Qu’est-ce qu’une factorielle ?

C’est le produit de tous les entiers de 1 jusqu’au nombre que vous donnez. La factorielle de 5 vaut 1 × 2 × 3 × 4 × 5, soit 120. Elle compte le nombre de façons dont un ensemble d’autant d’objets distincts peut être ordonné, ce qui explique qu’elle apparaisse en probabilité et dans les problèmes de dénombrement plutôt qu’en mesure.

Pourquoi la factorielle de 0 vaut-elle 1 ?

Parce que c’est un produit vide — il n’y a rien à multiplier, et la valeur qui laisse un produit inchangé est 1. La convention n’est pas arbitraire : c’est elle qui fait fonctionner l’interprétation en termes de dénombrement (il y a exactement une façon de ne rien ordonner) et qui maintient la relation de récurrence n! = n × (n−1)! vraie pour n égal à 1.

Pourquoi la calculatrice s’arrête-t-elle à 170 ?

Parce que la factorielle de 171 est plus grande que le plus grand nombre qu’un flottant en double précision peut représenter : le calcul renvoie donc l’infini. La limite n’est pas un choix d’affichage — toute entrée au-dessus de 170 n’a aucune réponse représentable. La factorielle de 170 vaut à elle seule environ 7,26 × 10³⁰⁶, un nombre de 307 chiffres.

Comment les zéros terminaux sont-ils comptés ?

En comptant les facteurs 5 contenus dans la factorielle. Un zéro terminal demande un 10, et un 10 demande un 2 et un 5 ; les 2 sont surabondants, ce sont donc les 5 qui décident. Chaque multiple de 5 en apporte un, chaque multiple de 25 un second, chaque multiple de 125 un troisième, et ainsi de suite. Pour la factorielle de 100, cela fait 20 + 4 = 24 zéros.

Pourquoi la factorielle est-elle imprimée en notation scientifique ?

Parce qu’au-delà de 21 la valeur compte plus de chiffres qu’un panneau de résultat ne peut en montrer utilement — la factorielle de 100 en a 158. La notation scientifique garde l’ordre de grandeur lisible. L’entier exact est toujours ce que décrivent les deux autres lectures : le nombre de chiffres dit de quelle longueur il est, et les zéros terminaux disent par quoi il se termine.

Combien de chiffres compte une grande factorielle ?

La lecture du nombre de chiffres y répond exactement, pour chaque entrée que la page accepte. Elle vient d’une somme de logarithmes et non de la mesure d’une chaîne imprimée : elle ne perd donc pas en précision quand la valeur affichée est une approximation. Ce nombre est toujours supérieur d’au moins un au nombre de zéros terminaux.

Calculatrice de factorielle

Résultat

120,000000

Factorielle

Chiffres: 3
Zéros finaux: 1

Une calculatrice de factorielle multiplie tous les entiers de 1 jusqu’à n et donne le produit, accompagné de deux lectures qui disent sa taille : le nombre de chiffres de la réponse, et le nombre de zéros terminaux par lesquels elle se termine. La factorielle de 5 vaut 120 — trois chiffres, un zéro terminal. Le résultat sort vite de la plage lisible, et au-delà de 21 la lecture principale passe en notation scientifique, mais le nombre de chiffres et les zéros terminaux restent exacts, parce que les deux viennent de formules et non du comptage des caractères d’une valeur imprimée. La factorielle de 0 vaut 1, le produit vide, et 170 est la plus grande entrée acceptée ici : la factorielle de 171 déborde de ce qu’un double peut contenir et elle est refusée plutôt que renvoyée sous forme d’infini.

Les factorielles de 0 à 12

n	Factorielle	Nombre de chiffres	Zéros terminaux
0	1	1	0
1	1	1	0
2	2	1	0
3	6	1	0
4	24	2	0
5	120	3	1
6	720	3	1
7	5040	4	1
8	40320	5	1
9	362880	6	1
10	3628800	7	2
11	39916800	8	2
12	479001600	9	2

Les treize premières factorielles, avec les deux lectures à côté de chacune. Ces lignes sont là pour rendre la croissance visible : la valeur dépasse mille dès la septième ligne et cent millions à la douzième, pendant que le nombre de chiffres monte un par un et que les zéros terminaux restent à zéro tant que le nombre ne contient pas de 5. Lire la dernière colonne de haut en bas montre le saut de 0 à 1 à la cinquième ligne, puis de 1 à 2 à la dixième, où un second 5 fait son apparition. Chaque cellule est un nombre pur, donc non localisé : seuls les intitulés des colonnes changent d’une langue à l’autre.

Formule

n! = 1 × 2 × … × n chiffres = ⌊log₁₀(n!)⌋ + 1 zéros terminaux = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …

n: Le nombre dont on veut la factorielle : un entier de 0 à 170. C’est aussi le nombre de facteurs, puisque le produit va de 1 jusqu’à n. La borne haute n’est pas un choix d’affichage — la factorielle de 171 dépasse la plus grande valeur qu’un double peut représenter, si bien que toute entrée au-dessus de 170 n’a aucune réponse à donner.
n!: La factorielle elle-même, le produit de tous les entiers de 1 à n. Elle dépasse vite une courbe exponentielle : la factorielle de 5 vaut 120 alors que celle de 10 vaut déjà 3 628 800. Dès que la valeur franchit le million, la réponse imprimée passe en notation scientifique, ce qui garde l’ordre de grandeur lisible sans imprimer cent chiffres.
chiffres: Le nombre de chiffres décimaux de la factorielle. Il est calculé en additionnant des logarithmes plutôt qu’en comptant les caractères d’une valeur imprimée, il reste donc correct même au sommet de la plage, là où la factorielle affichée ne porte plus que sept chiffres significatifs.
zéros terminaux: Le nombre de zéros placés à la fin de la factorielle. Chaque zéro terminal demande un facteur 10, lequel demande un 2 et un 5 ; les 2 étant bien plus fréquents que les 5 dans une factorielle, le compte est décidé entièrement par les 5 — chaque multiple de 5, de 25, de 125 et ainsi de suite en apporte un de plus.

Prenez cette page quand la valeur elle-même est la réponse : le nombre de façons d’ordonner un ensemble complet, un terme d’une suite, ou la taille d’un produit. Pour choisir r éléments parmi n, les pages des combinaisons et des arrangements divisent une factorielle par une autre au lieu de multiplier.

Exemples détaillés

La factorielle de 5
1. Multipliez en montant : 1 × 2 = 2
2. 2 × 3 = 6
3. 6 × 4 = 24
4. 24 × 5 = 120
5. 120 compte trois caractères et se termine par un zéro, les deux lectures valent donc 3 et 1
Le plus petit cas où les trois lectures se vérifient à l’œil. Le produit est assez court pour être lu en entier, et le nombre de chiffres comme les zéros terminaux se voient en le regardant — ce qui est exactement pourquoi c’est la valeur sur laquelle la page s’ouvre.
Là où la lecture bascule en notation scientifique
1. Multipliez de 1 jusqu’à 20, ce qui donne exactement 2 432 902 008 176 640 000
2. Cela fait dix-neuf chiffres, la lecture du nombre de chiffres vaut donc 19
3. Quatre de ces chiffres sont des zéros à la fin, dont les 5 contenus dans 5, 10, 15 et 20 rendent compte
4. Le panneau imprime le produit sous la forme 2,432902 × 10¹⁸ plutôt que comme le nombre complet de dix-neuf chiffres
Le point où la valeur imprimée cesse d’être la valeur exacte. Les chiffres affichés sont les sept premiers chiffres significatifs du même nombre que décrivent les deux autres lectures, de sorte que les trois sorties s’accordent alors que l’une seulement est assez courte pour être imprimée. En dessous de 21, le produit imprimé est exact.
Combien de zéros termine la factorielle de 100
1. Comptez les multiples de 5 jusqu’à 100 : il y en a 20
2. Ajoutez les multiples de 25, qui portent un second cinq : ils sont 4
3. Ajoutez les multiples de 125 — aucun, puisque 125 dépasse 100
4. 20 + 4 = 24 zéros terminaux
5. La factorielle elle-même compte 158 chiffres, imprimée sous la forme 9,332622 × 10¹⁵⁷
Le compte des zéros est ici le fait lisible, et il s’obtient à partir des 5 seuls plutôt qu’à partir du nombre. La factorielle de 100 compte 158 chiffres : sa fin ne pourrait donc pas être inspectée à l’œil même si on les imprimait tous.

Limites

Seuls les entiers de 0 à 170 sont acceptés. Les entrées négatives sont refusées parce que la factorielle n’y est pas définie — la fonction Gamma, qui prolonge la factorielle à d’autres nombres, possède un pôle à chaque entier négatif. Les fractions sont refusées pour la même raison. Au-delà de 170, le produit déborde d’un double et reviendrait sous forme d’infini : l’entrée est donc rejetée explicitement. Passé 21, la factorielle imprimée est une approximation en notation scientifique et non l’entier exact ; le nombre de chiffres et les zéros terminaux restent exacts quoi qu’il arrive, et à eux deux ils décrivent la taille d’un nombre dont tous les chiffres ne sont pas montrés. Cette page ne calcule pas directement les coefficients binomiaux ni les arrangements — elle donne la factorielle sur laquelle ces pages sont construites.

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’une factorielle ?: C’est le produit de tous les entiers de 1 jusqu’au nombre que vous donnez. La factorielle de 5 vaut 1 × 2 × 3 × 4 × 5, soit 120. Elle compte le nombre de façons dont un ensemble d’autant d’objets distincts peut être ordonné, ce qui explique qu’elle apparaisse en probabilité et dans les problèmes de dénombrement plutôt qu’en mesure.
Pourquoi la factorielle de 0 vaut-elle 1 ?: Parce que c’est un produit vide — il n’y a rien à multiplier, et la valeur qui laisse un produit inchangé est 1. La convention n’est pas arbitraire : c’est elle qui fait fonctionner l’interprétation en termes de dénombrement (il y a exactement une façon de ne rien ordonner) et qui maintient la relation de récurrence n! = n × (n−1)! vraie pour n égal à 1.
Pourquoi la calculatrice s’arrête-t-elle à 170 ?: Parce que la factorielle de 171 est plus grande que le plus grand nombre qu’un flottant en double précision peut représenter : le calcul renvoie donc l’infini. La limite n’est pas un choix d’affichage — toute entrée au-dessus de 170 n’a aucune réponse représentable. La factorielle de 170 vaut à elle seule environ 7,26 × 10³⁰⁶, un nombre de 307 chiffres.
Comment les zéros terminaux sont-ils comptés ?: En comptant les facteurs 5 contenus dans la factorielle. Un zéro terminal demande un 10, et un 10 demande un 2 et un 5 ; les 2 sont surabondants, ce sont donc les 5 qui décident. Chaque multiple de 5 en apporte un, chaque multiple de 25 un second, chaque multiple de 125 un troisième, et ainsi de suite. Pour la factorielle de 100, cela fait 20 + 4 = 24 zéros.
Pourquoi la factorielle est-elle imprimée en notation scientifique ?: Parce qu’au-delà de 21 la valeur compte plus de chiffres qu’un panneau de résultat ne peut en montrer utilement — la factorielle de 100 en a 158. La notation scientifique garde l’ordre de grandeur lisible. L’entier exact est toujours ce que décrivent les deux autres lectures : le nombre de chiffres dit de quelle longueur il est, et les zéros terminaux disent par quoi il se termine.
Combien de chiffres compte une grande factorielle ?: La lecture du nombre de chiffres y répond exactement, pour chaque entrée que la page accepte. Elle vient d’une somme de logarithmes et non de la mesure d’une chaîne imprimée : elle ne perd donc pas en précision quand la valeur affichée est une approximation. Ce nombre est toujours supérieur d’au moins un au nombre de zéros terminaux.

Références

Factorial — the definition, the empty product convention that makes 0! equal 1, and the rate at which the value grows — Wolfram MathWorld (United States)
A000142 — the factorial numbers 1, 1, 2, 6, 24, 120 … as a catalogued sequence, with exact values far beyond the range a double can hold — OEIS Foundation (United States)
Combination — the binomial coefficient, written as one factorial divided by two others, which is where factorials are most often needed — Wolfram MathWorld (United States)

Calculatrices liées

Calculatrice de combinaisonsNombre de façons de choisir r éléments parmi n, sans ordre.Calculatrice de permutationsNombre de façons d’ordonner r éléments parmi n.Calculatrice de puissanceÉlève un nombre à une puissance, même négative.