Calculatrice de double distributivité

(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd F = ac O = ad I = bc L = bd

a, c

Les deux coefficients de x, un par binôme. Aucun des deux ne peut être nul : un binôme dont le terme en x est nul est une constante, et multiplier par elle n’est pas cette méthode. Leur produit est le premier terme du développement, et c’est pourquoi le coefficient dominant de la réponse vaut ac et non simplement a ou c.

b, d

Les deux constantes. Elles peuvent être nulles, négatives ou fractionnaires, et elles décident de deux des quatre produits : la paire extérieure ad et la paire intérieure bc s’additionnent pour donner le terme du milieu, tandis que leur produit bd est la constante de la fin. Les deux négatives, c’est ce qui rend le dernier terme positif de nouveau.

F, O, I, L

Les quatre produits, dans l’ordre que la méthode leur donne : premiers (ac), extérieurs (ad), intérieurs (bc), derniers (bd). Ces initiales sont celles du sigle anglais, et leur traduction est celle des quatre mots français correspondants. Le terme du milieu du développement est la somme des produits extérieurs et intérieurs, et c’est la seule étape de la double distributivité où deux nombres se combinent au lieu d’être simplement écrits l’un après l’autre.

x

La variable dans laquelle les deux binômes sont écrits. Elle ne porte ici aucune valeur — la réponse est une expression et non un nombre, et c’est pourquoi la lecture principale est du texte et non une colonne de chiffres.

Cette page sert à multiplier deux binômes à la main et à vérifier le résultat étape par étape. Le sens inverse — partir d’un trinôme développé et l’écrire comme un produit — est la factorisation, et la page de la complétion du carré prend la même expression par l’autre bout. Quand les deux binômes sont identiques, le développement se réduit à une identité remarquable, et la différence de deux carrés en est le cas le plus fréquent.

1. (x + 2)(x + 3)

   1. Premiers : x × x = x², le premier produit vaut donc 1
   2. Extérieurs : x × 3 = 3x, le produit extérieur vaut 3
   3. Intérieurs : 2 × x = 2x, le produit intérieur vaut 2
   4. Derniers : 2 × 3 = 6
   5. Extérieurs et intérieurs se combinent en terme du milieu : 3x + 2x = 5x
   6. Le développement est x² + 5x + 6

   Le cas standard, et celui où les quatre produits sont tous positifs et tous distincts. Le terme du milieu vient de l’addition des produits extérieur et intérieur, ce qui est l’étape que les élèves sautent le plus souvent — avoir les deux nombres imprimés à côté de la réponse est ce qui rend cette étape vérifiable.

2. Quand aucun coefficient de x ne vaut 1

   1. Premiers : 2x × 3x = 6x², le coefficient dominant vaut donc 6
   2. Extérieurs : 2x × 4 = 8x
   3. Intérieurs : 1 × 3x = 3x
   4. Derniers : 1 × 4 = 4
   5. Terme du milieu : 8x + 3x = 11x
   6. Le développement est 6x² + 11x + 4

   Le coefficient dominant est un produit et non un nombre isolé : il ne peut donc être lu dans aucun des deux binômes. Rien d’autre ne change dans la méthode : le terme du milieu reste la somme des produits extérieur et intérieur, et c’est le seul endroit où deux des quatre nombres fusionnent.

3. Une différence de deux carrés

   1. Premiers : x × x = x²
   2. Extérieurs : x × (−5) = −5x
   3. Intérieurs : 5 × x = 5x
   4. Derniers : 5 × (−5) = −25
   5. Les produits extérieur et intérieur valent −5x et +5x, ils s’annulent exactement
   6. Sans terme du milieu, le développement est x² − 25

   Le cas qui prouve que le terme du milieu est une somme et non un produit. Les quatre produits nommés sont tous non nuls, et pourtant le développement ne compte que deux termes — parce que les deux qui formeraient le terme du milieu sont égaux et opposés. Une page qui imprimerait les quatre produits sans les additionner donnerait l’impression d’avoir perdu un terme.

Le coefficient de x doit être non nul dans chaque binôme. Si l’un des deux est nul, il n’y a plus de terme en x à apparier, l’expression est une constante multipliée par un binôme et la première étape de la méthode ne produit rien — l’entrée est donc refusée et nommée comme telle. Les quatre coefficients sont bornés en valeur absolue à un million, parce que les produits extérieur et intérieur sont additionnés avant d’être arrondis et que les valeurs intermédiaires les plus grandes dépassent ce qu’un lecteur peut vérifier à l’œil. Les résultats fractionnaires sont imprimés sous forme de fractions quand le dénominateur vaut au plus mille et divise exactement, et avec six décimales sinon, si bien que (x + 1/2)(x + 3) affiche un demi plutôt qu’un zéro virgule cinq. Cette page multiplie ; elle ne factorise pas. Passer d’un trinôme développé à ses deux binômes est le problème inverse, et la page ne s’y essaie pas.

Que signifie FOIL, et comment dit-on en français ?

FOIL est un sigle anglais : First, Outer, Inner, Last. Il nomme quatre paires de termes prises dans cet ordre dans les deux binômes : les deux premiers termes, les deux qui sont à l’extérieur du produit écrit, les deux qui sont à l’intérieur, et les deux constantes. Le français n’a pas de sigle équivalent, et la méthode y porte le nom de double distributivité : on distribue chaque terme du premier binôme sur le second, ce qui produit exactement les mêmes quatre produits. Un élève francophone qui cherche « FOIL calculator » cherche donc cette page-ci.

Pourquoi les produits extérieur et intérieur s’additionnent-ils ?

Parce que tous les deux produisent un terme en x, et que les termes semblables se combinent. Rien n’est facultatif dans la double distributivité : les quatre produits constituent la liste complète des paires, et le résultat est leur somme. Les termes extérieur et intérieur sont les deux seuls qui peuvent fusionner, et c’est pourquoi le développement de deux binômes compte trois termes et non quatre.

La méthode marche-t-elle avec des coefficients négatifs ?

Oui, et le signe voyage avec le terme auquel il appartient. Dans (x + 5)(x − 5), le produit extérieur vaut −5x et le produit intérieur +5x ; ils s’annulent, le terme du milieu disparaît donc entièrement et il ne reste que deux termes. Les deux constantes négatives forment un autre cas : cela rend le produit final positif de nouveau.

Le coefficient de x peut-il être nul ?

Pas sur cette page. Un binôme dont le coefficient de x est nul n’est en réalité qu’une constante, et multiplier par elle relève de l’arithmétique ordinaire plutôt que de cette méthode — la première étape n’aurait rien à écrire. L’entrée est refusée et nommée comme telle au lieu d’être traitée en silence comme une constante.

Pourquoi manque-t-il parfois un terme dans la réponse ?

Parce que son coefficient s’est révélé nul. Quand les produits extérieur et intérieur s’annulent, il n’y a aucun terme en x, et le développement s’écrit x² − 25 plutôt que x² + 0x − 25. Supprimer le terme vide est la convention d’affichage partout sur cette page ; les quatre produits nommés montrent malgré tout ce qu’il est advenu de lui.

Pourquoi les réponses fractionnaires sont-elles imprimées en fractions ?

Parce qu’une fraction reste exacte alors qu’un décimal n’est qu’une de ses écritures. (x + 1/2)(x + 3) a un coefficient de x égal à 7/2, et l’imprimer 3,5 serait juste ici mais dériverait dès l’étape suivante qui le multiplierait. La forme imprimée utilise une fraction chaque fois que le dénominateur divise exactement et vaut au plus mille, et ne se rabat sur six décimales que lorsqu’elle y est forcée.

• Quadratic Equation — the equation whose left-hand side the expansion produces, and the standard form the coefficients feed into — Wolfram MathWorld (United States)
• Completing the Square — the same quadratic expression taken the other way, from expanded form into a squared bracket — Wolfram MathWorld (United States)
• Parabola — the curve an expanded quadratic draws, and the reason its coefficients are worth getting right — Wolfram MathWorld (United States)