Calculatrice du triangle de Pascal

C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k) ; C(n, 0) = C(n, n) = 1 ; somme de la ligne = 2^n

n

Le nombre de lignes à imprimer, en comptant le 1 unique du sommet comme la ligne 0. Donc n lignes veut dire les lignes 0 à n - 1, et la dernière ligne imprimée compte n entrées. La saisie va de 1 à 53, et ce plafond n’a rien à voir avec la taille de l’écran — voyez l’entrée sur la somme de la ligne plus bas, qui est la grandeur à laquelle la place manque en premier

k

La position à l’intérieur d’une ligne, comptée à partir de 0 sur le bord gauche. La ligne n a des entrées pour k = 0 jusqu’à k = n, soit n + 1 nombres. Les deux positions de bord sont particulières : C(n, 0) et C(n, n) valent tous les deux 1, et c’est la paire de 1 qui descend le long des bords du triangle. Tout ce qui est strictement entre elles est la somme de deux entrées de la ligne du dessus

C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

La règle qui construit tout l’ensemble, et celle que suit la page. L’entrée de position k de la ligne n est la somme des deux entrées au-dessus d’elle — celle qui est juste au-dessus à gauche et celle qui est juste au-dessus à droite, ce qui explique que les bords ne voient jamais qu’un seul nombre et restent à 1. Cela se fait par addition plutôt que par la formule avec les factorielles, si bien que chaque valeur intermédiaire est exacte et que le triangle affiché est littéralement la suite d’additions que la page a effectuées

C(n, k) = n! / (k! (n-k)!)

L’autre visage du même nombre : le coefficient binomial, qui compte les façons de choisir k éléments parmi n quand l’ordre ne compte pas. Il donne la même valeur que la règle additive et c’est ce que les nombres de la ligne veulent dire quand on se sert du triangle pour compter plutôt que pour l’algèbre. La page ne calcule pas avec lui, parce que les deux seraient alors deux arithmétiques distinctes qui pourraient diverger

2^n

La somme de la ligne n, et la raison pour laquelle la saisie s’arrête où elle s’arrête. Additionnez une ligne et vous obtenez toujours une puissance de deux : la ligne 0 vaut 1, la ligne 1 vaut 2, la ligne 2 vaut 4, et la ligne 6 vaut 64. Ce doublement à chaque ligne est pourquoi la somme sort de la plage représentable exactement avant n’importe quel coefficient pris seul — la ligne 52 vaut 4 503 599 627 370 496 et la ligne 53 vaut 9 007 199 254 740 992, soit un cran au-delà du dernier entier qu’un double contient exactement

1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

La ligne 6 écrite en entier, qui est la dernière des sept lignes par défaut. Relisez-la en la comparant à la ligne du dessus : chaque entrée est la somme de deux voisines — 6 vaut 1 + 5, 15 vaut 5 + 10, 20 vaut 10 + 10, puis cela se reflète. La ligne est toujours symétrique autour de son milieu, parce que choisir les k éléments à garder et choisir les n - k éléments à rejeter sont la même décision comptée deux fois

Le triangle est le moyen le plus rapide de développer un binôme à la main. Pour développer (x + y) à la puissance six, on lit la ligne 6 directement sur la page et on écrit 1x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + 15x²y⁴ + 6xy⁵ + 1y⁶, sans aucune multiplication de polynômes. Un coefficient isolé est ce qu’on veut quand on n’a besoin que d’un terme, et la page des combinaisons le calcule directement à partir de n et de k sans construire les lignes intermédiaires. Les questions de probabilité à deux issues utilisent les mêmes nombres : la probabilité d’obtenir exactement 4 faces en 10 lancers est C(10, 4) divisé par 2¹⁰, et ce 1 024 au dénominateur est la somme de la ligne 10. Le triangle répond aussi à des questions de comptage qui n’ont pas l’air liées — le nombre de chemins traversant une grille d’un coin au coin opposé, le nombre de façons d’atteindre une case précise quand on ne peut aller que vers la droite et vers le bas, et le nombre de sous-ensembles d’une taille donnée. Quand la question est de savoir ce que sont les nombres plutôt que ce qu’ils veulent dire, cette page les imprime ; quand elle est de savoir combien de fois une chose peut se produire, la page des combinaisons est le chemin le plus court ; et quand la question porte sur les nombres de Fibonacci cachés dans les diagonales, la page de Fibonacci couvre cette suite directement.

1. Sept lignes, jusqu’à 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

   1. La ligne 0 vaut 1, et la ligne 1 vaut 1, 1 — les deux bords de chaque ligne valent toujours 1
   2. Ligne 2 : 1 + 1 = 2 au milieu, ce qui donne 1, 2, 1
   3. Ligne 3 : 1 + 2 = 3 deux fois, ce qui donne 1, 3, 3, 1 ; ligne 4 : 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6, ce qui donne 1, 4, 6, 4, 1
   4. Les lignes 5 et 6 continuent de la même façon et se terminent par 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
   5. On additionne la ligne 6 : 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64, qui est 2 puissance 6

   La saisie par défaut. Deux choses valent la peine d’être vérifiées à l’écran. D’abord, chaque nombre est la somme des deux au-dessus de lui : 15 vaut 5 + 10, 20 vaut 10 + 10, et la ligne est symétrique parce que 20 se trouve au milieu de sept entrées et s’apparie de part et d’autre. Ensuite, la somme de la ligne double à chaque fois — 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 —, donc un lecteur qui sait que la ligne du dessus vaut 32 peut prédire celle-ci avant de l’additionner. Ce doublement est le même fait que les deux 1 des bords : chaque ligne du dessus apporte son total entier deux fois, une fois dans la moitié gauche et une fois dans la moitié droite.

2. Quatre lignes, le plus court triangle utile

   1. La ligne 0 vaut 1 ; la ligne 1 vaut 1, 1
   2. La ligne 2 vaut 1, 2, 1, le 2 venant de 1 + 1
   3. La ligne 3 vaut 1, 3, 3, 1, chaque 3 venant de 1 + 2
   4. On additionne la dernière ligne : 1 + 3 + 3 + 1 = 8, qui est 2 au cube

   La ligne 3 est la dernière ici, et c’est là que le triangle devient intéressant : 1, 3, 3, 1 sont les coefficients de (x + y)³, donc x³ + 3x²y + 3xy² + y³ s’écrit directement à partir de cette ligne sans rien multiplier. C’est aussi la dernière ligne assez petite pour être vérifiée à la main en quelques secondes, et c’est pourquoi il vaut la peine de la regarder avant les plus longues. Remarquez que 4 lignes veut dire les lignes 0 à 3 — le nombre que vous tapez est un nombre de lignes, pas l’indice de la plus grande ligne.

3. Une ligne, le cas trivial

   1. La ligne 0 est un seul 1, sans rien au-dessus à additionner
   2. Une ligne a été demandée et une ligne est imprimée
   3. La somme de la ligne vaut 1, qui est 2 puissance 0

   La plus petite saisie que la page accepte, et elle est acceptée plutôt que traitée comme vide. Un triangle à une ligne n’est pas un cas dégénéré — c’est le cas de base à partir duquel toutes les lignes suivantes sont construites. Le lire confirme aussi l’indexation : demander 1 ligne donne la ligne 0 et non la ligne 1, ce qui compte dès qu’on compare le triangle à un développement de binôme. Que la somme vaille 1 plutôt que 0 est la même affirmation, en arithmétique, que le sommet du triangle est un 1 unique.

Le nombre de lignes doit être un entier de 1 à 53. Ce plafond existe parce que chaque nombre imprimé doit être un nombre qu’un ordinateur représente encore exactement, et qu’au-delà deux entiers voisins se confondent en une même valeur — les chiffres imprimés ont toujours l’air parfaitement ordinaires, ils ne représentent simplement plus le nombre qu’ils prétendent représenter. C’est la somme de la ligne qui cède en premier : la ligne 52 vaut 4 503 599 627 370 496 et la ligne 53 vaut 9 007 199 254 740 992, un cran au-delà du plus grand entier qu’un double contient exactement. Les coefficients pris isolément tiendraient jusqu’à la ligne 56 — le premier à passer la limite est C(57, 28) —, mais un triangle s’imprime ligne par ligne, donc c’est la somme qui décide. Zéro ligne est refusé : un triangle vide n’imprime rien, il n’y a donc aucune réponse à donner. Les fractions de ligne sont refusées plutôt qu’arrondies, puisqu’une ligne et demie n’existe pas. Les lignes reviennent sous forme d’une suite plate de nombres séparés par des virgules, les lignes étant séparées par des points-virgules, sans aucun séparateur de milliers, si bien qu’un coefficient élevé s’imprime comme une suite de chiffres d’un seul tenant au lieu d’être groupé par tranches de trois. Sur un triangle large, cela veut dire une longue ligne à faire défiler. La table de référence plus bas montre les sept premières lignes plutôt que de suivre votre saisie, et aucune ligne n’est accessible en la demandant directement — la page imprime toujours depuis le sommet.

À quoi sert le triangle de Pascal ?

À développer des binômes, surtout. Les entrées de la ligne n sont les coefficients qu’on obtient en développant (x + y) à la puissance n, donc la ligne 6 permet d’écrire immédiatement les sept termes de (x + y)⁶, sans multiplier aucun polynôme. Les mêmes nombres comptent des combinaisons : C(n, k) est l’entrée de position k de la ligne n, donc ils répondent à des questions comme le nombre de façons de choisir 4 personnes parmi 10. On les retrouve aussi en probabilité, où la probabilité d’obtenir exactement 4 faces en 10 lancers de pièce est C(10, 4) sur 2¹⁰ — et ce 1 024 est la somme de la ligne 10. Le comptage de chemins dans une grille les utilise également : le nombre d’itinéraires traversant une grille d’un coin au coin opposé, en n’allant que vers la droite et vers le bas, est une entrée du triangle.

Pourquoi la saisie s’arrête-t-elle à 53 lignes ?

Parce que la somme de la ligne cesse d’être un entier qu’un ordinateur peut représenter exactement. La ligne 52 vaut 4 503 599 627 370 496 et la ligne 53 vaut 9 007 199 254 740 992, et ce second nombre est un cran au-delà de la plus grande valeur qu’un nombre à double précision contient exactement. Au-delà, deux entiers voisins deviennent la même valeur, donc les chiffres imprimés ont toujours l’air ordinaires alors qu’ils ne représentent plus le nombre annoncé. Les coefficients pris isolément tiendraient plus longtemps — le premier à dépasser la limite est C(57, 28), à la ligne 57 —, mais un triangle s’imprime ligne par ligne, donc c’est la somme qui tranche. Livrer une ligne dont le total est faux et dont les entrées sont justes serait une chose déroutante à mettre en ligne.

Pourquoi la dernière ligne est-elle imprimée deux fois ?

Parce que sur un grand triangle, la dernière ligne est la seule partie que la plupart des lecteurs veulent, et la repérer dans une longue suite de chiffres est un travail. Demandez 40 lignes et la sortie du triangle est un mur de nombres où la ligne qui vous intéresse se trouve tout au bout ; la sortie de la dernière ligne est cette même ligne toute seule, dans une taille lisible. Les deux viennent du même calcul, elles ne peuvent donc pas se contredire. La somme de la ligne est imprimée une troisième fois pour la même raison — c’est un nombre unique qui répond à une question que la suite de chiffres ne règle pas d’un coup d’œil.

Les lignes commencent-elles à 0 ou à 1 ?

À 0, qui est la convention avec laquelle on indexe habituellement les coefficients. C(n, k) désigne l’entrée de position k de la ligne n, donc le 1 unique du sommet est la ligne 0, et demander 7 lignes donne les lignes 0 à 6, en terminant par 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 — sept nombres, parce que la ligne n compte toujours n + 1 entrées. Cela compte quand on compare le triangle à un développement de binôme : la ligne des coefficients de (x + y)⁶ est la ligne 6, et non la ligne 7. Le nombre que vous tapez est un nombre de lignes, pas l’indice de la plus grande ligne.

Qu’est-ce que la somme de la ligne, et pourquoi est-ce toujours une puissance de deux ?

Additionnez n’importe quelle ligne et vous obtenez 2 élevé à l’indice de cette ligne : la ligne 0 donne 1, la ligne 6 donne 64, la ligne 10 donne 1 024. La raison tient à la règle qui construit le triangle. Chaque ligne est faite à partir de celle du dessus, ajoutée à elle-même décalée d’un cran, donc chaque nombre de la ligne du dessus est compté deux fois dans celle du dessous — une fois du côté gauche et une fois du côté droit. Doubler le total à chaque fois donne les puissances de deux. Le même fait lu autrement : la somme de la ligne n compte tous les sous-ensembles d’un ensemble à n éléments, et un ensemble à n éléments a 2ⁿ sous-ensembles. C’est pourquoi le 1 024 qui figure au dénominateur d’une probabilité de dix lancers de pièce sort directement de la ligne 10.

D’où viennent les nombres de Fibonacci dans ce triangle ?

Des diagonales peu profondes. Additionnez les nombres le long d’une ligne qui monte vers la gauche — par exemple 1, puis 4, puis 3 — et les totaux successifs donnent 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. Ce sont les nombres de Fibonacci, où chacun est la somme des deux précédents. La raison est que chaque entrée d’une diagonale est elle-même construite à partir des deux entrées au-dessus d’elle, dont l’une se trouve sur la même diagonale et l’autre sur la suivante, si bien que les diagonales héritent directement de la récurrence de Fibonacci. La page de Fibonacci couvre cette suite toute seule si vous voulez la suivre plus loin.

• Pascal's Triangle — the array of binomial coefficients, its additive rule, and the identities that fall out of it — Wolfram MathWorld (United States)
• Binomial Coefficient — what C(n, k) counts, the factorial formula, and why the additive rule gives the same values — Wolfram MathWorld (United States)
• Binomial Theorem — the expansion of (x + y)^n, whose coefficients are the rows of the triangle — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle de Pascal — le tableau des coefficients binomiaux, sa règle additive, la formule avec les factorielles et les identités qui en découlent — Wikipédia en français