Calculatrice de la règle de 72

Règle de 72 : années pour doubler ≈ 72 ÷ taux annuel ; exact : années = ln(2) ÷ ln(1 + taux annuel ÷ 100)

Taux annuel

Le taux annuel en pourcentage — 8 signifie huit pour cent — qui doit être supérieur à zéro, parce que les deux expressions divisent par une quantité qui s’annule là

72

Le numérateur du raccourci, choisi pour que la division soit facile à faire de tête aux taux que l’on rencontre le plus souvent

ln(2)

Le logarithme népérien de deux, environ 0,6931, qui apparaît parce que doubler revient à résoudre (1 + r) puissance n égal à 2

Années pour doubler

Le temps que met l’argent à doubler à un taux composé ; le raccourci et la réponse exacte sont donnés côte à côte

Erreur

La réponse du raccourci moins la réponse exacte, positive aux taux faibles et négative aux taux élevés

Multiple à la durée de la règle

Ce que votre argent devient réellement si vous attendez exactement le temps que le raccourci vous a indiqué, soit un peu moins de deux à presque tous les taux

Utilisez le raccourci quand il vous faut une réponse de tête au cours d’une conversation, et la valeur exacte quand la réponse doit être écrite. Comme les deux concordent étroitement dans la plage où vivent la plupart des taux ordinaires, le raccourci est à son meilleur pour un ordre de grandeur entre cinq et dix pour cent, et à son pire aux deux extrêmes : en dessous de trois pour cent environ il surestime lourdement l’attente, et au-dessus de quinze pour cent environ il la sous-estime. La sortie du multiple répond à la question que le chiffre de l’erreur soulève sans la trancher : est-ce qu’un écart d’un cinquième d’année vous coûte réellement quelque chose ? À vingt pour cent, attendre les 3,6 ans de la règle au lieu des 3,802 exacts vous laisse 1,93 fois votre mise au lieu de 2 — un manque d’environ sept pour cent du gain, ce qui vaut la peine d’être su avant d’utiliser le raccourci sur un taux élevé.

1. Huit pour cent : le taux où la règle est presque exacte

   1. La règle : 72 ÷ 8 = 9,00 ans
   2. La réponse exacte : ln(2) ÷ ln(1,08) = 0,693147 ÷ 0,076961 = 9,006 ans
   3. Erreur : 9,00 − 9,006 = −0,006 an, soit environ deux jours
   4. Une croissance à 8 % pendant exactement 9 ans : 1,08⁹ = 1,9990

   C’est le cas par défaut de la page parce que c’est le meilleur cas de la règle, et il vaut la peine de voir à quel point le meilleur cas est bon : le raccourci se trompe d’environ deux jours sur neuf ans. La sortie du multiple est ce qui trahit le fait que même ici ce n’est pas exact — neuf ans à huit pour cent composés vous donnent 1,9990 fois votre mise, pas 2, et il faut encore quelques jours pour combler ce dernier millième.

2. Un pour cent : la règle surestime l’attente de plus de deux ans

   1. La règle : 72 ÷ 1 = 72,00 ans
   2. La réponse exacte : ln(2) ÷ ln(1,01) = 0,693147 ÷ 0,009950 = 69,661 ans
   3. Erreur : 72,00 − 69,661 = +2,339 ans
   4. Une croissance à 1 % pendant 72 ans : 1,01⁷² = 2,0471

   À un taux de livret d’épargne, le raccourci se montre généreux sur la durée d’attente, et la direction de l’erreur est l’inverse de ce que la plupart des gens supposent. Le multiple rend la chose concrète : attendre les 72 ans de la règle à un pour cent vous laisse 2,0471 fois votre mise au lieu de 2, si bien que les deux années et quelques supplémentaires ne sont pas perdues, elles dépassent simplement la cible. C’est la plus grande erreur du tableau.

3. Vingt pour cent : la règle sous-estime désormais l’attente

   1. La règle : 72 ÷ 20 = 3,60 ans
   2. La réponse exacte : ln(2) ÷ ln(1,2) = 0,693147 ÷ 0,182322 = 3,802 ans
   3. Erreur : 3,60 − 3,802 = −0,202 an
   4. Une croissance à 20 % pendant 3,6 ans : 1,2^3,6 = 1,9278

   Comparez ce cas à celui du un pour cent et l’objet de la page devient visible : l’erreur a changé de signe. La règle promet maintenant un doublement un cinquième d’année trop tôt, et si vous vous y fiez vous obtenez 1,9278 fois votre mise au lieu de 2 — environ sept pour cent du gain que vous attendiez. Les deux cas sont délibérément très éloignés en taux et très proches en taille d’erreur exprimée en années, ce qui explique pourquoi l’erreur en années est un mauvais guide à elle seule et pourquoi le multiple est imprimé à côté.

La règle de 72 est une approximation et cette page ne prétend pas le contraire ; ce qu’elle fait, c’est vous dire de combien votre taux s’écarte de l’approximation. Elle suppose que le taux est composé et qu’il reste le même sur toute la période — un taux qui change en cours de route n’a pas de temps de doublement unique, et la règle n’a aucun moyen d’en exprimer un. Elle ne fonctionne que pour un taux supérieur à zéro, parce que la division comme le logarithme échouent à zéro, ce qui explique que le champ refuse un taux inférieur à un dixième de pour cent. Elle ne dit rien de l’impôt ni de l’inflation, si bien que le temps de doublement qu’elle rapporte est exprimé en monnaie nominale : à trois pour cent d’inflation, un solde qui double en vingt-quatre ans n’a pas doublé en pouvoir d’achat. Et elle décrit une somme unique qu’on laisse travailler, donc elle ne s’applique pas à une suite de versements, où l’arithmétique est différente et la réponse plus courte. Enfin, le raccourci est une règle sur le nombre 72, pas sur votre placement — la réponse exacte est celle à utiliser quand le chiffre compte, et le raccourci celle à utiliser quand vous parlez.

Comment fonctionne la règle de 72 ?

Divisez 72 par le taux annuel et le résultat est à peu près le nombre d’années que met l’argent à doubler. À huit pour cent cela fait 9,00 ans et la réponse exacte est 9,006 ans, donc le raccourci est presque parfait ; à un pour cent il annonce 72 ans quand la réponse exacte est 69,661, et à vingt pour cent il annonce 3,60 quand la réponse exacte est 3,802. Le raccourci est un outil de calcul mental et cette page affiche à côté la durée exacte de doublement.

Pourquoi la règle de 72 est-elle seulement approximative ?

Parce qu’elle remplace un logarithme par une division. La durée exacte de doublement vient de la résolution de l’équation des intérêts composés en nombre de périodes, ce qui donne le logarithme népérien de deux divisé par le logarithme de un plus le taux. Le raccourci utilise à la place un numérateur fixe, et ce numérateur fixe ne coïncide bien qu’au voisinage d’une plage de taux : les deux réponses se croisent quelque part entre sept et huit pour cent et s’écartent ensuite en sens opposés de part et d’autre de ce croisement.

Dans quel sens la règle de 72 se trompe-t-elle ?

Dans les deux sens, selon le taux, et c’est la partie à laquelle la plupart des gens ne s’attendent pas. En dessous du point de croisement, le raccourci donne une réponse trop longue : à un pour cent il annonce 72 ans contre 69,661 exacts, ce qui surestime l’attente de plus de deux ans. Au-dessus, il donne une réponse trop courte : à vingt pour cent il annonce 3,60 contre 3,802 exacts. Le signe de l’erreur change entre sept pour cent, où il est encore positif, et huit pour cent, où il est devenu négatif.

Que représente le multiple à la durée de la règle ?

C’est ce que votre argent devient réellement si vous attendez exactement le temps que le raccourci vous a indiqué. Faire croître un solde à huit pour cent pendant 9 ans donne 1,9990 fois votre mise plutôt que les 2 que la règle laisse entendre, et à vingt pour cent, attendre les 3,60 ans de la règle n’en donne que 1,9278 fois. Cela convertit l’erreur d’années en argent, qui est la forme sous laquelle elle vous coûte véritablement quelque chose.

Puis-je utiliser la règle de 72 avec un taux faible ?

Vous le pouvez, mais l’erreur grandit vite à mesure que le taux baisse, et elle grandit dans le sens d’une surestimation de l’attente. À un pour cent, le raccourci annonce 72 ans alors que la durée exacte de doublement est 69,661, un écart de plus de deux ans, et un solde placé à un pour cent pendant 72 ans finit à 2,0471 fois sa valeur de départ. Le champ n’accepte d’ailleurs aucun taux inférieur ou égal à zéro, parce que la division et le logarithme s’y cassent tous les deux.

La règle de 72 tient-elle compte de l’inflation ou de l’impôt ?

Non, et la valeur exacte de cette page non plus. Les deux travaillent sur le taux que vous saisissez, donc si ce taux est un rendement nominal, la durée de doublement est en monnaie nominale, et un solde qui double en termes nominaux en vingt-quatre ans n’a pas doublé en pouvoir d’achat à trois pour cent d’inflation. Il en va de même de l’impôt : un rendement taxé en cours de route se compose à un taux effectif plus faible, et la durée de doublement du taux après impôt est plus longue que celle affichée ici.

• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value factors and the price formula for Treasury notes and bonds — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Compound Interest Calculator — the forward form of the arithmetic, for checking a rate by growing a balance at it — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• H.15 Selected Interest Rates — the published benchmark rates a computed rate is compared against — Board of Governors of the Federal Reserve System (United States)