200 × 0,176776695… = 35,355339…
   4. En pourcentage : 17,67767 %

   Le cas ordinaire, et celui qui montre que les demi-vies ne se comptent pas par étapes entières : deux et demie se sont écoulées, l’échantillon se situe donc entre le quart et le huitième de ce dont il est parti. La part est ici un nombre irrationnel, ce qui explique les décimales de la réponse — elle ne serait exacte que si le temps écoulé valait un nombre entier de demi-vies. Lire 2,5 comme le compte fait ici un vrai travail : multipliez 12,5 pour cent par la racine carrée d’un demi et vous retrouvez les mêmes 17,68 pour cent.

4. 80 unités de demi-vie 12, après exactement 12

   1. Demi-vies écoulées : 12 ÷ 12 = 1
   2. Part restante : (½)¹ = 0,5
   3. Quantité restante : 80 × 0,5 = 40
   4. En pourcentage : 50 %

   Une demi-vie, ce qui est la définition de la grandeur que l’on vérifie plutôt qu’un cas particulier de celle-ci. C’est la ligne à utiliser quand une demi-vie vous a été donnée et que vous voulez confirmer qu’elle veut bien dire ce que vous croyez : quelle que soit la quantité de départ, la moitié s’en est allée après ce laps de temps, et rien dans la quantité de départ ne change la réponse.

Cette page ne répond que dans un sens : connaissant une quantité initiale, une demi-vie et un intervalle, combien il reste. Les questions inverses — combien de temps pour atteindre une quantité donnée, et quelle est la demi-vie connaissant une quantité initiale et une quantité finale — ne sont pas des champs de ce panneau, bien que les deux découlent de la même équation et que les deux soient traitées dans le bloc de formule et dans les questions plus bas. Aucune page de calculatrice ne leur est consacrée dans cette série, si bien qu’un lecteur qui en a besoin doit réarranger l’exposant plutôt que d’attendre une seconde série de champs. Les deux champs de temps partagent une unité et la page ne demande jamais laquelle : saisir une demi-vie en jours et un temps écoulé en heures donne une réponse fausse d’un facteur vingt-quatre, et elle revient avec une allure tout à fait normale, ce qui est la seule erreur de cette page qui ne puisse pas être attrapée de l’intérieur. La quantité initiale n’est pas étiquetée, la page ne peut donc pas convertir entre unités de masse ou d’activité : des grammes entrent, des grammes sortent. Il n’y a pas de notation : « combien il reste » est une lecture continue et la page l’imprime au lieu de la juger. La part n’atteint jamais zéro, mais elle passe bien sous la limite de représentation : au-delà d’environ 1 000 demi-vies, le résultat en virgule flottante vaut exactement zéro, et c’est une limite de l’arithmétique et non une affirmation sur la substance. Enfin, il s’agit d’un modèle de décroissance par divisions par deux successives, qui suppose le rythme constant — ce que signifie une demi-vie, et qui n’est pas vrai de tout ce qui s’estompe.

Comment calculer ce qu’il reste après une durée donnée ?

Divisez le temps écoulé par la demi-vie pour obtenir le nombre de demi-vies, puis divisez la quantité initiale par deux autant de fois. Avec une demi-vie de 5 et un temps écoulé de 15, trois demi-vies se sont écoulées, la part restante vaut donc 1 ÷ 8 et une quantité initiale de 100 laisse 12,5. La page fait la même chose en une expression : la quantité initiale multipliée par un demi élevé à la puissance du temps écoulé sur la demi-vie.

Combien de temps faut-il pour qu’il ne reste qu’une certaine quantité ?

Retournez l’équation. Divisez la quantité que vous voulez atteindre par la quantité initiale pour obtenir la part, prenez le logarithme de cette part en base un demi, et multipliez par la demi-vie. Vouloir qu’il reste un huitième de l’original signifie trois demi-vies, quelle que soit la substance ; en vouloir un quart en signifie deux, si bien qu’une demi-vie de 5 730 ans place cette réponse à 11 460 ans. Le compte des demi-vies est la partie à faire en premier, parce que le reste n’est plus qu’une multiplication.

Dans quelle unité doivent être la demi-vie et le temps écoulé ?

Dans n’importe laquelle, à condition que ce soit la même pour les deux. Les deux temps se divisent l’un par l’autre, si bien qu’une demi-vie de 5 jours avec un temps écoulé de 15 jours donne exactement la même réponse que 120 heures avec 360 heures. La page n’a délibérément pas de sélecteur d’unité, parce que les unités réellement utilisées vont de la seconde à des milliards d’années et qu’aucune liste ne les contiendrait toutes. Le prix à payer est que mélanger les unités n’est pas détecté : des jours face à des heures donnent une réponse vingt-quatre fois trop grande, et elle a l’air parfaitement normale.

La réponse atteint-elle un jour zéro ?

Pas mathématiquement — chaque demi-vie retire la moitié de ce qui est là, et la moitié d’un nombre positif est toujours positive, la part restante s’approche donc de zéro sans l’atteindre. En pratique, elle l’atteint quand même : un ordinateur stocke un nombre avec une précision finie, et au-delà d’environ 1 000 demi-vies le résultat passe sous la limite de représentation et revient exactement à zéro. C’est l’arithmétique qui s’épuise et non la substance qui disparaît, et cela se produit bien au-delà de toute plage où le modèle est utilisé sérieusement.

Quelle différence entre la demi-vie et la constante de désintégration ?

Les deux décrivent la même décroissance de deux façons. La constante de désintégration est le rythme par unité de temps dans l’exposant, et la demi-vie est le temps au bout duquel la moitié disparaît ; les deux sont reliées par un facteur égal au logarithme népérien de deux, la demi-vie valant ce logarithme divisé par la constante de désintégration. Cette page utilise la demi-vie parce que c’est sous cette forme que les données sont publiées — 5 730 ans pour le carbone 14, quelques heures pour un médicament —, alors que la constante de désintégration est ce qui apparaît si l’on écrit la même loi avec le nombre e pour base.

La quantité initiale change-t-elle la durée de la décroissance ?

Non. C’est tout l’intérêt d’une demi-vie : c’est une propriété de la substance et non de l’échantillon. Partir de 200 unités plutôt que de 100 signifie qu’il reste 200 fois deux puissance moins n au lieu de 100 fois deux puissance moins n, donc chaque quantité de la courbe est doublée et les pourcentages sont identiques. Le nombre de demi-vies et la part restante ne bougent pas du tout quand on change la quantité initiale.

• Half-Life — the definition of the half-life and the exponential decay law that this page evaluates, including the relation between the number of half-lives and the fraction remaining — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Decay — the general law of which this page is the half-life case, with the decay constant and the half-life related by a factor of the natural logarithm of two — Wolfram MathWorld (United States)
• Radiocarbon dating — how the remaining fraction of carbon-14 in a sample is turned into an age, which is the step that follows the number this page prints — Wikipedia