Calculatrice de forme canonique

y = ax² + bx + c → h = -b / (2a) → k = c - b² / (4a) → forme canonique : y = a(x - h)² + k

a

L’étirement, et la direction. C’est le même nombre que dans la forme développée — la mise sous forme canonique ne le change pas — et il se retrouve maintenant devant la parenthèse. Positif ouvre vers le haut, négatif vers le bas, et sa valeur absolue décide de l’étroitesse de la parabole : |a| plus grand que 1 donne une parabole plus étroite que la parabole x² ordinaire, plus petit que 1 en donne une plus large.

h

L’abscisse du sommet, celle autour de laquelle la parenthèse se construit. Son signe se retourne quand elle entre dans la parenthèse : un sommet en x = -3 s’écrit (x + 3). C’est aussi l’axe de symétrie, et le point le plus haut ou le plus bas de la courbe se trouve sur cette verticale x = h. Les manuels français notent cette coordonnée α et écrivent y = a(x − α)² + β ; la lettre h est conservée ici parce qu’elle est celle de la page.

k

L’ordonnée du sommet : la valeur que la courbe prend en ce point, donc la plus petite valeur atteinte quand elle s’ouvre vers le haut, ou la plus grande quand elle s’ouvre vers le bas. C’est ce qui reste une fois que le carré a rendu compte du reste, et k = 0 est le cas particulier où le sommet tombe exactement sur l’axe des abscisses.

x, y

Les deux variables de l’équation obtenue. Tout couple qui la vérifie se trouve sur la courbe, si bien que la forme canonique est une description complète de la parabole — la même description que la forme développée, arrangée pour que le point intéressant soit celui qui se lit.

Utilisez-la quand vous avez un trinôme du second degré sous forme développée et que ce que vous voulez savoir est l’endroit où la courbe change de sens — le maximum d’un bénéfice, le minimum d’un coût, le point culminant d’une balle lancée — ou quand il faut la tracer, parce que le sommet plus le sens d’ouverture donnent l’essentiel de la silhouette. C’est aussi la forme à prendre quand le sommet est ce qui vous a été donné et que la forme développée est ce que vous voulez, lue à l’envers. Tout trinôme du second degré en a une, et ses trois coefficients suffisent à la trouver.

1. y = 2x² - 4x + 1 — un coefficient dominant différent de 1

   1. L’abscisse du sommet : h = -b / (2a) = 4 / 4 = 1
   2. L’ordonnée du sommet : k = c - b² / (4a) = 1 - 16 / 8 = 1 - 2 = -1
   3. La parenthèse se construit autour de h = 1, elle s’écrit donc (x - 1)
   4. Le coefficient dominant 2 se place devant la parenthèse : y = 2(x - 1)² - 1

   Le contrôle consiste à redévelopper : 2(x - 1)² = 2x² - 4x + 2, et en ajoutant le -1 on retombe sur 2x² - 4x + 1, qui est bien le point de départ. C’est ce qui fait de cette opération une réécriture et non une autre courbe — la même parabole, décrite par son sommet au lieu de l’être par ses coefficients. Le 2 placé devant fait un vrai travail et ne disparaît pas ; un coefficient dominant de 1 est le seul qui laisse la parenthèse toute seule.

2. y = -x² + 4 — ouverture vers le bas, et aucun terme en x

   1. L’abscisse du sommet : h = -0 / (2 × -1) = 0
   2. L’ordonnée du sommet : k = 4 - 0 = 4
   3. Avec h = 0 la parenthèse s’écrirait (x - 0), elle se réduit donc à un x² tout seul
   4. Un coefficient dominant de -1 s’écrit avec un seul signe moins : y = -x² + 4

   C’est le cas où la forme canonique et la forme développée sont la même chaîne de caractères, et c’est justement l’intérêt : quand b est nul, le sommet se trouve déjà sur l’axe des ordonnées, il n’y avait donc rien à déplacer et rien à compléter. Lisez la réponse comme une description plutôt que comme un changement — la courbe s’ouvre vers le bas et change de sens en (0, 4), soit quatre unités au-dessus de l’origine.

3. y = 0,5x² + 3x + 0,5 — un coefficient dominant fractionnaire

   1. L’abscisse du sommet : h = -3 / (2 × 0,5) = -3
   2. L’ordonnée du sommet : k = 0,5 - 9 / 2 = 0,5 - 4,5 = -4
   3. La parenthèse se construit autour de h = -3, elle s’écrit donc (x + 3) — le signe se retourne
   4. Un demi s’imprime en fraction et entre parenthèses, car 1/2(x + 3)² se lirait comme 1 divisé par 2(x + 3)² : y = (1/2)(x + 3)² - 4

   Le développement confirme le résultat : (1/2)(x + 3)² = 0,5x² + 3x + 4,5, et 4,5 - 4 ramène la constante à 0,5. La fraction apparaît parce que les coefficients étaient des fractions, et non parce que quelque chose a été approximé — 1/2 est exact là où 0,5 est le même nombre, et la forme imprimée est celle qu’une personne écrit à la main.

Le coefficient dominant ne peut pas être nul. Avec a = 0 il n’y a aucun carré à compléter et aucun sommet à annoncer, puisque le graphe est une droite : la page refuse l’entrée au lieu d’inventer une réponse. Les coefficients sont limités à un million dans les deux sens, et un a très petit combiné à un b très grand est refusé lui aussi, car le sommet serait repoussé au-delà de l’endroit où le nombre veut encore dire quelque chose. L’équation est imprimée, pas résolue : la page ne vous donne ni les racines, ni les points où la courbe coupe l’axe des abscisses, ni la valeur de y pour un autre x — la calculatrice de formule quadratique liée s’occupe des racines, et redévelopper la forme canonique est le travail de la calculatrice de double distributivité. Les nombres sont imprimés en fractions quand le dénominateur est assez petit pour être lisible et en valeurs à six décimales sinon, si bien qu’un sommet au tiers ressort en 0,333333. Rien ici ne porte d’unité, parce que les coefficients d’un trinôme du second degré sont des nombres et non des mesures. Enfin, la notation suit la convention anglaise : les manuels français écrivent y = a(x − α)² + β là où cette page imprime h et k — ce sont les mêmes quantités sous d’autres lettres, et il n’y a aucune conversion à faire.

Qu’est-ce que la forme canonique ?

C’est y = a(x - h)² + k, une façon d’écrire un trinôme du second degré qui met le sommet bien en vue : le point où la parabole change de sens est le point (h, k), et ses deux coordonnées se lisent sur l’équation sans aucun calcul. La forme développée ax² + bx + c décrit la même courbe — les deux sont des réécritures l’une de l’autre, et a est le même nombre dans les deux.

En quoi est-ce différent de la calculatrice de complétion du carré ?

L’arithmétique est la même et le sommet sort identique, parce que les deux pages prennent exactement les trois mêmes coefficients. Ce qui diffère, c’est ce qu’elles rendent : cette page-là imprime l’expression réécrite, a(x - h)² + k, et explique la méthode pour y arriver ; cette page-ci imprime l’équation de la parabole, y = a(x - h)² + k, et porte sur la lecture du graphe — où elle tourne, dans quel sens elle s’ouvre, quelle est son étroitesse.

Comment savoir si la parabole s’ouvre vers le haut ou vers le bas ?

Par le signe de a, le nombre placé devant la parenthèse. Positif, elle s’ouvre vers le haut, donc le sommet est le point le plus bas de la courbe et k est la valeur minimale ; négatif, elle s’ouvre vers le bas, donc le sommet est le point le plus haut et k est la valeur maximale. La page n’imprime pas de verdict, parce que le signe de a n’est pas l’une de ses sorties — mais il est bien là, dans l’équation, devant la parenthèse.

Le sommet s’appelle (h, k) ou (α, β) ?

Les deux, selon la convention. Les manuels français écrivent la forme canonique y = a(x − α)² + β, avec α pour l’abscisse du sommet et β pour son ordonnée ; la convention anglaise, que cette page a conservée, écrit y = a(x - h)² + k. Le h imprimé ici est donc exactement l’α des manuels français, et le k en est le β — c’est la même courbe sous d’autres lettres, sans rien à convertir.

Où se trouve l’axe de symétrie ?

En x = h, la droite verticale qui passe par le sommet — le même h que celui qui apparaît dans la parenthèse. La parabole est symétrique par rapport à cette droite, et c’est même pour cela que le sommet est le point où elle change de sens : tout ce qui se trouve à sa gauche est le reflet de quelque chose à sa droite. Cela signifie aussi que les deux racines, quand la courbe en a, sont à la même distance de part et d’autre de cet axe, si bien que leur moyenne vaut h.

Pourquoi l’équation montre-t-elle parfois des fractions ?

Parce que la valeur exacte était une fraction. Un décimal qui se termine en quelques chiffres et dont le dénominateur est petit est imprimé sous forme de fraction — 0,5 en 1/2, 0,25 en 1/4 — puisque c’est ainsi qu’on l’écrirait à la main, et parce que 1/2 est exact là où 0,5 n’en est qu’une autre écriture. Tout ce qui est plus long est imprimé en décimal arrondi à six rangs, si bien qu’un sommet au tiers apparaît en 0,333333.

• Parabola vertex — the point this page reports, and why the curve turns around there — Wolfram MathWorld (United States)
• Vertex — the same notion for curves in general, of which the parabola's turning point is one case — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratic polynomial — ax² + bx + c and the several ways it can be written, vertex form among them — Wolfram MathWorld (United States)