Calculatrice de racine carrée

√x = √(m² · r) = m · √r √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d

x

Le radicande, le nombre placé sous le signe radical. Il ne peut pas être négatif : un radicande négatif n’a pas de racine carrée réelle, et le carré d’un nombre réel n’est jamais négatif, si bien que la page le refuse et renvoie aux racines d’indice impair de la calculatrice de racine n-ième. Zéro ne pose aucun problème : la racine carrée de 0 vaut 0.

m²

Le plus grand carré parfait qui divise le radicande : 4, 9, 16, 25, 36 et ainsi de suite. Le trouver, c’est toute la simplification, et la page cherche du plus grand au plus petit afin que le premier facteur trouvé soit le bon. Pour 72, ce facteur vaut 36, ce qui laisse 2 sous le radical.

m

La racine carrée de ce carré parfait, qui sort devant le signe radical : 6 dans le cas de 72. Lorsque le coefficient est un autre entier, il est imprimé tel quel, et la forme exacte se lit donc 6√2. Lorsqu’il vaut 1, le coefficient est supprimé plutôt qu’imprimé, parce que 1√2 ne s’écrit pas.

r

Ce qui reste sous le radical une fois tous les facteurs carrés sortis. Ce reste n’est divisible par aucun carré parfait, et c’est précisément ce qui rend la forme définitive. S’il ne reste rien — si le radicande était un carré parfait au départ — le signe radical disparaît complètement et la forme exacte n’est plus qu’un nombre, comme pour la racine carrée de 144.

√x

La valeur décimale, donnée à six décimales. C’est le même nombre que la forme exacte évaluée — 6√2 vaut 8,485281 — et elle est imprimée à côté de cette forme plutôt qu’à sa place, parce que les deux ne répondent pas à la même question. La valeur décimale est ce avec quoi l’on mesure ; la forme exacte est ce avec quoi l’on démontre.

1. Simplifier la racine carrée de 72

   1. Chercher le plus grand carré parfait qui divise 72
   2. 36 le divise : 72 ÷ 36 = 2, donc 72 = 36 × 2
   3. La racine carrée de 36 vaut 6, qui sort devant : √72 = 6√2
   4. L’évaluation de la forme exacte donne 8,485281

   Le cas qui justifie les deux colonnes. Sous forme décimale, √72 vaut 8,485281 et il n’y a plus rien à en dire ; sous forme exacte, c’est 6√2, ce qui montre d’un coup d’œil que l’élever au carré redonne 72 exactement. La vérification tient en une ligne : (6√2)² vaut 36 × 2, soit 72.

2. Un radicande avec une décimale

   1. Un radicande décimal est d’abord ramené à une fraction : 1,5 = 3/2
   2. On répartit la racine entre numérateur et dénominateur avec √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d
   3. Ce qui donne √(3 × 2) ÷ 2 = √6 ÷ 2
   4. La valeur décimale est 1,224745

   La forme exacte utilise un signe de division plutôt qu’une barre oblique, et c’est délibéré. Écrite √6/2, l’expression est ambiguë : elle se lit aussi bien comme la racine carrée de six divisée par deux que comme la racine carrée de six demis, qui vaut √3. La page imprime √6 ÷ 2 pour qu’il n’y ait qu’une lecture possible. C’est le cas que la calculatrice de racine n-ième n’accepte pas, puisqu’elle exige un radicande entier.

3. Une décimale qui se révèle être un carré parfait

   1. 2,25 s’écrit 9/4 sous forme de fraction
   2. Les deux termes sont des carrés parfaits : √9 = 3 et √4 = 2
   3. Il ne reste rien sous le radical, donc la forme exacte est la fraction 3/2
   4. En écriture décimale, cela fait 1,5

   Lorsque le radical se vide, la forme exacte cesse d’être un radical : c’est une simple fraction, et c’est le signe que le radicande était un carré parfait. La forme exacte 3/2 mérite d’être préférée à 1,5 dans tout calcul ultérieur, car multiplier par 3 et diviser par 2 reste exact là où la valeur décimale ne le resterait pas.

Le radicande ne peut pas être négatif : la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas un nombre réel, et le carré d’un nombre réel n’en produit jamais. Zéro est accepté et donne zéro. Le radicande est limité à deux décimales, et une troisième décimale est refusée plutôt qu’arrondie : la simplification passe par la conversion du décimal en fraction puis par des divisions d’essai, et chaque décimale supplémentaire multiplie le travail par dix, si bien que la page annonce la limite au lieu d’imprimer discrètement la forme simplifiée d’un autre nombre. La forme exacte est une notation et non un nombre : elle s’écrit de la même façon dans toutes les langues, un signe radical et un signe de division ne portant aucun mot. La valeur décimale, elle, est arrondie à six décimales, ce qui est une limite d’affichage et non de précision. Enfin l’indice est fixé à deux : la page ne simplifie que des racines carrées. Les racines cubiques, les racines quatrièmes et tout autre indice, y compris les racines d’indice impair d’un nombre négatif, appartiennent à la calculatrice de racine n-ième vers laquelle cette page renvoie.

Que fait exactement la simplification d’une racine carrée ?

Elle fait sortir de sous le signe radical le plus grand carré parfait qu’il contient. La racine carrée de 72 est le même nombre que 6√2 — rien n’a été approché ni arrondi — mais 6√2 est l’écriture la plus ramassée, et c’est la forme qui reste exacte dans les calculs ultérieurs. Simplifier ne change jamais la valeur, seulement l’orthographe.

Comment savoir qu’une racine carrée est entièrement simplifiée ?

Quand il ne reste sous le radical aucun nombre divisible par un carré parfait. Dans 6√2, le 2 n’est divisible par aucun carré parfait : 4 ne le divise pas, 9 non plus, et aucun carré plus grand ne le fait, donc la forme est définitive. C’est aussi ainsi que la page décide de s’arrêter : elle cherche le plus grand facteur carré, du plus grand au plus petit, et s’arrête au premier trouvé.

Pourquoi la forme exacte est-elle écrite avec un signe de division ?

Parce que la barre oblique serait ambiguë. √6/2 se lit soit comme la racine carrée de six divisée par deux, soit comme la racine carrée de six demis, et ce sont deux nombres différents : le second vaut √3. Imprimer √6 ÷ 2 ne laisse qu’une lecture. C’est la même raison qui fait supprimer le coefficient lorsqu’il vaut 1 : la notation est choisie pour ne pas pouvoir être mal lue, non pour être courte.

Puis-je saisir un radicande décimal ?

Oui, jusqu’à deux décimales. La page ramène le décimal à une fraction, puis prend séparément la racine du numérateur et celle du dénominateur grâce à √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d. La racine carrée de 1,5 vaut √6 ÷ 2, et celle de 2,25 vaut exactement 3/2. Une troisième décimale est refusée, parce que chaque décimale supplémentaire multiplie par dix le nombre de divisions d’essai.

Pourquoi la racine carrée d’une décimale donne-t-elle parfois une fraction ?

Lorsque le radicande est lui-même le carré parfait d’une fraction, il ne reste rien sous le radical et la forme exacte se réduit à une simple fraction : la racine carrée de 2,25 vaut 3/2. C’est la même règle que pour un radicande entier qui est un carré parfait, où la forme exacte se réduit à un entier : si le radical se vide, il ne reste plus rien autour de quoi l’écrire.

Pourquoi un radicande négatif est-il refusé ici ?

Aucun nombre réel n’a pour carré un nombre négatif, donc la racine carrée d’un radicande négatif n’est pas un nombre réel. Toutes les racines de cette page ont un indice fixé à deux, il n’y a donc pas de moitié d’indice impair où les négatifs seraient admis. La calculatrice de racine n-ième accepte, elle, la racine cubique d’un nombre négatif, parce qu’une puissance impaire d’un nombre négatif reste négative, et c’est vers elle que cette page renvoie.

• Square Root — the definition, the principal root, and the rule for pulling square factors out of a radicand — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign, the radicand, and the convention that the principal square root is the non-negative one — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Number — the perfect squares the simplification searches for, from 4 up to whatever the radicand allows — Wolfram MathWorld (United States)