Calculatrice de combinaisons

combinaisons C(n, r) = n ! / (r !(n − r) !) · permutations P(n, r) = n ! / (n − r) ! · avec répétition : C = (n + r − 1) ! / (r !(n − 1) !) et P = nʳ

n

Le nombre d’éléments différents parmi lesquels choisir — la taille du vivier, et non le nombre de choix effectués

r

Le nombre d’éléments choisis. Quand la répétition est désactivée, r ne peut pas dépasser n ; quand elle est activée, r peut être plus grand que n, parce que le même élément peut ressortir deux fois

répétition

Le fait que le même élément puisse être choisi plus d’une fois. Ce n’est pas une préférence d’affichage — cela sélectionne une autre formule, et c’est le réglage qui décide si un r plus grand que n est légal ou impossible

C(n, r)

Le nombre de combinaisons, lu nCr : les façons de choisir r éléments quand l’ordre des choix est ignoré, si bien que ABC et CBA ne comptent qu’une fois

P(n, r)

Le nombre de permutations : les façons de choisir puis d’ordonner r éléments, si bien que ABC et CBA sont deux résultats différents. Il vaut toujours le nombre de combinaisons multiplié par r !

Utilisez-la chaque fois qu’une question est en réalité « de combien de façons », ce qui est le cas la plupart du temps quand une probabilité se calcule par dénombrement plutôt que par formule. Des mains de cartes, des tirages de loterie, des compositions de commission et des dispositions de places assises sont tous ce calcul, et la seule décision qu’il faut prendre avant chacun d’eux est de savoir si l’ordre compte — une main de poker est une combinaison, un podium est une permutation. Le commutateur de répétition compte dans les cas où le même choix peut être fait deux fois : prendre trois boules dans une carte de parfums, où l’ordre ne compte toujours pas mais où les parfums peuvent se répéter, est un dénombrement de combinaisons avec répétition et non un dénombrement ordinaire. La page ne calcule pas de probabilités, seulement les dénombrements à partir desquels les probabilités se construisent.

1. Dix éléments, on en choisit trois : 120 combinaisons ou 720 permutations

   1. L’ordre étant ignoré, C(10,3) = 10 ! / (3 ! × 7 !) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120
   2. L’ordre étant compté, P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720
   3. Les deux diffèrent de 3 ! = 6, qui est le nombre de façons d’ordonner trois éléments choisis
   4. Contrôle : 120 × 6 = 720

   C’est la paire que cette page existe pour tenir séparée. Les mêmes trois éléments ont une combinaison et six permutations, donc un dénombrement cité sans dire duquel il s’agit peut se tromper d’un facteur six ici — et d’un facteur 120 à cinq choix, là où les erreurs cessent d’être assez petites pour passer inaperçues. La dernière étape est la relation qui vaut la peine d’être retenue : le nombre de permutations vaut toujours le nombre de combinaisons multiplié par la factorielle de r, parce que tout choix non ordonné peut être arrangé d’exactement r ! façons.

2. Les mêmes dix et trois, avec répétition

   1. Avec répétition et l’ordre ignoré, C = (10 + 3 − 1) ! / (3 ! × 9 !) = C(12,3) = 220
   2. Avec répétition et l’ordre compté, P = 10³ = 1 000
   3. Le vivier est en pratique plus grand pour le dénombrement des combinaisons — la formule ajoute r − 1 à n — tandis que le dénombrement des permutations est simplement un choix par emplacement
   4. Contrôle : 220 n’est pas 120, et 1 000 n’est pas 720 — le commutateur a déplacé les deux lignes

   Les deux lignes ont changé, et c’est là tout l’intérêt du commutateur plutôt qu’un détail de celui-ci. Une implémentation qui n’ajusterait que le nombre de combinaisons afficherait 220 et 720 côte à côte, et les deux nombres paraîtraient plausibles tout en décrivant des règles différentes. Notez aussi que le nombre de permutations est désormais une puissance plutôt qu’un produit décroissant : avec répétition il y a n choix dans chacun des r emplacements, donc le dénombrement se multiplie en nʳ au lieu de diminuer de un à chaque fois.

3. Une main de cinq cartes dans un jeu de 52

   1. Une main n’est pas ordonnée, donc le dénombrement est C(52,5) = 52 ! / (5 ! × 47 !)
   2. Multipliez les cinq termes décroissants : 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311 875 200
   3. Divisez par 5 ! = 120 : 311 875 200 / 120 = 2 598 960
   4. La seconde ligne est l’étape intermédiaire de la première — c’est ce que veut dire qu’une main est la donne ordonnée divisée par les arrangements

   2 598 960 est le nombre par lequel se divise toute probabilité de poker, et c’est la cellule la plus consultée de cette page. Les deux lignes valent la peine d’être lues ensemble ici, parce que la ligne des permutations est littéralement le numérateur avant la division par 5 ! — une main de cinq cartes peut être distribuée de 311 875 200 façons ordonnées, et chaque main en représente 120. Voir que le dénombrement non ordonné est le dénombrement ordonné divisé par les arrangements est le moyen le plus rapide de cesser de confondre les deux.

4. Six éléments, on les prend tous les six : une combinaison, 720 permutations

   1. Il n’y a qu’une façon de tout prendre, donc C(6,6) = 1
   2. Les permutations sont les arrangements des six éléments : P(6,6) = 6 ! = 720
   3. Le facteur entre les lignes vaut 720 = 6 !, ce qui est la règle du r ! appliquée à r = n

   À r = n les deux lignes sont aussi éloignées que possible, et la ligne des combinaisons s’effondre à 1 — il ne reste aucun choix à faire quand on prend tout. C’est un cas extrême utile à garder à côté de la main de poker : là-bas l’écart était d’un facteur 120, ici d’un facteur 720, et la seule chose qui a changé est le nombre d’arrangements que chaque choix admet. Si la ligne des permutations est un jour celle que vous vouliez, c’est la forme que prend l’erreur à sa plus grande échelle.

5. Trois parfums, cinq boules : r plus grand que n

   1. Cinq boules parmi trois parfums, ordre ignoré, répétitions autorisées : C = C(3 + 5 − 1, 5) = C(7,5) = 21
   2. L’ordre étant compté lui aussi, P = 3⁵ = 243
   3. Les deux ne sont légaux que parce que la répétition est activée — désactivée, choisir cinq éléments parmi trois est impossible et la page refuse l’entrée

   C’est le cas qui fait du commutateur une exigence de correction plutôt qu’une préférence. Choisir cinq éléments dans un vivier de trois ne peut pas se faire sans répétitions, donc avec la répétition désactivée la page rejette la demande d’emblée, et avec elle activée les mêmes entrées donnent deux nombres parfaitement ordinaires. La ligne des combinaisons montre aussi pourquoi la formule ajoute r − 1 au vivier : autoriser les répétitions fait se comporter le vivier comme s’il était plus grand d’un de moins que le nombre de choix, si bien que trois parfums pris cinq fois à la fois comptent comme sept éléments choisis cinq à la fois.

Les deux dénombrements sont des entiers exacts jusqu’à un certain point, et au-delà la page refuse plutôt que d’arrondir. Ces nombres grandissent vite — cent éléments choisis cinquante à la fois comptent une trentaine de chiffres — et les nombres à virgule flottante d’un ordinateur cessent de contenir exactement tous les entiers vers le seizième chiffre, si bien qu’un dénombrement de cette taille reviendrait avec ses derniers chiffres faux tout en paraissant parfaitement ordinaire. Plutôt que d’imprimer un nombre faux d’une manière que personne ne remarquerait, la page signale une erreur pour les dénombrements hors de la plage exacte ; le même refus couvre les viviers de plus de mille éléments et tout dénombrement négatif. Deux autres limites : la page compte et rien d’autre — elle ne liste pas les combinaisons, ne les énumère pas et ne calcule pas la probabilité d’en tirer une, qui est le dénombrement divisé par le total. Et le commutateur de répétition ne veut dire qu’une chose, à savoir que le même élément peut être pris plus d’une fois ; il ne modélise pas le tirage sans remise opposé au tirage avec remise au sens d’un jeu de cartes, où le vivier se réduit à mesure que les cartes en sortent.

Quelle est la différence entre une combinaison et une permutation ?

Une combinaison ignore l’ordre des choix, une permutation le compte. Choisir trois personnes pour une commission parmi dix est une combinaison, parce que la commission ABC est la même que CBA ; leur remettre un premier, un deuxième et un troisième prix est une permutation, parce que les attributions sont différentes. Les deux dénombrements ne sont jamais proches : le nombre de permutations vaut le nombre de combinaisons multiplié par r !, soit le nombre de façons d’arranger les r éléments choisis. Les deux lignes sont imprimées sur cette page pour que ce facteur ne soit jamais deviné — à r = 3 il vaut 6, et à r = 5 il vaut 120.

Que signifie le nCr de ma calculatrice ?

nCr est la fonction de dénombrement des combinaisons : n est la taille du vivier, r le nombre d’éléments choisis, et le résultat est le nombre de façons de les choisir en ignorant l’ordre. C’est le même nombre que celui imprimé dans la ligne des combinaisons de cette page. La touche voisine, nPr, est le dénombrement des permutations, ordre compté, et c’est la ligne en dessous. Un moyen rapide de savoir laquelle un énoncé réclame est de se demander si échanger deux des éléments choisis donnerait un résultat différent — si non, la réponse est nCr.

Qu’est-ce qui change quand j’autorise la répétition ?

Les deux formules changent, et les entrées légales aussi. Avec la répétition désactivée, le nombre de permutations est un produit décroissant — n × (n − 1) × … — et le nombre de combinaisons divise ce produit par r !  ; avec la répétition activée, le nombre de permutations est simplement n puissance r, et le nombre de combinaisons devient le dénombrement des multiensembles, qui pour n éléments pris r à la fois vaut C(n + r − 1, r). Le point de légalité est celui qui prend les gens en défaut : avec la répétition désactivée, un r plus grand que n ne peut pas se faire du tout et est rejeté, tandis qu’avec la répétition activée c’est une demande ordinaire, comme cinq boules parmi trois parfums.

Pourquoi la page refuse-t-elle certaines grandes entrées au lieu de donner une réponse ?

Parce que la réponse serait fausse dans ses derniers chiffres sans en avoir l’air. Ces dénombrements grandissent extrêmement vite — cinquante choix parmi cent éléments donnent une trentaine de chiffres — et les nombres dont un ordinateur se sert pour calculer cessent de contenir exactement tous les entiers vers le seizième chiffre. Au-delà de cette limite le résultat est un nombre voisin, avec un début qui a l’air juste et une fin fausse, ce qui est pire que pas de réponse du tout si le dénombrement doit entrer dans une probabilité ou dans un rapport. La page signale donc une erreur pour les dénombrements qu’elle ne peut pas représenter exactement, de la même façon qu’elle signale une erreur pour un vivier de plus de mille éléments ou pour un dénombrement négatif.

Le commutateur de répétition signifie-t-il un tirage avec remise ?

Pas au sens où l’entend un jeu de cartes. Le commutateur dit seulement que le même élément peut être choisi plus d’une fois, ce qui est exactement ce que donne un tirage avec remise dans un vivier de choix indépendants. Dans un problème de cartes, le vivier se réduit aussi à mesure que les cartes en sortent, et les dénombrements ci-dessus en tiennent déjà compte par le produit décroissant des formules sans répétition — une main de cinq cartes vaut C(52,5), et non 52 puissance cinq. Le commutateur porte donc sur le fait qu’une répétition soit autorisée, tandis que la réduction du vivier est prise en charge par la formule et non par le commutateur.

Pourquoi n’y a-t-il pas de table de correspondance sous la calculatrice ?

Parce qu’une table devrait être en désaccord avec le panneau. La table que voudrait une page comme celle-ci est une grille avec les n d’un côté et les r de l’autre, mais la réponse du panneau est calculée à partir des n et des r que vous avez tapés, donc une grille figée afficherait d’autres nombres pour les mêmes entrées. Les pages de ce site qui portent réellement une table de référence sont celles dont les tables décrivent un ensemble fixe de valeurs — une frontière de catégorie ou un barème normalisé — plutôt qu’un calcul sur les entrées. Ici, les deux lignes du panneau sont la réponse, et elles bougent à chaque frappe.

• Combination — from Wolfram MathWorld (the number of ways of picking unordered outcomes from a set, also called the binomial coefficient and read "n choose k") — Wolfram MathWorld
• Permutation — from Wolfram MathWorld (a rearrangement of the elements of an ordered list, and the count of them for a set of a given size) — Wolfram MathWorld
• Multichoose — from Wolfram MathWorld (the number of multisets of a given length on a given number of symbols, which is the combinations with repetition count this page switches to) — Wolfram MathWorld