Comment calcule-t-on le volume d’un cube ?

En élevant la longueur de l’arête au cube : on la multiplie deux fois par elle-même. Un cube de 5 cm d’arête a un volume de 5 × 5 × 5 = 125 centimètres cubes. Un cube est le seul pavé qui n’ait besoin que d’une mesure, puisque sa longueur, sa largeur et sa hauteur valent toutes la même arête par définition.

Quelle est l’aire totale d’un cube ?

Six fois l’aire d’une face, soit 6s². Une face d’un cube de 5 cm vaut 25 centimètres carrés, et les six faces réunies font 150 centimètres carrés. Toutes les faces sont superposables, ce qui en fait une seule multiplication plutôt qu’une somme sur des rectangles différents comme pour un pavé quelconque.

Existe-t-il une arête pour laquelle le volume et l’aire totale sont le même nombre ?

Oui, 6 — et c’est la seule. Un cube de 6 cm a un volume de 216 centimètres cubes et une aire totale de 216 centimètres carrés. En posant s³ égal à 6s², on divise les deux membres par s² et il reste s = 6. En dessous de cette valeur c’est l’aire totale qui est la plus grande, au-dessus c’est le volume.

Puis-je saisir l’arête en pouces ou en pieds ?

Oui, et la conversion est faite pour vous, mais les lectures reviennent toujours en centimètres, centimètres carrés et centimètres cubes. C’est le point à surveiller sur cette page : saisir 2 pouces donne 131,0965 cm³ et non 8 pouces cubes — autrement dit une arête de 5,08 cm, puisqu’un pouce vaut 2,54 cm. Si la réponse vous la faut en unités impériales, convertissez le résultat plutôt que d’attendre du panneau qu’il le fasse.

Pourquoi la réponse n’est-elle pas arrondie ?

Parce que pour cette forme elle n’a pas besoin de l’être. Le volume vaut s³ et l’aire totale 6s², deux expressions à coefficients entiers : une arête entière produit donc une réponse entière — 7 cm donnent 343 cm³ et 294 cm². Les quatre décimales sont là pour les arêtes fractionnaires, comme le cube d’un demi-centimètre qui donne 0,125 cm³.

Calculatrice de volume d’un cube

Résultat

125,0000 cm³

Volume

Aire totale: 150,0000 cm²

Une calculatrice de volume d’un cube transforme une seule mesure en deux : le volume du cube à partir de la longueur de son arête, et l’aire totale que ses six faces additionnent. Saisissez une arête de 5 et le cube contient 125 cm³ d’espace tout en couvrant 150 cm² de surface. Toute longueur d’arête définit un cube, donc la seule entrée est ce nombre : la page déduit le reste de s³ et de 6s². L’arête peut être saisie en centimètres, en mètres, en millimètres, en pouces ou en pieds, et une arête nulle est acceptée comme cas dégénéré plutôt que refusée.

Cubes courants : le volume et l’aire totale à partir de l’arête

Arête (cm)	Volume du cube (cm³)	Aire totale (cm²)
1	1	6
6	216	216
5	125	150
7	343	294
2	8	24
3	27	54
4	64	96
10	1000	600
0.5	0.125	1.5

La ligne des 6 cm est le point de croisement, celui où les deux lectures sont égales à 216. La ligne des 10 cm est celle qui vaut la peine d’être retenue en dehors de cette page : 1 000 centimètres cubes font exactement un litre, si bien que tout récipient mesuré en litres se représente comme un cube à peu près de cette taille. La ligne des 7 cm reprend l’exemple de la calculatrice de cube, de sorte que le même cube peut être vérifié sur deux pages et doit y porter le même nombre. Le tableau se termine par une arête d’un demi-centimètre, dont le volume reste sous l’unité. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.125 plutôt que 0,125), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte — et les milliers ne sont pas groupés (1000 plutôt que 1 000).

Formule

V = s³ S = 6s²

s: La longueur de l’arête, la seule mesure dont cette forme a besoin. Un cube est le seul pavé dont la longueur, la largeur et la hauteur sont égales : une seule valeur le fixe donc entièrement. Elle se saisit avec une unité et se convertit en centimètres avant le calcul, et c’est pourquoi les résultats sont donnés en centimètres quelle que soit l’unité dans laquelle le nombre a été tapé.
V: Le volume, l’espace que le cube renferme. C’est la longueur de l’arête élevée au cube, donné en centimètres cubes avec quatre décimales, et c’est la lecture principale du panneau. Pour une arête entière le résultat est exact et non approché : 5 au cube vaut 125 sans rien après la virgule, et les quatre décimales sont là pour les arêtes qui ne sont pas entières.
S: L’aire totale, la somme des six faces carrées. Chaque face vaut s² et elles sont six, donc l’ensemble vaut 6s², donné en centimètres carrés avec quatre décimales. Toutes les faces d’un cube sont superposables, et c’est ce qui fait de l’aire totale une seule multiplication plutôt qu’une somme sur des rectangles différents.

Cette page sert quand il y a un cube réel à mesurer : une boîte, un dé, une caisse, un bloc de matière, une cuve aussi haute que large. Quand la question ne porte que sur un nombre — combien vaut 7 au cube —, la calculatrice de cube fait la même arithmétique sur une valeur pure et y ajoute la racine cubique, et quand la base n’est pas carrée, la calculatrice de volume d’un pavé droit prend les trois arêtes.

Exemples détaillés

Un cube de 5 cm d’arête
1. Le volume est l’arête au cube : 5 × 5 = 25, puis 25 × 5 = 125
2. Le cube renferme donc 125 centimètres cubes
3. Chaque face vaut 5 × 5 = 25 centimètres carrés
4. Six faces donnent 6 × 25 = 150 centimètres carrés d’aire totale
Les deux lectures sont exactes ici, ce qui mérite d’être remarqué car ce n’est pas vrai de tous les solides. Une sphère ou un cylindre de rayon entier donne un volume approché, puisque pi est irrationnel ; un cube, jamais. Les deux nombres répondent d’ailleurs à deux questions distinctes — 125 cm³ est ce que la boîte contient, 150 cm² est ce qu’il faudrait de carton pour la construire.
L’arête où le volume et l’aire totale se rencontrent
1. Volume : 6 × 6 = 36, puis 36 × 6 = 216 centimètres cubes
2. Aire totale : une face vaut 6 × 6 = 36, et six faces donnent 216 centimètres carrés
3. Les deux lectures tombent sur 216, et ce n’est pas une coïncidence
4. Cela tient à ce que s³ = 6s² se réduit à s = 6 pour toute arête strictement positive
Une seule longueur d’arête fait coïncider les deux nombres, et c’est 6. En dessous, c’est l’aire totale qui est la plus grande — un cube de 1 cm a 6 cm² de peau autour de 1 cm³ de contenu —, et au-dessus c’est le volume qui s’envole, ce qui explique que doubler un cube multiplie son volume par huit mais son aire totale par quatre seulement.
Un cube de 10 cm
1. 10 × 10 = 100, et 100 × 10 = 1 000, le volume vaut donc 1 000 centimètres cubes
2. C’est exactement un litre, et c’est pourquoi le litre est défini comme un décimètre cube
3. Une face vaut 10 × 10 = 100 centimètres carrés
4. Six faces donnent 600 centimètres carrés
Le cube de 10 cm est celui à retenir, car il relie cette page à toutes les autres pages de volume du site : 1 000 cm³ font un litre, si bien que tout réservoir décrit en litres se compare à un cube de cette taille environ. Ce même cube apparaît dans les tableaux de référence de la calculatrice de volume d’un pavé droit, là où les trois arêtes se trouvent être égales.

Limites

La longueur de l’arête est limitée à 1 000 000 000 et ne peut pas être négative — une arête négative donnerait un volume négatif pour une forme qui en a manifestement un. Zéro est accepté et renvoie zéro pour les deux lectures. Les unités de sortie sont fixes : le volume est toujours donné en centimètres cubes et l’aire totale toujours en centimètres carrés, même lorsque la saisie a été faite en pouces ou en pieds. Un cube de 2 pouces d’arête revient donc à 131,0965 cm³ et non à 8 pouces cubes ; pour suivre le calcul, rappelez-vous qu’un pouce vaut 2,54 cm, donc 2 pouces font 5,08 cm d’arête. Les deux lectures sont exactes pour les arêtes entières et correctes à quatre décimales dans les autres cas, à l’exception des arêtes très grandes, où le cube dépasse le point au-delà duquel tout entier n’est plus représentable et où les derniers chiffres cessent d’être fiables. Seuls le volume et l’aire totale sont donnés : la diagonale de l’espace ne figure pas parmi les sorties, et elle appartient à la calculatrice de carré, qui travaille en deux dimensions.

Questions fréquentes

Comment calcule-t-on le volume d’un cube ?: En élevant la longueur de l’arête au cube : on la multiplie deux fois par elle-même. Un cube de 5 cm d’arête a un volume de 5 × 5 × 5 = 125 centimètres cubes. Un cube est le seul pavé qui n’ait besoin que d’une mesure, puisque sa longueur, sa largeur et sa hauteur valent toutes la même arête par définition.
Quelle est l’aire totale d’un cube ?: Six fois l’aire d’une face, soit 6s². Une face d’un cube de 5 cm vaut 25 centimètres carrés, et les six faces réunies font 150 centimètres carrés. Toutes les faces sont superposables, ce qui en fait une seule multiplication plutôt qu’une somme sur des rectangles différents comme pour un pavé quelconque.
Existe-t-il une arête pour laquelle le volume et l’aire totale sont le même nombre ?: Oui, 6 — et c’est la seule. Un cube de 6 cm a un volume de 216 centimètres cubes et une aire totale de 216 centimètres carrés. En posant s³ égal à 6s², on divise les deux membres par s² et il reste s = 6. En dessous de cette valeur c’est l’aire totale qui est la plus grande, au-dessus c’est le volume.
Puis-je saisir l’arête en pouces ou en pieds ?: Oui, et la conversion est faite pour vous, mais les lectures reviennent toujours en centimètres, centimètres carrés et centimètres cubes. C’est le point à surveiller sur cette page : saisir 2 pouces donne 131,0965 cm³ et non 8 pouces cubes — autrement dit une arête de 5,08 cm, puisqu’un pouce vaut 2,54 cm. Si la réponse vous la faut en unités impériales, convertissez le résultat plutôt que d’attendre du panneau qu’il le fasse.
Pourquoi la réponse n’est-elle pas arrondie ?: Parce que pour cette forme elle n’a pas besoin de l’être. Le volume vaut s³ et l’aire totale 6s², deux expressions à coefficients entiers : une arête entière produit donc une réponse entière — 7 cm donnent 343 cm³ et 294 cm². Les quatre décimales sont là pour les arêtes fractionnaires, comme le cube d’un demi-centimètre qui donne 0,125 cm³.

Références

Cube — the regular hexahedron, its volume s³ and its surface area 6s², with all edges equal by definition — Wolfram MathWorld (United States)
Volume — how the volume of a solid is defined and why the units come out cubed — Wolfram MathWorld (United States)
Surface Area — the total area of a solid's boundary, and the six congruent faces of a cube — Wolfram MathWorld (United States)

Calculatrices liées

Calculatrice de cubeCube d’un nombre, et racine cubique de ce cube.Calculatrice de volume d’un pavéVolume et aire d’un pavé droit à partir des arêtes.Calculatrice de surface des solidesSurface des sphères, des cônes, des cylindres et des prismes.