Qu’est-ce que la forme point-pente ?

C’est une façon d’écrire une équation de droite qui garde visible un point connu de cette droite : y moins la hauteur du point égale la pente fois x moins la position du point. N’importe quel point et n’importe quelle pente s’écrivent ainsi, et relire l’équation indique quel point et quelle pente l’ont produite.

Pourquoi est-elle utile si l’équation réduite est plus simple ?

Parce qu’elle se construit directement à partir de ce qui est connu. L’équation réduite est plus commode pour tracer, mais l’obtenir demande de développer et de regrouper les termes, et la moindre erreur de calcul se cache alors dans une constante. La forme point-pente laisse les nombres donnés là où ils ont été saisis, ce qui permet de la contrôler d’un coup d’œil.

Le coefficient directeur s’appelle m ou a ?

Les deux, selon la convention. Les manuels français notent a le coefficient directeur et écrivent l’équation réduite y = ax + b, avec b pour l’ordonnée à l’origine ; la convention anglaise, que cette page a conservée, écrit y = mx + b. Le m imprimé ici est donc exactement le a des manuels français, et il n’y a rien à convertir — c’est la même quantité sous une autre lettre.

Pourquoi une pente de 1 s’écrit-elle sans nombre ?

Pour la même raison qu’un coefficient de 1 ne s’écrit nulle part ailleurs : écrire 1(x − 2) ajoute un symbole qui ne porte aucune information. Une pente de −1 garde son signe moins mais abandonne elle aussi le chiffre, et c’est là que la parenthèse doit rester — le moins appartient à l’extérieur, et retirer la parenthèse change la droite.

Pourquoi les pentes fractionnaires sont-elles entre parenthèses ?

Pour que la fraction reste attachée à la parenthèse et non au x. Écrite sans parenthèses, 1/2(x − 4) se lit comme un divisé par le double de la parenthèse, ce qui est une autre expression. La mettre entre parenthèses donne (1/2)(x − 4), et l’ordre de la multiplication devient sans ambiguïté.

Une droite verticale peut-elle s’écrire ainsi ?

Non. Une droite verticale n’a pas de coefficient directeur — sa montée est réelle alors que son déplacement horizontal est nul — donc aucune valeur de m ne la produit, et la forme point-pente ne peut pas la décrire. Une telle droite s’écrit x égal à une constante, et cette forme sort de ce que cette page traite.

Calculatrice de forme point-pente

Résultat

y - 3 = 2(x - 1)

Forme point-pente

Forme réduite: y = 2x + 1
Ordonnée à l’origine: 1,000000

Une calculatrice de forme point-pente écrit l’équation d’une droite quand une pente et un point de cette droite sont connus. La réponse revient sous deux arrangements : la forme point-pente, qui garde le point visible sous la forme des nombres à partir desquels elle a été construite, et l’équation réduite, qui développe le tout pour que l’ordonnée à l’origine se lise directement. Le calcul par défaut est une pente de 2 passant par le point (1, 3), ce qui donne y − 3 = 2(x − 1), soit y = 2x + 1 une fois réarrangé. Une différence de notation mérite d’être signalée tout de suite : les manuels français écrivent l’équation réduite d’une droite y = ax + b, avec a pour coefficient directeur et b pour ordonnée à l’origine, tandis que cette page a gardé la lettre m et la présentation des pages anglaises du site — le m imprimé ici est exactement le a des manuels français, et ce que la page appelle équation réduite est ce même y = ax + b. Tout ce que fait la droite est déjà visible dans le premier arrangement, et c’est la raison de le préférer : le coefficient directeur est le nombre placé devant, et les coordonnées du point se tiennent là où elles ont été saisies. Une pente fractionnaire est une entrée légitime et s’écrit sous forme de fraction plutôt qu’arrondie, parce qu’une équation est un objet exact et qu’un décimal n’en serait qu’une orthographe possible.

Dix pentes et points, et les équations qu’ils produisent

Pente	x₁	y₁	Forme point-pente
2	1	3	y - 3 = 2(x - 1)
1	0	0	y = x
1	5	0	y = (x - 5)
-1	2	5	y - 5 = -(x - 2)
-1	0	4	y - 4 = -x
0	1	3	y - 3 = 0
0.5	4	1	y - 1 = (1/2)(x - 4)
3	0	-2	y + 2 = 3x
-2	-1	-3	y + 3 = -2(x + 1)
4	2	2	y - 2 = 4(x - 2)

Chaque ligne prend une pente et un point et montre l’équation qui en sort. Les lignes ont été choisies pour couvrir les conventions d’écriture plutôt que pour être quelconques, puisque c’est à elles qu’un lecteur compare sa propre réponse : la deuxième a ses deux coordonnées nulles, ce qui supprime la parenthèse, et la troisième a une hauteur nulle, ce qui laisse un y tout seul au membre de gauche. La sixième a une pente nulle et imprime un 0 sec à droite. La septième porte une pente fractionnaire, mise entre parenthèses, et la neuvième a des coordonnées négatives, qui retournent les deux signes d’un coup. Ce sont exactement les cas qu’une réponse écrite rate, et les coordonnées signées sont ce qui rend les deuxième et neuvième lignes utiles à comparer. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.5 plutôt que 0,5), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte. Chaque cellule est un nombre ou une notation, donc le tableau est identique dans toutes les langues du site.

Formule

y − y₁ = m(x − x₁) équation réduite : y = mx + (y₁ − m·x₁)

m: Le coefficient directeur de la droite : de combien elle monte ou descend, en nombre signé. C’est le coefficient placé devant la parenthèse au membre de droite, et le coefficient de x une fois l’équation réarrangée. Les manuels français le notent a et écrivent y = ax + b là où cette page imprime m et garde la présentation anglaise : le nombre est le même, seule la lettre change. Une pente de 0 rend la droite horizontale, et c’est le cas où la calculatrice écrit un 0 sec au lieu d’une parenthèse multipliée par rien.
x₁, y₁: Le seul point connu. Un seul suffit ici : la pente fixe la direction et le point fixe la position, et les deux ensemble déterminent la droite. Les indices sont ceux de la formule plutôt qu’un rang dans une liste — il n’y a pas de second point sur cette page.
ordonnée à l’origine: L’endroit où la droite traverse l’axe des ordonnées, c’est-à-dire la constante qui reste après réarrangement de l’équation. Elle sort des trois mêmes entrées : la droite passe par le point donné, donc sa hauteur en x égal à zéro vaut la hauteur de ce point moins la montée que la pente aurait produite pour y arriver.
x, y: Les deux variables que l’équation relie. Aucune des deux ne reçoit de valeur : la réponse est une règle qui vaut pour tous les points de la droite à la fois, et c’est pourquoi la lecture principale est un texte plutôt qu’un nombre isolé.

Recourez à cette page pour écrire une droite dont la raideur et un point sont connus : à partir d’un taux et d’une valeur de départ, à partir de la pente d’une tangente en un endroit connu, ou à partir de deux points après avoir calculé la pente qui les sépare. Le chemin inverse, de deux points vers une pente, est l’affaire de la page de la pente ; se servir d’une équation déjà écrite pour prédire une valeur plus loin sur la droite est l’affaire de la page de l’interpolation.

Exemples détaillés

Une pente de 2 passant par (1, 3)
1. On place la pente et le point dans le gabarit : y − y₁ = m(x − x₁)
2. Le membre de gauche devient y − 3 et la parenthèse devient (x − 1)
3. La forme point-pente est y − 3 = 2(x − 1)
4. On développe la parenthèse : 2(x − 1) = 2x − 2
5. On fait passer le −3 : y = 2x − 2 + 3 = 2x + 1
6. L’équation réduite est y = 2x + 1, donc l’ordonnée à l’origine vaut 1
Le cas par défaut, et celui qu’il faut lire en regard des entrées : les deux nombres entre parenthèses sont les coordonnées saisies, avec leur signe retourné par la soustraction. C’est à cela que sert l’arrangement point-pente — il garde le point donné lisible au lieu de le fondre dans une constante.
Une pente de −1, où la parenthèse doit rester
1. Le gabarit donne y − 5 = m(x − 2)
2. Une pente de −1 s’écrit avec un simple signe moins plutôt qu’avec −1, de la même façon qu’un coefficient de 1 ne s’écrit pas
3. La parenthèse reste : écrire −x − 2 serait une autre droite
4. La forme point-pente est y − 5 = −(x − 2)
5. On développe : −(x − 2) = −x + 2, puis y = −x + 2 + 5
6. L’équation réduite est y = −x + 7 et l’ordonnée à l’origine vaut 7
La ligne la plus facile à rater. Une pente de 1 et une pente de −1 s’écrivent toutes les deux sans chiffre visible, mais le signe moins doit rester en dehors de la parenthèse : supprimer la parenthèse transforme −(x − 2) en −x − 2, une erreur de signe au milieu d’une équation qui, sinon, a l’air parfaitement normale.
Une pente fractionnaire
1. Une pente de 0,5 est conservée sous la fraction exacte 1/2 plutôt qu’écrite en décimal
2. Le gabarit donne y − 1 = (1/2)(x − 4)
3. La fraction est mise entre parenthèses, car 1/2(x − 4) se lirait comme un divisé par le double de la parenthèse
4. La même mise entre parenthèses se répète dans l’équation réduite : y = (1/2)x − 1
5. L’ordonnée à l’origine vaut −1
Le cas qui tranche deux conventions à la fois. Les fractions sont gardées exactes pour que l’équation reste une équation plutôt qu’une approximation, et un coefficient fractionnaire est mis entre parenthèses pour qu’il reste attaché à la parenthèse et non à la variable. Les deux conventions sont celles que les autres pages d’algèbre adoptent pour le même genre de nombre.

Limites

La pente et les deux coordonnées sont limitées à un million en valeur absolue. Une pente fractionnaire est imprimée sous forme de fraction quand le dénominateur divise exactement et ne dépasse pas mille, et avec six décimales sinon — 0,5 ressort donc en 1/2 tandis qu’un décimal à longue période retombe sur un arrondi. La pente et les coordonnées ne sont acceptées qu’en écriture décimale : la page ne prend pas une fraction saisie en texte, et 1/3 doit donc être entré comme le décimal auquel il s’arrondit. Une droite verticale ne peut pas s’écrire sous cette forme du tout : son coefficient directeur n’existe pas, aucune valeur de m ne la produit, et une verticale passant par le point donné n’est simplement pas l’une des droites que cette page sait décrire. Ce que la page ne fait pas non plus, c’est trouver la pente à votre place à partir de deux points, ni vous dire où la droite coupe l’axe des abscisses. Enfin, la notation suit la convention anglaise : les manuels français écrivent y = ax + b avec a pour coefficient directeur, alors que cette page imprime m — c’est la même quantité sous une autre lettre, et il n’y a pas de conversion à faire.

Questions fréquentes

Qu’est-ce que la forme point-pente ?: C’est une façon d’écrire une équation de droite qui garde visible un point connu de cette droite : y moins la hauteur du point égale la pente fois x moins la position du point. N’importe quel point et n’importe quelle pente s’écrivent ainsi, et relire l’équation indique quel point et quelle pente l’ont produite.
Pourquoi est-elle utile si l’équation réduite est plus simple ?: Parce qu’elle se construit directement à partir de ce qui est connu. L’équation réduite est plus commode pour tracer, mais l’obtenir demande de développer et de regrouper les termes, et la moindre erreur de calcul se cache alors dans une constante. La forme point-pente laisse les nombres donnés là où ils ont été saisis, ce qui permet de la contrôler d’un coup d’œil.
Le coefficient directeur s’appelle m ou a ?: Les deux, selon la convention. Les manuels français notent a le coefficient directeur et écrivent l’équation réduite y = ax + b, avec b pour l’ordonnée à l’origine ; la convention anglaise, que cette page a conservée, écrit y = mx + b. Le m imprimé ici est donc exactement le a des manuels français, et il n’y a rien à convertir — c’est la même quantité sous une autre lettre.
Pourquoi une pente de 1 s’écrit-elle sans nombre ?: Pour la même raison qu’un coefficient de 1 ne s’écrit nulle part ailleurs : écrire 1(x − 2) ajoute un symbole qui ne porte aucune information. Une pente de −1 garde son signe moins mais abandonne elle aussi le chiffre, et c’est là que la parenthèse doit rester — le moins appartient à l’extérieur, et retirer la parenthèse change la droite.
Pourquoi les pentes fractionnaires sont-elles entre parenthèses ?: Pour que la fraction reste attachée à la parenthèse et non au x. Écrite sans parenthèses, 1/2(x − 4) se lit comme un divisé par le double de la parenthèse, ce qui est une autre expression. La mettre entre parenthèses donne (1/2)(x − 4), et l’ordre de la multiplication devient sans ambiguïté.
Une droite verticale peut-elle s’écrire ainsi ?: Non. Une droite verticale n’a pas de coefficient directeur — sa montée est réelle alors que son déplacement horizontal est nul — donc aucune valeur de m ne la produit, et la forme point-pente ne peut pas la décrire. Une telle droite s’écrit x égal à une constante, et cette forme sort de ce que cette page traite.

Références

Point-Slope Form — the arrangement this page starts from, and the reason a slope and a single point are enough — Wolfram MathWorld (United States)
Linear Equation — the general form the two outputs are both special cases of, and the standard form the answer can be rearranged into — Wolfram MathWorld (United States)
Slope — the number that fixes the line's direction, and the quantity that has no value at all for a vertical line — Wolfram MathWorld (United States)

Calculatrices liées

Calculatrice de pentePente d’une droite définie par deux points ou une équation.Calculatrice d’interpolation linéaireInterpole une valeur entre deux points connus.Calculatrice de taux de variation moyenTaux de variation moyen d’une fonction sur un intervalle.