Calculatrice de complétion du carré

ax² + bx + c = a(x − h)² + k h = −b ÷ 2a k = c − b² ÷ 4a

a

Le coefficient dominant, qui ne peut pas être nul : avec a égal à zéro il n’y a plus de terme au carré, l’expression décrit une droite et non un trinôme, et il n’y a aucun carré à compléter. Le signe de a décide du sens d’ouverture de la parabole — vers le haut si a est positif, vers le bas s’il est négatif — et sa valeur absolue décide de l’étroitesse de la courbe.

b

Le coefficient du terme du premier degré. C’est lui qui fixe la position horizontale du sommet : h vaut −b divisé par deux fois a, donc un b positif pousse le sommet vers la gauche et un b négatif le pousse vers la droite. Son carré entre en plus dans k, ce qui explique qu’un grand b accompagné d’un petit a déplace le sommet très loin verticalement.

c

Le terme constant. Il translate toute la parabole vers le haut ou vers le bas et ne déplace pas le sommet d’un pouce sur le côté — c n’apparaît que dans k, jamais dans h. Il reste une saisie obligatoire au lieu d’être traité comme nul quand on l’omet, car l’omettre rendrait le k de la forme affichée faux sans que rien sur la page ne signale qu’une hypothèse avait été faite.

h

L’abscisse du sommet, égale à −b ÷ 2a. C’est la valeur de x qui annule le carré, et c’est exactement ce que veut dire sommet ici : le point le plus bas de la courbe quand a est positif, le plus haut quand a est négatif. Dans la forme affichée son signe est replié dans la parenthèse, si bien qu’un sommet en −3 s’écrit (x + 3)² et non (x − (−3))².

k

L’ordonnée du sommet, égale à c − b² ÷ 4a. C’est la valeur que prend toute l’expression lorsque x vaut h : le minimum du trinôme si a est positif, son maximum si a est négatif. Lorsque k vaut exactement zéro, la forme affichée abandonne purement et simplement le terme constant — un carré parfait s’écrit (x + 3)², et non (x + 3)² + 0.

1. Complétion du carré pour x² + 6x + 5

   1. Prenez la moitié du coefficient de x : 6 ÷ 2 = 3, la parenthèse est donc (x + 3)
   2. Élevez cette parenthèse au carré : (x + 3)² = x² + 6x + 9, soit 4 de plus que l’expression donnée
   3. Retirez l’excédent : (x + 3)² − 4
   4. Le sommet est en (−3, −4), et le coefficient dominant est positif, donc la parabole s’ouvre vers le haut

   L’exemple d’école, et celui dont l’arithmétique se vérifie en développant. La parenthèse est choisie pour que son carré reproduise exactement les deux premiers termes ; ce que ce carré a de trop est retiré ensuite, et le résultat est la même expression sous une autre forme. À partir de cette forme, le sommet se lit sans le moindre calcul.

2. Une forme qui tombe sur des fractions

   1. Prenez la moitié de 1 pour former la parenthèse : (x + 1/2)
   2. Son carré vaut x² + x + 1/4, soit un quart de plus que x² + x
   3. Retirez ce quart : (x + 1/2)² − 1/4
   4. Le sommet est en (−1/2, −1/4), que les deux colonnes numériques rapportent sous la forme −0,5 et −0,25

   C’est ici que l’écriture fractionnaire gagne sa place. La moitié d’un coefficient impair est une fraction, et elle le reste tout au long du calcul : la forme affichée est donc exacte, tandis que 0,5 et 0,25 n’en sont que deux écritures décimales. Les deux colonnes numériques passent nécessairement par des décimales, puisqu’elles contiennent des nombres et non une notation — et c’est justement ici que chacune vaut la peine d’être lue pour l’autre.

3. Un carré parfait

   1. Prenez la moitié de 6 pour former la parenthèse : (x + 3)
   2. Son carré vaut x² + 6x + 9, soit exactement l’expression donnée
   3. Il ne reste rien, le terme constant disparaît de la forme affichée
   4. Le sommet se trouve sur l’axe des abscisses, en (−3, 0)

   Le cas qui montre pourquoi le terme constant est omis au lieu d’être affiché sous la forme + 0. Quand l’expression est déjà un carré parfait, le sommet touche l’axe des abscisses et la forme finale compte deux termes au lieu de trois. Cette disparition du dernier terme est elle-même l’information : elle dit que le trinôme admet une racine double, ce que la page des racines rapporterait comme une seule solution.

Le coefficient dominant ne peut pas être nul. Avec a égal à zéro l’expression est du premier degré, sa courbe est une droite, et l’idée même de compléter un carré ne s’applique plus — la page refuse cette saisie plutôt que de diviser par zéro en chemin vers h. Les trois coefficients sont limités à un ordre de grandeur d’un million, car les coordonnées du sommet croissent comme le carré de b, et au-delà de cette plage la colonne k partirait dans les centaines de milliards et cesserait d’être un nombre utilisable. Les valeurs de la forme affichée sont données en fraction lorsque le dénominateur divise juste et ne dépasse pas 1 000, et avec six décimales dans le cas contraire ; les deux colonnes nommées passent toujours par des décimales, parce qu’elles contiennent des nombres et non une notation. Cette page ne résout pas l’équation du second degré. Elle donne l’expression sous sa forme canonique et les coordonnées du sommet ; les racines — les points où la parabole coupe l’axe des abscisses — se calculent sur la page de la formule quadratique vers laquelle celle-ci renvoie. Elle n’indique pas non plus si la parabole s’ouvre vers le haut ou vers le bas : cela dépend du signe du coefficient dominant, et ce signe se voit dans le premier champ que vous avez rempli, pas dans l’une des trois lignes de résultat.

À quoi sert la complétion du carré ?

Elle réécrit un trinôme du second degré sous sa forme canonique, a(x − h)² + k, où le sommet de la parabole se lit directement dans l’expression au lieu d’être calculé. Le procédé consiste à prendre la moitié du coefficient de x, à élever au carré la parenthèse obtenue, puis à retirer ce que ce carré a ajouté en trop. La valeur de l’expression ne change pas : seule sa forme change.

Pourquoi les nombres sont-ils affichés en fractions ?

Parce que la moitié d’un coefficient impair est une fraction, et qu’une fraction reste exacte pendant tout le reste du calcul. Écrire 1/2 sous la forme 0,5 semble anodin jusqu’à ce que l’étape suivante le multiplie : à ce moment-là la décimale doit être arrondie et le résultat dérive. La forme affichée utilise une fraction chaque fois que le dénominateur divise juste et vaut au plus 1 000, et ne se rabat sur six décimales que lorsque c’est impossible.

Comment savoir si la parabole s’ouvre vers le haut ou vers le bas ?

D’après le signe du coefficient dominant a : positif, elle s’ouvre vers le haut, négatif, vers le bas. Cette page n’affiche pas cette conclusion, parce que le signe de a n’apparaît dans aucun de ses trois résultats — il se voit dans le premier champ saisi, et la forme canonique le reflète. Quand a est positif le sommet est le minimum du trinôme, et quand a est négatif il en est le maximum.

Cette page résout-elle l’équation du second degré ?

Non. Elle donne l’expression sous forme canonique et les coordonnées du sommet. Résoudre signifie trouver les valeurs de x pour lesquelles l’expression s’annule, c’est-à-dire les points où la parabole coupe l’axe des abscisses, et c’est ce que fait la page de la formule quadratique liée plus bas. Les deux pages prennent les mêmes trois coefficients et rendent des choses différentes : l’une une expression, l’autre des racines.

Pourquoi le terme constant manque-t-il parfois dans la réponse ?

Parce qu’il vaut zéro. Quand le trinôme est déjà un carré parfait, le sommet se trouve sur l’axe des abscisses et la forme affichée laisse tomber le terme constant au lieu d’écrire + 0 — le carré de x + 3 s’écrit (x + 3)² et non (x + 3)² + 0. Ce terme absent est porteur d’information : il vous dit que le trinôme admet une racine double exactement à cette valeur de x.

Pourquoi le coefficient dominant ne peut-il pas être nul ?

Parce qu’il n’y aurait alors plus de terme au carré, donc plus de trinôme : l’expression décrit une droite et il n’y a rien à compléter. La division par 2a qui mène à h serait en outre une division par zéro, et le sommet d’une droite n’est pas un point au même sens. La page refuse cette saisie et la nomme, plutôt que de produire une forme qui ne veut rien dire.

• Completing the Square — the algebraic procedure, its use in deriving the quadratic formula, and the vertex form it produces — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratic Equation — the equation this page's expression belongs to, and where the roots that this page does not compute come from — Wolfram MathWorld (United States)
• Parabola — the curve the expression draws, with the vertex at the point this page reports — Wolfram MathWorld (United States)