Calculatrice de racine cubique

∛x = ∛(m³ · r) = m · ∛r ∛(n ÷ d) = ∛(n · d²) ÷ d

x

Le radicande, le nombre placé sous le signe radical. Il peut être négatif, car une racine cubique est une racine d’indice impair et qu’une puissance impaire d’un négatif reste négative : la racine cubique de −27 vaut −3 et celle de −1 vaut −1. Il peut aussi être décimal, jusqu’à trois décimales, auquel cas la page le ramène à une fraction avant de le simplifier.

m³

Le plus grand cube parfait qui divise le radicande : 8, 27, 64, 125, et ainsi de suite. Le trouver, c’est toute la simplification, et la page le cherche du plus grand vers le plus petit pour que le premier facteur trouvé soit bien le plus grand. Pour 72, ce facteur vaut 8, ce qui laisse 9 sous le radical.

m

La racine cubique de ce cube parfait, qui sort devant le signe radical. Quand c’est un nombre entier, la forme exacte se lit 2∛9 ; quand il vaut 1, le coefficient disparaît et la forme se lit ∛2, parce que personne n’écrit 1∛2.

r

Ce qui reste sous le radical une fois tous les facteurs cubiques sortis. Ce reste n’est divisible par aucun cube, et c’est précisément ce qui rend la forme définitive. Quand il ne reste rien — quand le radicande était un cube parfait au départ — le signe radical disparaît entièrement et la forme exacte est un simple entier, comme pour la racine cubique de 27.

d²

Le carré du dénominateur, et la raison pour laquelle le cas décimal n’a pas été recopié tel quel depuis la page de la racine carrée. Pour faire sortir un dénominateur d sous une racine cubique, il faut y faire entrer d au cube : n ÷ d se réécrit donc (n · d²) ÷ d³, dont la racine cubique vaut ∛(n · d²) ÷ d. Utiliser d à la place de d² donne encore un nombre, simplement pas le bon.

Cette page sert quand il vous faut la forme exacte d’une racine cubique, ou quand le radicande est négatif. La calculatrice de cube couvre le sens direct — mettre un nombre au cube et lire la racine en retour — et elle affiche une valeur décimale là où celle-ci affiche une notation. Quand l’indice n’est pas trois, la calculatrice de racine générale accepte n’importe quel indice de 2 à 12 et le simplifie de la même façon.

1. Simplifier la racine cubique de 72

   1. Cherchez le plus grand cube parfait qui divise 72
   2. 8 le divise : 72 ÷ 8 = 9, donc 72 = 8 × 9
   3. La racine cubique de 8 vaut 2, qui sort devant : ∛72 = 2∛9
   4. L’évaluation de cette forme exacte donne 4,160168

   La vérification tient en une ligne : 2∛9 au cube vaut 2³ × 9, soit 8 × 9, soit 72. La colonne décimale ne se vérifie pas de cette façon — 4,160168 au cube redonne 71,99999 et des poussières —, et c’est tout l’argument pour afficher la forme exacte à côté d’elle.

2. Un cube parfait s’effondre en un entier

   1. 27 vaut 3 × 3 × 3, donc le plus grand facteur cubique est 27 lui-même
   2. Le sortir ne laisse rien sous le radical : 27 = 27 × 1
   3. Sans rien en dessous, le signe radical disparaît et la forme exacte est 3
   4. La valeur décimale vaut 3 elle aussi, les deux colonnes sont donc d’accord

   Quand le radical se vide, c’est le signal que le radicande était un cube parfait. Il vaut la peine de savoir que c’est cette ligne-là qu’un ordinateur rate par défaut : élever 27 à la puissance un tiers en virgule flottante donne 3,0000000000000004, et la page corrige cet artefact en vérifiant si un nombre entier voisin redonne 27 lorsqu’on l’élève au cube.

3. Un radicande négatif

   1. Sortez d’abord le signe : ∛−72 = −∛72
   2. La partie positive se simplifie exactement comme avant : ∛72 = 2∛9
   3. En remettant le signe on obtient −2∛9
   4. La valeur décimale vaut −4,160168, l’opposée du cas positif

   Le signe moins se place devant et non à l’intérieur du radical. −2∛9 et 2∛−9 sont le même nombre, mais seul le premier est la façon standard de l’écrire, et imprimer le second donnerait l’impression d’une autre expression. C’est le cas que la calculatrice de racine carrée ne sait pas traiter du tout : une racine d’indice pair d’un nombre négatif n’est pas un nombre réel.

4. Un radicande décimal qui est un cube parfait

   1. 0,125 s’écrit 1/8 en fraction
   2. Les deux nombres sont des cubes parfaits : ∛1 = 1 et ∛8 = 2
   3. Il ne reste rien sous le radical, la forme exacte est donc la fraction 1/2
   4. En écriture décimale, cela fait 0,5

   C’est cette ligne qui justifie que la page accepte trois décimales et non deux. Un huitième est le décimal le plus naturel qu’une racine cubique puisse rencontrer, et avec deux décimales il ne serait même pas lisible comme une fraction : un lecteur se serait vu refuser, sur une page de racines cubiques, le nombre qui méritait le plus d’y entrer.

Le radicande est limité à trois décimales. Une quatrième décimale serait refusée plutôt qu’arrondie, car la simplification procède en ramenant le décimal à une fraction puis en essayant les diviseurs cubiques, et l’arithmétique cesse d’être fiable au-delà — les produits d’entiers en jeu dépasseraient ce qu’un double représente exactement, si bien que la réponse serait silencieusement fausse et pas seulement lente. L’ordre de grandeur est limité à 1 000 000 dans les deux sens, jusqu’où la recherche des diviseurs reste peu coûteuse. La forme exacte est une notation et non un nombre : elle s’écrit de façon identique dans toutes les langues, un signe radical et un trait de fraction ne portant aucun mot ; la valeur décimale qui l’accompagne est arrondie à six décimales. Seule la racine cubique réelle est donnée : tout nombre non nul possède trois racines cubiques dans le plan complexe, et les deux autres ne sont pas montrées. La racine cubique d’un nombre négatif est affichée avec le signe devant, ce qui est l’écriture standard mais n’est pas la même chaîne de caractères qu’un radical posé sur un radicande négatif.

Que fait une calculatrice de racine cubique ?

Elle prend un radicande et renvoie deux choses : la valeur décimale de sa racine cubique, et la forme exacte avec le plus grand cube parfait sorti devant le signe radical. La racine cubique de 72 vaut 4,160168 en décimal et 2∛9 en forme exacte, et les deux sont le même nombre écrit de deux façons.

Comment simplifier une racine cubique à la main ?

Cherchez le plus grand cube parfait qui divise le radicande, sortez-le, et placez sa racine cubique devant le signe. Pour 72 ce facteur est 8, et comme 72 ÷ 8 = 9 l’ensemble devient 2∛9. Vous savez que c’est fini quand il ne reste sous le radical aucun nombre divisible par un cube — pour 27 le radical se vide complètement et la réponse est simplement 3.

Le radicande peut-il être négatif ?

Oui, et c’est la différence la plus nette entre cette page et la calculatrice de racine carrée, qui refuse les négatifs d’emblée. Une racine cubique est une racine d’indice impair, donc un radicande négatif passe sans problème : la racine cubique de −64 vaut −4. Le signe est sorti en premier et affiché devant la forme exacte, si bien que −72 se simplifie en −2∛9 et non en un radical posé sur un nombre négatif.

Pourquoi la forme exacte est-elle parfois une fraction ?

Quand le radicande est le cube d’une fraction, il ne reste rien sous le radical et la forme exacte se réduit à une simple fraction — la racine cubique de 0,125 vaut 1/2, et celle de 0,001 vaut 1/10. Le radical ne survit que lorsqu’il reste en dessous un nombre divisible par aucun cube, la même règle qui fait de la racine cubique de 27 un simple entier.

Combien de décimales le radicande accepte-t-il ?

Trois, soit une de plus que ce que la page de la racine carrée autorise. Cette décimale supplémentaire existe pour un nombre précis : 0,125 est un huitième, la racine cubique de 0,5, et avec deux décimales il ne serait pas reconnaissable comme une fraction. Une quatrième décimale est refusée plutôt qu’arrondie, parce qu’au-delà la recherche des diviseurs cesse d’être exacte.

• Cube Root — the inverse of cubing, defined on negative inputs because the index is odd — Wolfram MathWorld (United States)
• Cubic Number — the perfect cubes the simplification searches for, from 8 up to whatever the radicand allows — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign, the radicand, and the convention for writing a coefficient in front of a root — Wolfram MathWorld (United States)