Calculatrice de suites

suite arithmétique — a(n) = a(1) + (n - 1) * d S(n) = n * (a(1) + a(n)) / 2 suite géométrique — a(n) = a(1) * r^(n - 1) S(n) = a(1) * (r^n - 1) / (r - 1) sauf pour r = 1, où S(n) = n * a(1)

n

Le rang du terme sur lequel porte la question, compté à partir de 1. C’est aussi le nombre de termes de la somme, et c’est pourquoi une seule case répond aux deux questions. Le dixième terme s’écrit a(10) et la somme des dix premiers S(10).

a(1)

Le premier terme, l’endroit où la suite commence. Tout le reste en découle, si bien qu’un premier terme négatif retourne le signe de tous les termes de rang pair d’une suite géométrique, et fait simplement démarrer une suite arithmétique plus bas.

d

La raison de la suite arithmétique : la quantité ajoutée à chaque pas. Elle peut être négative, auquel cas la suite descend, ou nulle, auquel cas tous les termes valent le premier — et c’est ce dernier cas qui fait s’effondrer la formule imprimée en quelque chose comme a(n) = 6. Les manuels français notent cette raison r et non d, mais leur r est le symbole que cette page réserve à la suite géométrique : lisez donc d comme le r des manuels, et r comme leur q.

r

La raison de la suite géométrique : le nombre par lequel chaque terme est multiplié. Une raison entre 0 et 1 fait décroître les termes vers zéro, une raison négative les fait alterner de signe, et une raison valant exactement 1 rend tous les termes égaux au premier. C’est le q des manuels français, et non leur r.

S(n)

La somme des n premiers termes — cette suite-là et pas plus loin. Pour une suite arithmétique c’est la moyenne du premier et du dernier terme multipliée par n, ce qui est l’astuce d’appariement que Gauss aurait utilisée sur 1 + 2 + … + 100. Ce n’est jamais une série infinie : augmentez n et le total continue de croître.

Utilisez-la chaque fois qu’une grandeur croît ou décroît selon une règle fixe et qu’il vous faut une valeur loin dans la liste — le solde après trente ans du même versement annuel, la hauteur après le vingtième rebond, la distance totale parcourue quand chaque pas vaut une fraction fixe du précédent. Les deux cases qui décident de tout sont la raison et son signe, et l’habitude utile est de calculer les trois premiers termes à la main pour vérifier qu’ils correspondent au tableau de référence ci-dessous.

1. 3, 7, 11, … — le dixième terme et la somme des dix premiers

   1. La raison vaut 4, donc les termes sont 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39
   2. Le dixième terme vaut 3 + 9 × 4 = 39
   3. Appariez les termes du dehors vers le dedans : 3 + 39 = 42, 7 + 35 = 42, 11 + 31 = 42, et ainsi de suite
   4. Il y a cinq paires de ce genre, toutes égales à 42
   5. 5 × 42 = 210

   L’appariement est toute la formule de sommation : avec n termes, la moyenne du premier et du dernier vaut (3 + 39) / 2 = 21, et 21 × 10 redonne 210. La formule imprimée à côté de la réponse est la règle, et non cette suite particulière — a(n) = 3 + 4(n - 1) reconstruit chaque terme à partir du seul n, si bien que n = 1 redonne 3 et n = 10 redonne 39 sans rien énumérer.

2. 8, 4, 2, 1, 0,5 — une suite géométrique qui décroît

   1. La raison vaut 0,5, donc chaque terme est la moitié du précédent : 8, 4, 2, 1, 0,5
   2. Le cinquième terme vaut 8 × 0,5⁴ = 8 × 0,0625 = 0,5
   3. Additionnez-les : 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 = 15,5

   La somme d’une suite géométrique décroissante s’approche de 16 sans jamais la dépasser — 8 / (1 − 0,5). Cette page donne le total des cinq termes demandés, 15,5, et non cette limite, et c’est toute la raison pour laquelle le nombre de termes est une entrée.

3. 1 + 2 + … + 1 000, où la formule bat l’addition

   1. La raison vaut 1, donc le millième terme vaut 1 + 999 = 1 000
   2. Appariez le premier avec le dernier : 1 + 1 000 = 1 001
   3. Il y a 500 paires de ce genre, parce que 1 000 termes font 500 paires
   4. 500 × 1 001 = 500 500

   Rien ici n’a besoin que les termes soient écrits, et c’est tout l’intérêt d’une formule de sommation — les trois mêmes cases répondraient de la même façon pour un million de termes si n allait jusque-là. C’est le calcul que Gauss aurait reçu en punition à l’école, et l’appariement ci-dessus est ce qu’il aurait fait à la place.

Deux types de suites seulement : la suite arithmétique, où la raison s’ajoute, et la suite géométrique, où elle se multiplie. Tout le reste — les carrés, les cubes, Fibonacci, une suite définie par ses deux termes précédents — n’a aucune règle à saisir ici et demande son propre outil. Le nombre de termes doit être un entier de 1 à 1 000 ; un compte fractionnaire ou négatif est refusé plutôt qu’arrondi, parce que 2,5 termes n’est pas une quantité qui admet une réponse. Le total est la somme des n premiers termes uniquement, jamais celle d’une série infinie, si bien qu’avec une raison inférieure à 1 le total cumulé continue de ramper vers sa limite sans l’atteindre. Les réponses sont arrondies à six décimales, et une suite géométrique peut dépasser les capacités de l’arithmétique bien avant que n atteigne sa borne — 10 puissance 300 passe encore, 10 puissance 6 000 non, et ce cas est signalé comme un calcul impossible plutôt que comme l’infini. La page répond à deux des quatre questions qu’une suite soulève : quel est le terme de rang n, et combien donnent les n premiers termes additionnés. Elle ne fait pas l’inverse — retrouver la règle à partir de deux termes, ou retrouver n à partir d’une somme — et elle n’imprime aucune unité, parce qu’une suite est une liste de nombres. Enfin, la notation reste celle de la convention anglaise : les manuels français écrivent u(n), et appellent raison aussi bien la quantité ajoutée que la quantité multipliée, qu’ils notent r et q là où cette page imprime d et r.

Quelle différence y a-t-il entre le terme de rang n et la somme ?

Le terme de rang n est un seul nombre — celui qui occupe la position n, qui pour 3, 7, 11, … vaut 39 en n = 10. La somme est tout ce qui précède, additionné, soit 210 pour la même suite. Ils sont imprimés sur deux lignes séparées parce qu’ils répondent à deux questions différentes, et parce que la somme est celle que l’on veut le plus souvent : un solde, une distance totale, un compte cumulé.

D’où vient la formule de la somme ?

De l’appariement des termes du dehors vers le dedans. Dans 3, 7, 11, … le premier et le dernier des dix premiers termes donnent 42, et il en va de même de chaque autre paire, donc dix termes forment cinq paires de 42 — 210. Écrit de façon générale, c’est n fois la moyenne du premier et du dernier terme, n * (a(1) + a(n)) / 2. La somme géométrique a une dérivation et une forme différentes, et c’est pourquoi les deux sont imprimées séparément.

La raison peut-elle être négative, nulle ou fractionnaire ?

Les trois. Une raison arithmétique négative donne une suite qui descend, comme 100, 93, 86, … et une raison géométrique négative en donne une qui alterne de signe, comme 1, -1, 1, -1. Une raison de 0,5 donne la suite décroissante du deuxième exemple. Les deux cas qui demandent un second regard sont la raison arithmétique nulle et la raison géométrique égale à 1, où tous les termes valent le premier et où la formule imprimée se raccourcit correctement en quelque chose comme a(n) = 6.

La somme est-elle le total de toute la suite infinie ?

Non — c’est la somme des n premiers termes, où n est le nombre saisi. Cette distinction n’apparaît que pour une suite géométrique décroissante, dont le total cumulé s’approche d’une limite (16 pour 8, 4, 2, 1, 0,5, …) sans jamais l’atteindre. Il arrive que l’on veuille cette limite, qui est la somme d’une série géométrique infinie, un calcul différent avec une formule différente.

Combien de termes puis-je demander ?

N’importe quel entier de 1 à 1 000. La borne haute n’est pas arbitraire : une suite géométrique de raison 10 atteint 10^300 dès n = 300, et quelques centaines de termes de plus dépasseraient le plus grand nombre que l’arithmétique sait représenter. Ce cas est signalé comme un calcul impossible plutôt que comme l’infini, ce qui vous vaut un message au lieu d’une réponse discrètement fausse.

Pourquoi la formule imprimée écrit-elle a(n) plutôt que a avec un indice ?

Parce que a(n) se lit dans toutes les langues et toutes les polices, tandis que le caractère d’indice ne le fait pas — il s’affiche comme un carré vide sur certains systèmes. Les manuels français écrivent u(n) là où cette page imprime a(n) ; c’est la même notation indexée sous une autre lettre. Le reste est la notation usuelle : ^ pour une puissance, * pour la multiplication, et des parenthèses autour d’une raison négative, si bien que la suite alternée se lit a(n) = (-1)^(n - 1) plutôt que comme quelque chose qui ressemblerait à -1 puissance n - 1 avec le moins à l’extérieur.

• Arithmetic progression — the rule, the nth-term formula and the sum used on this page — Wolfram MathWorld (United States)
• Geometric progression — the same three questions when the step is a multiplier rather than an addend — Wolfram MathWorld (United States)
• OEIS A000217, the triangular numbers — 1, 3, 6, 10, … the running totals of 1 + 2 + … + n, which is the third example on this page — OEIS Foundation (United States)