Calculatrice de temps de doublement

t = ln(2) ÷ ln(1 + r) t ≈ 72 ÷ R

r

Le taux de croissance d’une période, écrit en décimal plutôt qu’en pourcentage : un taux de 5 pour cent par période entre dans la formule sous la forme 0,05. Il doit être positif, puisqu’une quantité qui ne croît pas ne double jamais, et il se saisit en pourcentage dans le champ. C’est une croissance composée que la page décrit — la croissance de chaque période s’applique au total, y compris à tout ce qui a poussé avant —, et c’est ce qui rend le temps de doublement fini au lieu d’impossible.

ln 2

Le logarithme népérien de deux, soit environ 0,693147, et la seule constante de la formule exacte. Il apparaît parce que doubler signifie que le facteur de croissance a atteint exactement deux : la question devient donc combien de multiplications par (1 + r) il faut pour transformer un en deux, et le logarithme est précisément l’opération qui répond à cela.

t

Le temps de doublement, en périodes, affiché avec trois décimales. Il ne porte aucune unité propre : si le taux saisi était mensuel, t est un nombre de mois ; s’il était annuel, t est un nombre d’années. Le dernier doublement est partiel, et c’est pourquoi t n’est pas un nombre entier — après 14 périodes à 5 pour cent la quantité est un peu en dessous du double, et le franchissement a lieu au milieu de la quinzième.

R

Le même taux, mais en pourcentage, donc le nombre tapé dans le champ. La règle de 72 est l’approximation qui divise 72 par R, et c’est la seconde lecture du panneau. Elle est précise autour de 8 pour cent, surestime le temps aux taux faibles et le sous-estime aux taux élevés, et elle existe parce qu’une division par un nombre rond était bien plus facile à faire de tête qu’un logarithme.

Cette page sert quand le taux de croissance est donné et que c’est le temps que vous cherchez. La calculatrice de croissance exponentielle fait tourner le même modèle dans l’autre sens, en partant d’une quantité initiale et d’un nombre de périodes ; la calculatrice de demi-vie en est l’image dans un miroir, avec un facteur un demi au lieu de deux ; et la calculatrice de la règle de 72, elle, fait la même arithmétique dans un cadre financier, où c’est l’ordre de grandeur et non la réponse exacte qui tient le rôle principal. Son usage le plus courant est celui des intérêts composés, mais rien dans la page ne suppose qu’il s’agit d’argent : tout ce qui est multiplié par le même facteur à chaque période se comporte de la même façon.

1. Cinq pour cent par période

   1. Le taux en décimal vaut 0,05, donc chaque période multiplie la quantité par 1,05
   2. La réponse exacte est ln 2 ÷ ln 1,05 = 0,693147 ÷ 0,048790 = 14,207 périodes
   3. La règle de 72 donne 72 ÷ 5 = 14,4 périodes
   4. Les deux valeurs concordent à un peu plus d’une période près, ce qui est l’écart habituel entre la règle et la vérité

   Vérifier la réponse est facile : 1,05 à la puissance 14 vaut 1,98, juste en dessous de deux, et à la puissance 15 vaut 2,08, juste au-dessus. Le franchissement a donc lieu entre la quatorzième et la quinzième période, exactement là où 14,207 le situe. Cette vérification vaut la peine d’être faite une fois, car elle montre que la décimale est une position sur une ligne de temps et non un artefact de calcul.

2. Un pour cent par période

   1. La réponse exacte est ln 2 ÷ ln 1,01 = 0,693147 ÷ 0,009950 = 69,661 périodes
   2. La règle de 72 donne 72 ÷ 1 = 72 périodes
   3. La règle se trompe ici de 2,3 périodes, ce qui à un pour cent représente plus de deux périodes d’attente supplémentaires
   4. L’erreur est systématique et non aléatoire : la règle de 72 est calibrée pour des taux voisins de 8 pour cent et dérive aux taux faibles

   L’écart aux taux faibles est la raison pour laquelle les deux lectures sont affichées côte à côte plutôt que l’une remplaçant l’autre. Un ordre de grandeur qui se trompe de deux périodes sur toute une vie de capitalisation, c’est une vraie différence, et voir les deux nombres est ce qui vous dit auquel faire confiance pour le taux que vous avez réellement.

3. Vingt pour cent par période

   1. La réponse exacte est ln 2 ÷ ln 1,2 = 0,693147 ÷ 0,182322 = 3,802 périodes
   2. La règle de 72 donne 72 ÷ 20 = 3,6 périodes
   3. Cette fois la règle passe en dessous au lieu de dépasser, ce qui arrive au-delà de 8 pour cent
   4. La vérification : 1,2 au cube vaut 1,728 et 1,2 à la puissance quatre vaut 2,074, le franchissement se situe donc entre la troisième et la quatrième période

   Entre cet exemple et celui à un pour cent, l’erreur de la règle change de signe — elle surestime aux taux faibles et sous-estime aux taux élevés —, et c’est la forme de l’approximation plutôt qu’une faute qu’elle commettrait. Le taux pour lequel les deux lectures se rapprochent le plus est voisin de 8 pour cent : la règle y donne 9 et la réponse exacte 9,006.

Le temps de doublement n’a pas d’unité propre. Il se mesure dans la période qui a servi à mesurer le taux : 14,207 est donc un nombre d’années si le taux était annuel, de mois s’il était mensuel, et de minutes si vous observiez des bactéries. La page ne peut pas le savoir et ne le devinera pas. Le taux doit être positif et compris entre 0,1 et 1 000 pour cent par période ; zéro est refusé parce qu’aucune des deux formules n’a de réponse pour lui, et un taux négatif décrit une quantité qui décroît, laquelle ne double jamais et relève de la calculatrice de demi-vie. La constante 2 est fixe : cette page trouve le temps de doubler et ne peut pas être interrogée sur le temps de tripler ni sur aucun autre multiple. La croissance est supposée régulière et constante, appliquée de façon continue plutôt que par paliers annuels, ce qui est le modèle habituel mais non ce que fait réellement une banque. La lecture de la règle de 72 est une approximation par construction : elle est affichée pour comparaison et non comme une réponse, et aucune analyse d’erreur entre les deux lectures n’est donnée ici.

Comment calcule-t-on un temps de doublement ?

On divise le logarithme népérien de 2 par le logarithme népérien de un plus le taux. À 5 pour cent par période, cela fait 0,693147 ÷ 0,048790, soit 14,207 périodes. C’est le logarithme qui fait le travail, parce que doubler est une multiplication répétée un nombre inconnu de fois, et que le logarithme est ce qui transforme cela en une division.

Qu’est-ce que la règle de 72, et est-elle précise ?

C’est le raccourci qui divise 72 par le taux en pourcentage : à 5 pour cent, la quantité double donc en 14,4 périodes environ. La règle est précise à quelques pour cent près autour de 8 pour cent, surestime le temps aux taux faibles — à 1 pour cent elle annonce 72 contre 69,661 en réalité — et le sous-estime aux taux élevés, où 20 pour cent donnent 3,6 contre 3,802. Cette page affiche les deux nombres pour que l’écart soit visible au taux qui est réellement le vôtre.

Le temps de doublement est-il exprimé en années ?

Seulement si le taux de croissance saisi était annuel. Le taux est un taux par période, et la période est ce que vous décidez qu’elle est : un taux mensuel donne une réponse en mois, un taux quotidien une réponse en jours, et une culture bactérienne qui double toutes les vingt minutes une réponse en unités de vingt minutes. La page n’étiquette délibérément pas la sortie, parce qu’elle ne peut pas savoir ce que vous vouliez dire.

Pourquoi un taux nul ou négatif est-il refusé ?

Parce que rien ne double. À taux nul, la quantité reste indéfiniment où elle est et la règle de 72 divise par zéro ; à taux négatif, la quantité décroît et la question honnête devient la demi-vie plutôt que le temps de doublement. Les taux inférieurs à 0,1 pour cent par période sont refusés pour la même raison pratique, et c’est la calculatrice de demi-vie qui prend le cas de la décroissance.

Quelle différence avec la croissance exponentielle ?

Le sens de lecture. Cette page part d’un taux de croissance et rend un temps ; la calculatrice de croissance exponentielle part d’un taux et d’un nombre de périodes et rend la quantité obtenue. Le modèle sous-jacent est le même : un temps de doublement de 14,207 périodes à 5 pour cent dit exactement que le facteur de croissance atteint 2 à cet endroit de la courbe.

• Exponential Growth — growth at a rate proportional to the current quantity, and the doubling time that follows from it — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Function — the base e, the natural logarithm that undoes it, and why ln 2 appears in every doubling formula — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — the same growth factor applied period after period, which is where the doubling time is usually met first — Wolfram MathWorld (United States)