Calculatrice de racine n-ième

ⁿ√x ⁿ√(mⁿ · r) = m · ⁿ√r ⁿ√x = x^(1/n)

x

Le radicande, le nombre dont on prend la racine. C’est ici un nombre entier, et il peut être négatif lorsque l’indice est impair. La restriction aux entiers porte sur la forme exacte et non sur l’arithmétique : la racine carrée de 2,5 est un nombre parfaitement ordinaire, mais sa forme exacte est une fraction contenant un radical, ce qui est une autre forme de réponse que celle qu’imprime cette colonne

n

L’indice de la racine, de 2 à 12. Un indice de 1 est l’identité — la racine première de n’importe quoi est ce quelque chose lui-même — et un indice de 0 n’est pas défini, donc les deux sont refusés plutôt que calculés. La borne haute de 12 est pratique : la forme exacte procède en cherchant la plus grande puissance n-ième parfaite qui divise le radicande, et ces nombres se raréfient vite, si bien qu’au-delà de 12 cette colonne ne contiendrait le plus souvent qu’un radical vide à côté d’un nombre énorme

ⁿ√x

La racine en écriture décimale, la lecture principale, imprimée à six décimales lorsqu’elle n’est pas exacte. C’est la valeur avec laquelle on calcule, et c’est celle qui perd de l’information : 8,485281 ne dit pas qu’elle vient de √72 plutôt que de √71,9999, et c’est la forme exacte placée à côté qui le dit

m · ⁿ√r

La forme exacte : toute puissance n-ième parfaite qui divise le radicande est sortie du radical et écrite comme coefficient devant un radical plus petit. Pour √72, cela donne 6√2, parce que 72 vaut 36 × 2 et que 36 est un carré parfait. Quand le radicande est une puissance parfaite, il ne reste rien, le radical disparaît complètement et la réponse s’écrit comme un nombre entier — c’est ainsi que la page signale que la racine est tombée juste

x^(1/n)

La même racine écrite comme une puissance, ce qui est la façon dont elle est calculée. Les deux notations désignent la même opération et il vaut la peine de le savoir : l’exposant 1/n est la raison pour laquelle un exposant fractionnaire est une racine et non un objet étrange. La calculatrice d’exposants prend directement cette forme, et c’est la page à utiliser quand le radicande n’est pas un nombre entier ou que l’indice n’est pas entier

√

Le signe radical sans indice écrit signifie toujours la racine carrée, ce qui explique que la page imprime un √ nu pour l’indice 2 et ∛ pour l’indice 3. Au-delà, la notation manque de caractères isolés, si bien que les indices supérieurs s’écrivent avec des chiffres devant le signe, et la page place un signe de multiplication entre un coefficient et un indice de 4 ou plus — 2 × 4√2 — parce que 24√2 se lirait comme vingt-quatre fois la racine carrée de deux

Utilisez cette page quand une racine doit être simplifiée plutôt que seulement évaluée, ce qui la distingue d’un outil qui ne donne que la décimale : simplifier √72 en 6√2, vérifier si un nombre est un carré parfait, ou mener un calcul dont la réponse est attendue sous forme exacte. C’est aussi la page des deux questions qui reviennent autour des racines en général — quelle est la racine cubique d’un nombre négatif (un nombre réel, pour les indices impairs), et quelle est la racine quatrième de quelque chose. La simplification de radicaux y est poussée jusqu’à sortir les puissances parfaites, ce qui est la forme standard d’un radical simplifié. Passez à la calculatrice d’exposants quand l’indice n’est pas un entier, puisqu’un exposant fractionnaire est la même opération écrite comme une puissance et que cette page-là la prend directement. Passez à la calculatrice de formule quadratique quand le radical apparaît sous une formule plutôt que seul, puisque le discriminant est une racine carrée et que cette page en lit le signe autant que la valeur. Passez à la calculatrice de racine carrée ou à celle de racine cubique quand un seul des deux indices vous intéresse, chacune portant le contenu propre à son cas.

1. La racine carrée de 16

   1. Indice 2, radicande 16 — une racine carrée
   2. 16 vaut 4 × 4, donc c’est un carré parfait et tout sort
   3. La racine vaut 4, et elle est exacte plutôt qu’arrondie
   4. La forme exacte est le nombre entier nu 4, sans aucun radical restant

   Le cas pour lequel la page est le plus souvent ouverte, et celui qui montre comment la colonne exacte annonce une réussite : pas de radical, pas de décimale, juste l’entier. Un lecteur qui voulait seulement savoir si 16 est un carré parfait a la réponse dans la seconde colonne sans avoir lu la première.

2. La racine carrée de 72

   1. 72 n’est pas un carré parfait, donc la racine est irrationnelle
   2. Le plus grand carré parfait qui divise 72 est 36, puisque 72 = 36 × 2
   3. Sortir 36 du radical donne 6 devant lui : √72 = 6√2
   4. La valeur décimale est 8,485281 à six décimales, et 6√2 est la valeur exacte

   L’exemple qui justifie toute la page. 8,485281 est une approximation et le panneau le dit en imprimant la forme exacte à côté ; une page concurrente qui n’affiche que la décimale a laissé au lecteur un nombre qui n’est pas la racine carrée de 72. Le 2 resté sous le radical est aussi la lecture la plus rapide de la situation — il y a encore quelque chose là-dedans, donc rien n’est sorti juste.

3. La racine cubique de 54

   1. Indice 3, radicande 54 — une racine cubique
   2. 54 n’est pas un cube parfait, mais 27 le divise : 54 = 27 × 2
   3. Sortir 27 donne 3 devant le radical : ∛54 = 3∛2
   4. La valeur décimale est 3,779763

   La même simplification avec un autre indice, et le cas qui montre que la page est un seul outil plutôt que deux. L’étape à faire à la main est de trouver le plus grand cube parfait sous 54 — 27, et non 8 — et le tableau de référence de cette page est exactement la liste qui rend cette recherche rapide : trois au cube vaut 27, quatre au cube vaut 64, et 64 est trop grand.

4. La racine quatrième de 32

   1. 32 vaut 16 × 2, et 16 est une puissance quatrième, puisque 16 = 2⁴
   2. Sortir 16 du radical laisse 2 devant : ⁴√32 = 2 × ⁴√2
   3. Le signe de multiplication est écrit parce qu’un indice de 4 n’a pas de signe radical d’un seul caractère
   4. La valeur décimale est 2,378414

   Là où la notation doit être prudente. Écrire ce résultat 24√2 serait lu par la plupart des gens comme vingt-quatre fois la racine carrée de deux, donc la page insère un signe de multiplication chaque fois que l’indice vaut 4 ou plus — le coefficient et l’indice sont tous deux des nombres et il faut quelque chose pour les séparer. Ni √ ni ∛ n’ont ce problème, ce qui explique que le signe n’apparaisse qu’à partir de l’indice 4.

5. La racine cubique de −54

   1. Le radicande est négatif et l’indice est impair, donc la racine est un nombre réel
   2. La valeur absolue se simplifie exactement comme avant : ∛54 = 3∛2
   3. Le signe est porté à l’extérieur, et la forme exacte l’imprime tout au début : −3∛2
   4. La valeur décimale est −3,779763

   Le cas négatif, et le seul endroit où la forme exacte a une règle à elle : le signe moins se place au début de l’expression entière plutôt que dans le radical. C’est aussi le point d’entrée par lequel la calculatrice d’exposants envoie ses visiteurs — cette page-là refuse une base négative avec un exposant fractionnaire parce que le calcul passe par un logarithme, et c’est celle-ci qui traite la même question en prenant une racine.

Le radicande doit être un nombre entier. La racine carrée de 2,5 est un nombre réel et cette page ne l’accepte pas, parce que la forme exacte de cette racine est une fraction surmontée d’un radical — une forme que la colonne exacte n’a pas la place de recevoir — et n’imprimer que la décimale reviendrait à cacher que la réponse exacte a été abandonnée. Tout radicande fractionnaire ou décimal appartient à la calculatrice d’exposants, saisi comme une puissance fractionnaire. Les radicandes négatifs sont acceptés pour les indices impairs seulement : la racine cubique de −8 vaut −2, mais la racine carrée de −4 n’est pas un nombre réel et la page la refuse plutôt que d’imprimer une valeur complexe. L’indice est un nombre entier entre 2 et 12 ; un indice de 1 est l’identité et un indice de 0 n’est pas défini, donc aucun des deux n’est accepté, et les indices fractionnaires vont à la calculatrice d’exposants sous forme de puissances fractionnaires. Les racines qui ne tombent pas juste sont imprimées à six décimales, ce qui est une limite d’affichage et non de précision — l’arithmétique sous-jacente travaille en double précision complète. La forme exacte est simplifiée jusqu’à sortir les puissances parfaites, ce qui est la forme standard d’un radical simplifié, et rien ici ne rationalise un dénominateur : une racine placée sous une fraction reste à la charge du lecteur. Le radicande est borné à un milliard, et cette borne tient au coût plutôt qu’aux mathématiques — la simplification procède par divisions d’essai, et un radicande plus grand rendrait la page lente à répondre à la frappe plutôt que fausse.

Quelle différence y a-t-il entre la forme exacte et la décimale ?

La décimale est une valeur arrondie et la forme exacte est la valeur elle-même. La racine carrée de 72 vaut exactement 6√2 ; 8,485281 est ce que cela donne en six décimales, si bien que multiplier 8,485281 par lui-même donne 71,99999… et non 72. La page imprime les deux parce que chacune seule est trompeuse : la décimale est celle avec laquelle on calcule, et la forme exacte est celle qui dit si la réponse est tombée juste.

Comment simplifier une racine carrée ?

On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre, on en fait sortir la racine devant, et on laisse le reste à l’intérieur. Pour 72, c’est 36, parce que 72 = 36 × 2, donc √72 = 6√2. Si aucun carré parfait ne divise le nombre — ce qui est le cas de 2, 3, 5, 7 et de tout autre nombre sans facteur premier répété — le radical ne peut pas être simplifié et la forme exacte se réduit à √2.

Puis-je prendre la racine carrée d’un nombre négatif ?

Pas sur cette page, et pas comme nombre réel nulle part. La racine carrée de −4 vaut 2i, un nombre complexe, et cette page est un outil sur les nombres réels. Les indices impairs sont différents : la racine cubique de −8 vaut −2, un nombre réel parfaitement ordinaire, parce que multiplier trois nombres négatifs donne un négatif. La page accepte donc −8 avec un indice de 3 et refuse −4 avec un indice de 2.

Pourquoi ne puis-je pas saisir un radicande décimal ?

Parce que la forme exacte n’a nulle part où le mettre. La racine carrée de 2,5 vaut √10 ÷ 2 — une fraction avec un radical au numérateur — et la colonne exacte de cette page imprime un coefficient devant un radical, pas une fraction. Plutôt que d’imprimer la décimale en abandonnant silencieusement la réponse exacte, la page restreint le radicande aux nombres entiers et le dit. Un radicande décimal peut être saisi comme puissance fractionnaire sur la calculatrice d’exposants.

Que signifie l’indice placé sur le signe radical ?

C’est le nombre de fois que la racine doit être multipliée par elle-même pour redonner le radicande : un indice de 3 désigne une racine cubique, donc ∛8 vaut 2 parce que 2 × 2 × 2 = 8. Aucun indice écrit signifie 2, ce qui explique que la page imprime un √ nu pour les racines carrées et ∛ pour les racines cubiques. Un indice de 1 renverrait le nombre inchangé et un indice de 0 n’a pas de sens, donc la page commence à 2.

Une racine cubique est-elle la même chose qu’une puissance un tiers ?

Oui, et c’est ainsi que la page la calcule. La racine n-ième de x vaut x à la puissance 1/n, donc la racine cubique de 54 vaut 54 à la puissance 0,3333…, soit 3,779763. Les deux notations décrivent une seule opération. Elles se séparent sur les bases négatives : la forme puissance passe par un logarithme et refuserait −54, alors que prendre une racine d’indice impair est direct, ce qui explique que la calculatrice d’exposants envoie ces cas ici.

• nth Root — the definition of an nth root, including the rule that an even root of a negative number has no real value and an odd one does — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Root — the index-2 case, with the simplification of radicals and the table of perfect squares this page's reference table extends — Wolfram MathWorld (United States)
• Cube Root — the index-3 case, and the reason a negative radicand has a real cube root where it has no real square root — Wolfram MathWorld (United States)