Calculatrice de formule quadratique

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a Δ = b² − 4ac x₁ + x₂ = −b ÷ a x₁ · x₂ = c ÷ a

a

Le coefficient de x². Il ne peut pas être nul : avec a égal à zéro, l’équation est une droite déguisée, elle n’a qu’une seule racine au lieu de deux, et les formules de la somme et du produit divisent toutes les deux par a. La page refuse cette entrée et dit lequel des coefficients manque, plutôt que de répondre à une autre question

b

Le coefficient de x. Son signe est ce que lit le plus-ou-moins de la formule, et c’est aussi là que se loge le risque d’annulation : quand b est grand et que les deux racines sont éloignées, soustraire une racine carrée d’une autre fait perdre des chiffres. La page évite cette soustraction plutôt que d’espérer qu’elle soit sans conséquence

c

Le terme constant. C’est le produit des deux racines multiplié par a, ce qui est le contrôle le plus rapide disponible sans la calculatrice : si les racines que vous attendiez ne se multiplient pas en c ÷ a, quelque chose est faux plus haut. Quand c est nul, une racine vaut zéro et l’autre vaut −b ÷ a, ce qui tombe de la formule sans cas particulier

Δ = b² − 4ac

Le discriminant, le nombre unique qui décide de la forme de la réponse. Positif signifie deux racines réelles distinctes, nul une racine réelle double, négatif des racines complexes venant par paires conjuguées. La page s’en sert deux fois — une fois pour choisir quelles racines calculer, une fois pour choisir la pastille au-dessus du résultat — et ces deux lectures viennent de la même valeur, si bien qu’elles ne peuvent pas se contredire

x = (−b ± √Δ) ÷ 2a

La formule quadratique elle-même. Le plus-ou-moins produit les deux racines à partir d’une seule expression, et la racine carrée est la seule étape qui puisse échouer dans les réels : un Δ négatif n’a pas de racine carrée réelle, et c’est exactement le cas auquel la page répond quand même, en nombres complexes. La division par 2a est la raison pour laquelle a ne peut pas être nul

x₁ + x₂ = −b ÷ a

La somme des racines, l’une des relations de Viète. Elle vaut la peine d’être imprimée parce qu’elle survit intacte au cas complexe : les racines de x² − 2x + 5 sont 1 + 2i et 1 - 2i, et elles s’additionnent encore en 2. Quiconque soupçonne la page d’inventer des réponses quand le discriminant est négatif peut vérifier cette colonne et la trouver cohérente avec l’équation saisie

x₁ · x₂ = c ÷ a

Le produit des racines, la seconde relation de Viète, et le contrôle qui attrape une erreur de signe dans le terme constant. Pour une équation dont le coefficient dominant vaut 1, c’est simplement c : x² − 3x + 2 se factorise en (x − 1)(x − 2), donc les racines se multiplient en 2 et leur somme vaut 3. Comme la somme, il reste inchangé quand les racines sont complexes

b² − 4ac = 0

Le cas limite, où les deux racines s’effondrent en une seule et où la page imprime la même valeur dans les deux lignes. Ce n’est pas un cas rare : c’est la condition d’un trinôme carré parfait, et il se présente donc dans tout exercice de factorisation. La pastille au-dessus du résultat change pour le dire, et c’est le seul endroit de la page où le nombre de racines est énoncé en toutes lettres

Utilisez-la pour toute équation comportant un terme en x² dont vous voulez les racines, ce qui revient en pratique à trois situations : un exercice où la factorisation n’est pas évidente, un modèle physique dont les coefficients viennent de mesures et où aucune factorisation n’est disponible, et un cas dont on sait déjà que la réponse est complexe et où le traitement limité aux racines réelles ne laisserait rien. C’est aussi l’outil pour vérifier une factorisation déjà faite : la somme et le produit des racines étant imprimés, (x − 1)(x − 2) se confirme sans être redéveloppé. Passez à la calculatrice de pente quand a s’avère nul — c’est une droite, et c’est la page qui traite ax + by = c qui y répond. Passez à la calculatrice de racine n-ième quand l’opération réellement nécessaire est une racine carrée, puisque le discriminant sous le radical est une racine carrée comme une autre et que les règles des indices supérieurs sont là-bas. Passez à la calculatrice de puissances quand x² est à calculer plutôt qu’à résoudre, ce qui est la différence entre évaluer un trinôme du second degré et chercher où il s’annule.

1. x² − 3x + 2 = 0

   1. Le discriminant : Δ = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1
   2. Δ est positif, donc les deux racines sont réelles et distinctes
   3. √Δ = 1, donc les racines valent (3 + 1) ÷ 2 = 2 et (3 − 1) ÷ 2 = 1
   4. L’ordre décroissant place 2 sur la première ligne, et les contrôles concordent : 2 + 1 = 3 et 2 × 1 = 2

   L’équation avec laquelle la plupart des lecteurs arrivent, et celle qui se factorise proprement en (x − 1)(x − 2) — donc chaque nombre du panneau peut être confirmé en redéveloppant les facteurs. C’est aussi le cas où la réponse a l’air trop facile pour justifier une calculatrice, et c’est justement l’intérêt : le panneau montre son travail sur un problème dont vous connaissez déjà la réponse, et les mêmes cinq lignes reviennent pour un problème dont vous ne la connaissez pas.

2. x² − x − 1 = 0

   1. Le discriminant : Δ = (−1)² − 4 × 1 × (−1) = 1 + 4 = 5
   2. Δ est positif mais n’est pas un carré parfait, donc les racines sont irrationnelles
   3. √5 = 2,2360679…, donc les racines valent (1 + 2,2360679…) ÷ 2 et (1 − 2,2360679…) ÷ 2
   4. Imprimées à six décimales : 1,618034 et −0,618034

   Le nombre d’or, et le cas qui montre pourquoi la page n’imprime des fractions que lorsqu’elles sont exactes. Aucune fraction ne vaut (1 + √5) ÷ 2, donc la réponse est un décimal — et un lecteur qui voit 1,618034 sait qu’il est arrondi, alors que le même nombre écrit en fraction aurait l’air exact. Les deux racines se multiplient aussi exactement en −1, le genre de coïncidence qui confirme l’arithmétique plutôt que la saisie.

3. 2x² + 3x − 2 = 0

   1. Le discriminant : Δ = 3² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
   2. √Δ = 5, donc les racines valent (−3 + 5) ÷ 4 = 1/2 et (−3 − 5) ÷ 4 = −2
   3. La première racine est exacte sous forme de fraction, elle est donc imprimée 1/2 plutôt que 0,5
   4. Les contrôles : 1/2 + (−2) = −1,5 et 1/2 × (−2) = −1

   Le cas qui décide de la façon dont la page imprime les racines. Les deux racines sont exactement représentables, et la plus petite est un entier tandis que la plus grande est une fraction — un lecteur qui aurait supposé que « les racines s’impriment en décimal » se tromperait donc sur la première ligne et aurait raison sur la seconde. La somme et le produit sont ce qui rend la fraction lisible : −1,5 n’est pas visiblement la somme de 1/2 et de −2 avant qu’on la calcule, et la calculer prend une ligne.

4. x² − 2x + 5 = 0

   1. Le discriminant : Δ = (−2)² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16
   2. Δ est négatif, donc les racines sont complexes et viennent par paire conjuguée
   3. La partie réelle vaut −b ÷ 2a = 1 et la partie imaginaire √16 ÷ 2 = 2
   4. Les deux racines sont imprimées, et les relations de Viète tiennent encore : elles s’additionnent en 2 et se multiplient en 5

   C’est ici que cette page se sépare de celles qui impriment « pas de racine réelle » et s’arrêtent là. Les deux racines sont des nombres parfaitement déterminés, et les deux colonnes de contrôle le prouvent : 2 et 5 sont la somme et le produit que l’équation exige, et les mêmes valeurs reviendraient si les racines étaient réelles. Un lecteur à qui l’on a dit qu’il n’y a pas de réponse devrait lire les deux dernières lignes de cet exemple avant de le croire.

5. x² − 4x + 4 = 0

   1. Le discriminant : Δ = (−4)² − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0
   2. Δ est exactement nul, donc les deux racines se confondent
   3. La racine double vaut −b ÷ 2a = 4 ÷ 2 = 2
   4. La page imprime 2 dans les deux lignes, et la somme vaut 4 parce que la racine est comptée deux fois

   La limite pour laquelle la pastille existe. L’équation est (x − 2)², donc les deux lignes annoncent 2 et rien dans ce couple ne ressemble à une erreur — mais un lecteur qui compte les lignes conclurait qu’il y a deux racines là où il n’y en a qu’une. La pastille au-dessus du résultat annonce une racine réelle double, et le fait que la somme vaille 4 plutôt que 2 est l’arithmétique qui confirme le verdict.

Cette page résout des équations du second degré et s’arrête là. Les équations du troisième et du quatrième degré, et celles qui comportent un terme en x⁴, ont leurs propres méthodes et leurs propres pages ailleurs ; rien ici ne s’y étend. Un coefficient dominant nul est refusé plutôt que discrètement traité comme une équation du premier degré, si bien que bx + c = 0 doit aller à la calculatrice de pente, qui traite cette forme-là. Quand le discriminant est négatif, les racines sont imprimées comme des nombres complexes de la forme a ± bi, ce qui suffit à les lire et à les contrôler mais ne fait pas de cette page un outil d’arithmétique complexe complet — multiplier deux de ces nombres à la main reste à votre charge. Les racines sont imprimées à six décimales lorsqu’elles sont irrationnelles, ce qui est une limite d’affichage et non de précision : le calcul derrière est en double précision complète et l’arrondi n’a lieu qu’à la sortie. L’ordre des deux racines est fixé par convention et non par la formule, donc une page ou un manuel qui les liste dans l’autre sens ne contredit pas celle-ci, il les ordonne simplement autrement. Les coefficients sont plafonnés à un million en valeur absolue, ce qui est une plage d’affichage et non une limite mathématique. Enfin, la somme et le produit des racines sont imprimés avec les mêmes six décimales que le reste, si bien qu’une somme exacte de un tiers reviendrait en 0,333333 plutôt qu’en fraction — les colonnes des racines ont droit au traitement fractionnaire, ces deux-là non.

Que faire quand le discriminant est négatif ?

Lire malgré tout les deux racines que la page imprime. Un discriminant négatif signifie que les solutions forment un couple de nombres complexes conjugués plutôt que deux nombres réels, et elles sont parfaitement déterminées : x² − 2x + 5 a pour racines 1 + 2i et 1 - 2i. Beaucoup de manuels s’arrêtent à « pas de racine réelle », ce qui est vrai mais incomplet — l’équation a tout de même deux solutions, et les colonnes de la somme et du produit de cette page les confirment.

Laquelle des deux racines est la première ?

La plus grande. Le plus-ou-moins de la formule n’ordonne pas les racines, donc la page doit choisir, et elle choisit l’ordre décroissant — ce qui signifie que la racine 1 n’est jamais plus petite que la racine 2. Cela compte plus qu’il n’y paraît : sans ordre fixé, changer le signe de b échangerait les deux lignes et un lecteur comparant deux calculs croirait que les réponses ont changé.

Pourquoi une racine est-elle parfois imprimée en fraction et parfois en décimal ?

Les fractions sont imprimées lorsqu’elles sont exactes et que le dénominateur est petit, les décimales sinon. 2x² + 3x − 2 = 0 a pour racines 1/2 et −2, et 1/2 est à la fois exacte et courte, donc elle s’écrit en fraction — imprimer 0,5 à cet endroit suggérerait une valeur arrondie. Le nombre d’or vaut (1 + √5) ÷ 2, qui n’est pas une fraction du tout, donc il s’écrit 1,618034 et la virgule vous indique qu’il est approché.

Que se passe-t-il si le coefficient a est nul ?

La page refuse l’entrée plutôt que de la résoudre. Avec a égal à zéro, l’équation est bx + c = 0, qui est une droite avec une seule racine valant −c ÷ b, et les formules de la somme et du produit des racines divisent toutes les deux par a et cessent de vouloir dire quoi que ce soit. La calculatrice de pente traite les équations de cette forme, et le refus la nomme donc comme l’endroit où aller.

À quoi sert le discriminant ?

C’est le nombre unique qui vous dit dans lequel des trois cas vous vous trouvez avant tout autre calcul : Δ = b² − 4ac. Positif signifie deux racines réelles distinctes, nul une racine réelle double, négatif un couple de racines complexes conjuguées. Il se trouve sous la racine carrée dans la formule, si bien que son signe est exactement la question « y a-t-il une racine carrée réelle à prendre ».

Puis-je m’en servir pour vérifier une factorisation ?

Oui, et les colonnes de la somme et du produit sont là pour cela. Si vous pensez que x² − 3x + 2 se factorise en (x − 1)(x − 2), les racines doivent être 1 et 2, leur somme 3 et leur produit 2 — ce que le panneau imprime. Une erreur de signe dans le terme constant se voit immédiatement comme un produit du mauvais signe, ce qui est plus rapide que de redévelopper les parenthèses.

• Quadratic Equation — the formula, the discriminant and the three cases it distinguishes, including the complex roots this page prints — Wolfram MathWorld (United States)
• Discriminant — how a single combination of the coefficients determines the number and nature of the roots — Wolfram MathWorld (United States)
• Vieta's Formulas — the relations between the coefficients of a polynomial and the sums and products of its roots, which this page prints as a check — Wolfram MathWorld (United States)