Calculatrice de cube

x³ = x × x × x ∛x = x^(1/3)

x

Le nombre que l’on met au cube. Il peut être négatif et comporter des décimales, jusqu’à six, de −1 000 000 à 1 000 000. Il n’y a aucune condition de positivité sur cette page, parce que le cube d’un nombre négatif est parfaitement défini : −4 fois −4 fois −4 donne −64. Il en va de même de la racine cubique en dessous, qui est une racine d’indice impair et donc définie elle aussi pour des entrées négatives.

x³

Le cube lui-même, affiché avec six décimales. Au-delà de la fenêtre d’affichage il s’écrit en notation scientifique pour que l’ordre de grandeur reste lisible : le cube de 1 000 000 vaut 1,000000 × 10¹⁸ et non un entier de dix-neuf chiffres qui traverse le panneau. En deçà de cette fenêtre la forme ordinaire est conservée, si bien que 343 s’affiche 343,000000 et non comme une puissance de dix.

∛x

La racine cubique du même nombre, qui défait la première colonne : c’est la valeur qui redonne x lorsqu’on la multiplie deux fois par elle-même. Quand x est un cube parfait la racine est un nombre entier exact et aucun arrondi n’intervient ; sinon elle est arrondie à six décimales. C’est là toute la différence entre une racine d’indice impair et une racine d’indice pair, et la raison pour laquelle une entrée négative passe ici alors que la racine carrée d’un nombre négatif n’a aucune réponse réelle.

Cette page sert quand la question porte sur un nombre et non sur une forme : combien vaut 7 au cube, quel est le cube de 1,5, quelle est la racine cubique de 343. Quand le cube désigne un objet physique — une boîte dont on connaît l’arête et dont on cherche le volume en centimètres cubes —, c’est la calculatrice de volume d’un cube qui prend l’arête et répond en unités.

1. Sept au cube, et la racine qui en revient

   1. Élevez d’abord au carré : 7 × 7 = 49
   2. Multipliez encore une fois par 7 : 49 × 7 = 343
   3. La racine cubique de 343 vaut 7, puisque 7 × 7 × 7 = 343
   4. La racine cubique de l’entrée 7 elle-même vaut 1,912931, et c’est de là que viennent les six décimales — 7 n’est pas un cube parfait

   Les deux moitiés de la page répondent à des questions différentes et les deux valent la peine. Le cube 343 est exact, et la racine qui y ramène l’est aussi. La racine de l’entrée, 1,912931, est celle qui est arrondie : multipliée trois fois par elle-même elle redonne 6,999999 et des poussières, soit ce dont six décimales peuvent s’approcher le plus près de 7.

2. Un cube parfait : 27

   1. 27 × 27 = 729
   2. 729 × 27 = 19 683
   3. La racine cubique de 27 revient exactement à 3, sans rien après la virgule
   4. Ce 3 exact est toute la réponse à la question de savoir si 27 est un cube parfait

   Un cube parfait est le seul cas où la colonne de la racine ne porte aucun arrondi, et il vaut la peine de voir pourquoi cela compte numériquement : un ordinateur qui calcule 27 puissance un tiers obtient 3,0000000000000004, qui s’afficherait 3,000000 et passerait pour un défaut d’arrondi. La page efface cet artefact en vérifiant si un nombre entier voisin redonne l’entrée lorsqu’on l’élève au cube.

3. Mettre un nombre négatif au cube

   1. −4 × −4 = 16, un nombre positif, parce que deux négatifs multipliés donnent un positif
   2. 16 × −4 = −64, de nouveau négatif, parce que le troisième facteur est encore négatif
   3. Le cube de −4 vaut donc −64, et la racine cubique de −64 vaut exactement −4
   4. La racine cubique de l’entrée −4 vaut −1,587401

   C’est le nombre de facteurs qui décide du signe : un nombre impair de signes moins donne un produit négatif, un nombre pair un produit positif. C’est aussi pourquoi la racine cubique accepte les négatifs alors que la racine carrée les refuse — une racine d’indice impair se défait, une racine d’indice pair non. Le signe moins s’affiche devant la racine, comme on l’écrit à la main.

L’entrée est limitée à 1 000 000 dans les deux sens. C’est une limite d’affichage et non une limite mathématique : le cube de 1 000 000 est un nombre de dix-neuf chiffres qui reste représentable exactement en double précision, donc rien ne déborde à la frontière — la page refuse simplement d’imprimer un nombre qu’un lecteur ne peut pas embrasser d’un coup d’œil. En deçà de cette limite le cube est exact pour les nombres entiers et correct à six décimales dans les autres cas. La racine cubique affichée est l’unique valeur réelle, et non l’ensemble des trois racines cubiques que donnerait un traitement dans les nombres complexes : la racine réelle d’une entrée négative est la racine négative, et les deux racines complexes ne sont pas montrées. La colonne du développement est une notation de la multiplication et s’écrit de la même façon dans toutes les langues. Si ce que vous cherchez est le volume d’une boîte plutôt que le cube d’un nombre, c’est la calculatrice de volume d’un cube qui prend une arête avec son unité.

Qu’apporte une calculatrice de cube qu’une simple multiplication n’apporte pas ?

Elle donne les deux sens à la fois, et elle les garde exacts. Saisir 27 renvoie le cube 19 683 et, à côté, la racine cubique 3 — la valeur qu’il faudrait mettre au cube pour retrouver 27. Faire cela à la main représente deux calculs séparés, et c’est le second, la racine, que l’on rate.

Quels nombres sont des cubes parfaits ?

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1 000, 1 331 et 1 728 — les cubes des nombres entiers de 1 à 12, ce que montre exactement le tableau de référence ci-dessous. Le test ne demande aucune mémorisation : saisissez le nombre et regardez la racine. Une racine entière signifie un cube parfait, une racine décimale signifie que ce n’en est pas un.

Puis-je mettre un nombre négatif au cube, et en prendre la racine cubique ?

Les deux, et la réponse est négative dans les deux cas. Multiplier trois nombres négatifs donne un négatif, parce qu’un nombre impair de signes moins survit, si bien que le cube de −4 vaut −64 et que la racine cubique de −64 vaut −4. Une racine d’indice pair ne saurait pas le faire — la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas un nombre réel —, et c’est pourquoi la calculatrice de racine carrée refuse les négatifs alors que cette page-ci les accepte.

Pourquoi un grand résultat bascule-t-il en notation scientifique ?

Parce que dix-neuf chiffres de zéros ne vous apprennent rien. Le cube de 1 000 000 s’écrit 1 suivi de dix-huit zéros, et imprimé en entier il s’étale sur toute la largeur du panneau sans rendre l’ordre de grandeur plus clair. Écrit 1,000000 × 10¹⁸, la taille devient immédiate. Les petits résultats ne sont pas touchés : 343 s’affiche 343,000000, et non comme une puissance de dix.

Quelle différence avec la calculatrice de volume d’un cube ?

L’une prend un nombre, l’autre prend une longueur. Ici l’entrée est une valeur pure, sans unité, donc 5 au cube vaut 125 et l’affaire s’arrête là. La calculatrice de volume d’un cube lit ce même 5 comme une arête en centimètres et répond 125 cm³ de volume et 150 cm² d’aire totale — la même arithmétique, avec une autre question accrochée derrière.

• Cube — the third power of a number, the expansion x · x · x, and why the cube of a negative stays negative — Wolfram MathWorld (United States)
• Cubic Number — the perfect cubes 1, 8, 27, 64 and the test for recognising one — Wolfram MathWorld (United States)
• Cube Root — the inverse of cubing, defined for negative inputs because the index is odd — Wolfram MathWorld (United States)