La suite commence-t-elle à F(0) ou à F(1) ?

Cette page commence à F(1), donc F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2, et le dixième terme vaut 55. L’autre convention très répandue pose F(0) = 0 et F(1) = 1, ce qui décale chaque indice d’une position — sous elle le cinquième terme vaut 5, alors qu’ici il vaut 8. Les deux sont utilisées dans les manuels et dans les logiciels, et aucune n’est une erreur. Mais si vous comparez cette page à une autre source et que les valeurs sont décalées d’une position, voilà pourquoi : c’est la façon la plus courante de se tromper sur un nombre de Fibonacci.

Pourquoi le rapport change-t-il au lieu de se fixer tout de suite ?

Parce que c’est une limite et non une identité. Chaque terme est la somme des deux précédents, donc le rapport de deux termes consécutifs obéit à sa propre règle de déplacement, et ce déplacement alterne au-dessus et en dessous de la cible, chaque écart valant à peu près la moitié du précédent. La table de cette page le montre : 2 ; 1,5 ; 2 ; 1,667 ; 1,6 ; 1,625, puis un resserrement vers 1,615 et 1,619. Dix termes en approchent, vingt suffisent pour les huit décimales que la page imprime, et aucun nombre fini de termes ne donne exactement le nombre d’or — seulement une valeur qui s’en rapproche davantage.

Qu’est-ce que le nombre d’or, et pourquoi cette suite le produit-elle ?

Le nombre d’or vaut 1,6180339887…, c’est la solution positive de x² = x + 1. Cette équation est la récurrence de Fibonacci écrite autrement — si les rapports se posent sur une valeur, cette valeur doit la vérifier —, ce qui explique pourquoi la suite y aboutit et pourquoi la convergence n’est ni une coïncidence ni une curiosité. C’est aussi le nombre le plus difficile à approcher par des fractions, parce que sa fraction continue ne contient que des 1, et c’est la propriété que les plantes exploitent lorsqu’elles espacent feuilles et graines selon lui.

Pourquoi ne puis-je demander que 78 termes ?

Parce que F(79) est plus grand que le plus grand entier qu’une valeur à double précision peut contenir exactement, à savoir 9 007 199 254 740 991. F(78) vaut 8 944 394 323 791 464 et est exact ; F(79) vaut 14 472 334 024 676 221 et serait stocké comme une valeur proche, mais pas égale. La page refuse la demande au lieu d’imprimer une approximation, parce qu’un terme imprimé sur seize chiffres ressemble exactement à un terme correct — rien dans la sortie ne permet de voir l’erreur. Le nombre de termes est une contrainte de virgule flottante et non de mathématiques ; la suite, elle, continue indéfiniment.

D’où vient le problème des lapins ?

Fibonacci a introduit la suite par une énigme : on part d’un couple de lapins, on laisse chaque couple mettre un mois à devenir adulte puis produire un nouveau couple chaque mois, et on compte les couples au début de chaque mois. Les effectifs donnent 1, 1, 2, 3, 5, 8 et ainsi de suite, parce que les couples adultes du mois précédent sont toujours là et que les nouveaux couples du mois viennent de ceux qui étaient adultes un mois plus tôt — ce qui est la récurrence, obtenue par un chemin complètement différent. Cela vaut la peine d’être su, parce que cela montre que la suite n’est définie par aucune application particulière.

Peut-on calculer le terme de rang n sans lister tous les précédents ?

En principe oui, et la sortie du terme de rang n vous donne ce nombre sur sa propre ligne, mais il est produit par la même boucle et non par une formule raccourcie. La raison est l’exactitude : il existe une forme close, la formule de Binet, qui donne directement le n-ième nombre de Fibonacci à partir du nombre d’or, mais elle fait intervenir des nombres irrationnels élevés à une puissance, et en arithmétique flottante elle s’écarte du vrai entier pour les n grands. Additionner des entiers est exact là où cette formule ne l’est pas, donc la page additionne. Avancer à partir de deux valeurs de départ est aussi la raison pour laquelle 78 termes ne coûtent rien : il n’y a aucune équation à résoudre, seulement une addition répétée 76 fois.

Calculatrice de Fibonacci

Résultat

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

Termes (F(1) à F(n))

Terme de rang n: 55
Estimation du nombre d’or: 1,61764706

La suite de Fibonacci commence par deux 1, et chaque terme suivant est la somme des deux qui le précèdent : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, et ainsi de suite. Cette page produit les n premiers termes, la valeur du terme de rang n prise toute seule, et le rapport du dernier terme à celui d’avant. Cette dernière sortie est ce qui fait que la page vaut mieux qu’une table de correspondance. Les rapports commencent par vaciller — 2, puis 1,5, puis 1,6667, puis 1,6 — et se posent très vite sur un seul nombre, 1,6180339887…, qui est le nombre d’or. Dès le vingtième terme, le rapport est déjà juste à un millionième près. Rien dans la définition ne mentionne ce nombre ; il tombe de l’addition elle-même, et le regarder tomber est la partie intéressante. Cette page compte à partir de 1, donc F(1) vaut 1, F(2) vaut 1, F(3) vaut 2 et F(10) vaut 55. Il existe une seconde convention très répandue qui commence à F(0) = 0, et sous celle-là le cinquième terme vaut 5 là où cette page donne 8. Les deux sont correctes, mais une page doit en choisir une, et les mélanger est la façon la plus courante de se tromper d’une position dans une réponse sur la suite de Fibonacci. Le plafond de 78 termes n’est pas une limite de l’idée mais de l’arithmétique : les termes dépassent ce qu’un nombre à double précision peut contenir exactement à partir de F(79), donc la page s’arrête un terme avant le point où les réponses commenceraient à être des approximations. La suite elle-même mérite un mot, parce que c’est le rare exemple qui arrive par deux chemins. L’un est une énigme d’élevage : on part d’un couple, on laisse chaque couple mettre un mois à devenir adulte puis produire un nouveau couple chaque mois, et les effectifs mois par mois sont exactement ces nombres. C’est le problème des lapins, et la suite porte le nom de celui qui l’a posé. L’autre chemin est la définition ci-dessus — additionner les deux derniers — et il n’est pas évident que ce soit la même chose, ce qui explique que la suite apparaisse dans des domaines qui n’ont rien à voir entre eux. Les spirales de graines de tournesol, les écailles de pomme de pin et la disposition des feuilles autour d’une tige suivent tous ces nombres, et la raison est toujours le nombre d’or vers lequel les rapports convergent : c’est ce qui fait qu’une spirale d’or se dessine toute seule dans une fleur. Ce que la suite n’est pas, en revanche, c’est une loi de la nature ou un principe de design : c’est une récurrence qui se trouve approcher le nombre le plus irrationnel qui existe, et les usages qu’en fait la nature sont ceux où cette approximation rapporte.

Les dix premiers termes, avec le rapport de chacun à celui qui le précède

n	Terme	Rapport au terme précédent
1	1	—
2	1	1.00000000
3	2	2.00000000
4	3	1.50000000
5	5	1.66666667
6	8	1.60000000
7	13	1.62500000
8	21	1.61538462
9	34	1.61904762
10	55	1.61764706

Lisez la colonne de droite de haut en bas et vous regardez un nombre se décider. Elle commence à 2 — le deuxième terme vaut 1 et le premier vaut 1, mais 2 ÷ 1 fait 2 —, retombe à 1,5, remonte à 2, redescend à 1,667, puis les écarts se resserrent vite : 1,6, 1,625, 1,615, 1,619, 1,617647. L’oscillation est le sujet. Le rapport n’approche pas 1,618 par un seul côté : il dépasse et reste en dessous en alternance, chaque écart valant à peu près la moitié du précédent, ce qui explique qu’à la dixième ligne la valeur imprimée soit déjà juste à deux décimales. Le vrai nombre d’or commence par 1,6180339887, donc à la dixième ligne l’erreur restante est dans la troisième décimale. La première ligne porte un tiret à la place d’un rapport parce qu’il n’y a pas de terme précédent par lequel diviser — exactement la raison pour laquelle la page refuse une demande à un seul terme au lieu d’imprimer un blanc. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (1.61764706 plutôt que 1,61764706), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

F(1) = 1, F(2) = 1, F(n) = F(n − 1) + F(n − 2) ⇒ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 … ; le rapport de deux termes consécutifs → φ = (1 + √5) / 2 = 1,6180339887…

F(1) = F(2) = 1: Les deux valeurs de départ, et le choix que la page rend explicite. Compter à partir de 1 veut dire que F(1) et F(2) valent tous les deux 1 et que F(10) vaut 55. L’autre convention répandue pose F(0) = 0 et F(1) = 1, ce qui décale chaque indice d’une position, si bien que le cinquième terme y vaut 5 au lieu de 8. Aucune des deux n’est fausse, mais elles ne sont d’accord sur aucun indice
F(n) = F(n − 1) + F(n − 2): La récurrence, qui est toute la définition. Chaque terme est la somme des deux précédents : 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8. C’est parce qu’on avance à partir de deux valeurs de départ que la page peut produire aussi facilement mille termes que dix : il n’y a aucune équation à résoudre, seulement une addition répétée
n: Le nombre de termes voulus, de 2 à 78. La borne basse est 2 et non 1 parce que la sortie du rapport a besoin d’un terme et de celui qui le précède : avec un seul terme il n’y aurait rien à diviser, et la page refuse la demande plutôt que d’imprimer un rapport vide. La borne haute est le point où les termes cessent d’être exacts en arithmétique flottante ordinaire
F(78) = 8944394323791464: Le dernier terme que cette page atteindra, et la raison pour laquelle elle s’arrête là. F(79) vaut 14 472 334 024 676 221, au-delà du plus grand entier qu’un double peut contenir exactement — 9 007 199 254 740 991 — donc à partir de là les chiffres imprimés seraient une approximation et non la suite. La page refuse 79 plutôt que d’imprimer un terme presque juste
F(n) / F(n − 1): La sortie du rapport. Ce n’est pas le nombre d’or, et la page ne prétend pas le contraire : 1,6667 est ce qu’on obtient au cinquième terme, et c’est loin de 1,618. C’est une estimation qui s’améliore vite — le vingtième terme est déjà juste à huit décimales, ce qui est la précision que la page imprime
φ = 1,6180339887…: Le nombre d’or, la valeur vers laquelle ces rapports convergent. Il est la solution positive de x² = x + 1, qui est la même récurrence écrite sous forme d’équation — ce n’est pas une coïncidence, c’est la raison pour laquelle les rapports de Fibonacci tombent dessus. À noter que l’estimation imprimée s’arrête à 1,61803399 : la page affiche huit décimales, et la valeur exacte continue au-delà

Vérifier un terme est l’usage le plus simple : une énigme demande le dixième nombre de Fibonacci, ou une suite dans un manuel va plus loin que ce que vous voulez additionner à la main, et la page donne la valeur et la série de termes qui y mène. La sortie du rapport répond à une autre question, qui est de savoir d’où vient le nombre d’or. Voir 2, 1,5, 1,6667, 1,6, 1,625, 1,615 se poser vers 1,618 est un chemin bien plus court vers la compréhension du lien que la lecture d’une démonstration, et la table de référence de cette page est disposée exactement pour cette lecture. Un troisième usage relève de la programmation et des cours : la récurrence est l’exemple d’entrée standard de la récursivité, et la suite est l’exemple standard d’une définition récursive bien moins coûteuse à calculer de façon itérative — la boucle de cette page est la version itérative, c’est pourquoi 78 termes ne coûtent rien. Ces nombres apparaissent aussi dans les problèmes d’estimation où la croissance se compose avec elle-même : le nombre de façons de paver une bande avec des carrés et des dominos, le nombre de façons de monter un escalier une ou deux marches à la fois, et le nombre de ramifications d’une plante qui se divise à chaque saison suivent tous la même récurrence. Quand la question porte sur le rapport plutôt que sur la suite, la page du nombre d’or le traite comme un nombre à part entière avec ses propres propriétés ; quand elle porte sur le motif de croissance, la page de la croissance exponentielle couvre la version continue de ce que ces termes approchent par paliers.

Exemples détaillés

Les dix premiers termes : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
1. On part de 1 et 1, les deux valeurs de départ que cette page utilise
2. 1 + 1 = 2, puis 1 + 2 = 3, puis 2 + 3 = 5, puis 3 + 5 = 8
3. On continue : 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, 13 + 21 = 34, 21 + 34 = 55
4. Dix termes, donc le dixième vaut 55 ; le rapport des deux derniers est 55 ÷ 34 = 1,61764706
La saisie par défaut. Remarquez que le dixième terme vaut 55 et que le rapport de 55 à 34 vaut 1,61764706 — proche du nombre d’or, mais encore visiblement à côté dès la troisième décimale. C’est ce qui rend la suite intéressante à regarder plutôt qu’à simplement consulter : la convergence est rapide mais elle n’est pas instantanée, et dix termes ne suffisent pas encore pour que les huit décimales imprimées atteignent 1,61803399.
La série la plus courte : deux termes
1. Deux termes est la plus petite demande que cette page accepte
2. La suite se réduit aux deux valeurs de départ : 1 et 1
3. Le deuxième terme vaut 1, donc la sortie du terme de rang n vaut 1
4. Le rapport vaut 1 ÷ 1 = 1 — aussi loin du nombre d’or que cette page peut aller
La borne basse, et la raison pour laquelle elle vaut 2 plutôt que 1. La sortie du rapport a besoin de deux termes pour exister ; avec un seul terme il n’y aurait rien à diviser, donc la page refuse 1 au lieu d’imprimer un blanc ou un zéro. Le rapport de 1 est aussi le point de départ de toute la convergence : chaque rapport ultérieur est un pas qui l’éloigne de cette valeur, et le trajet de 1 à 1,618 est ce que la table plus bas déroule terme par terme.
Où le rapport se pose : vingt termes
1. On poursuit la récurrence depuis le dixième terme : 34 + 55 = 89, 55 + 89 = 144, et ainsi de suite
2. Le vingtième terme vaut 6 765 et le dix-neuvième vaut 4 181
3. 6 765 ÷ 4 181 = 1,61803396317…
4. Arrondi aux huit décimales que la page imprime, cela donne 1,61803396
Vingt termes suffisent. Le vrai nombre d’or commence par 1,6180339887, et l’estimation donnée ici est d’accord avec lui jusqu’à la septième décimale — l’écart est maintenant dans la huitième, qui est la dernière imprimée. Comparez avec le cas à dix termes, où l’erreur était déjà visible à la troisième décimale. C’est le point que la page existe pour établir : la récurrence n’a rien à voir avec le nombre d’or dans sa définition, et pourtant elle le produit, rapidement et à partir de rien d’autre que des additions.

Limites

Le nombre de termes doit être un entier de 2 à 78. Un est refusé parce que la sortie du rapport a besoin de deux termes pour exister, et 79 est refusé parce que les termes cessent d’y être exacts : F(78) vaut 8 944 394 323 791 464, le dernier nombre de Fibonacci qui tient exactement dans une valeur à double précision, et F(79) dépasse le plafond de 9 007 199 254 740 991. La page décline la demande plutôt que de renvoyer un terme approché, parce qu’un nombre presque juste mais imprimé sur seize chiffres ressemble exactement à un nombre correct. Le compte part de 1 et cette page utilise F(1) = F(2) = 1. L’autre convention répandue pose F(0) = 0 et F(1) = 1, ce qui décale chaque indice d’une position — sous cette convention le cinquième terme vaut 5, et ici il vaut 8. Les deux conventions sont en usage dans les manuels comme dans les logiciels, donc si vous comparez cette page à une autre source et que les valeurs sont décalées d’une position, c’est la raison et non une erreur. La sortie du rapport est une estimation imprimée à huit décimales ; elle n’est jamais exactement le nombre d’or pour un nombre fini de termes, même si au soixante-dix-huitième les huit chiffres imprimés et ceux du nombre d’or coïncident. Les termes eux-mêmes sont imprimés sous forme de liste séparée par des virgules et sans séparateur de milliers : le soixante-dix-huitième terme s’affiche donc comme une suite de seize chiffres d’un seul tenant, et le lire à voix haute est un travail pour la sortie du terme de rang n plutôt que pour la liste. Enfin, la table de référence est figée sur les dix premiers termes et ne suit pas votre saisie ; elle est là pour montrer le rapport en train de se poser, pas pour répondre à ce que vous avez tapé.

Questions fréquentes

La suite commence-t-elle à F(0) ou à F(1) ?: Cette page commence à F(1), donc F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2, et le dixième terme vaut 55. L’autre convention très répandue pose F(0) = 0 et F(1) = 1, ce qui décale chaque indice d’une position — sous elle le cinquième terme vaut 5, alors qu’ici il vaut 8. Les deux sont utilisées dans les manuels et dans les logiciels, et aucune n’est une erreur. Mais si vous comparez cette page à une autre source et que les valeurs sont décalées d’une position, voilà pourquoi : c’est la façon la plus courante de se tromper sur un nombre de Fibonacci.
Pourquoi le rapport change-t-il au lieu de se fixer tout de suite ?: Parce que c’est une limite et non une identité. Chaque terme est la somme des deux précédents, donc le rapport de deux termes consécutifs obéit à sa propre règle de déplacement, et ce déplacement alterne au-dessus et en dessous de la cible, chaque écart valant à peu près la moitié du précédent. La table de cette page le montre : 2 ; 1,5 ; 2 ; 1,667 ; 1,6 ; 1,625, puis un resserrement vers 1,615 et 1,619. Dix termes en approchent, vingt suffisent pour les huit décimales que la page imprime, et aucun nombre fini de termes ne donne exactement le nombre d’or — seulement une valeur qui s’en rapproche davantage.
Qu’est-ce que le nombre d’or, et pourquoi cette suite le produit-elle ?: Le nombre d’or vaut 1,6180339887…, c’est la solution positive de x² = x + 1. Cette équation est la récurrence de Fibonacci écrite autrement — si les rapports se posent sur une valeur, cette valeur doit la vérifier —, ce qui explique pourquoi la suite y aboutit et pourquoi la convergence n’est ni une coïncidence ni une curiosité. C’est aussi le nombre le plus difficile à approcher par des fractions, parce que sa fraction continue ne contient que des 1, et c’est la propriété que les plantes exploitent lorsqu’elles espacent feuilles et graines selon lui.
Pourquoi ne puis-je demander que 78 termes ?: Parce que F(79) est plus grand que le plus grand entier qu’une valeur à double précision peut contenir exactement, à savoir 9 007 199 254 740 991. F(78) vaut 8 944 394 323 791 464 et est exact ; F(79) vaut 14 472 334 024 676 221 et serait stocké comme une valeur proche, mais pas égale. La page refuse la demande au lieu d’imprimer une approximation, parce qu’un terme imprimé sur seize chiffres ressemble exactement à un terme correct — rien dans la sortie ne permet de voir l’erreur. Le nombre de termes est une contrainte de virgule flottante et non de mathématiques ; la suite, elle, continue indéfiniment.
D’où vient le problème des lapins ?: Fibonacci a introduit la suite par une énigme : on part d’un couple de lapins, on laisse chaque couple mettre un mois à devenir adulte puis produire un nouveau couple chaque mois, et on compte les couples au début de chaque mois. Les effectifs donnent 1, 1, 2, 3, 5, 8 et ainsi de suite, parce que les couples adultes du mois précédent sont toujours là et que les nouveaux couples du mois viennent de ceux qui étaient adultes un mois plus tôt — ce qui est la récurrence, obtenue par un chemin complètement différent. Cela vaut la peine d’être su, parce que cela montre que la suite n’est définie par aucune application particulière.
Peut-on calculer le terme de rang n sans lister tous les précédents ?: En principe oui, et la sortie du terme de rang n vous donne ce nombre sur sa propre ligne, mais il est produit par la même boucle et non par une formule raccourcie. La raison est l’exactitude : il existe une forme close, la formule de Binet, qui donne directement le n-ième nombre de Fibonacci à partir du nombre d’or, mais elle fait intervenir des nombres irrationnels élevés à une puissance, et en arithmétique flottante elle s’écarte du vrai entier pour les n grands. Additionner des entiers est exact là où cette formule ne l’est pas, donc la page additionne. Avancer à partir de deux valeurs de départ est aussi la raison pour laquelle 78 termes ne coûtent rien : il n’y a aucune équation à résoudre, seulement une addition répétée 76 fois.

Références

Fibonacci Number — the recurrence, the closed form in terms of the golden ratio, and the identity that makes the ratio converge on it — Wolfram MathWorld (United States)
Golden Ratio — the number 1.6180339887…, its definition as the positive root of x² = x + 1, and why it is the hardest number to approximate with fractions — Wolfram MathWorld (United States)
Continued Fraction — why the all-ones continued fraction of the golden ratio is exactly what makes the Fibonacci ratios converge on it — Wolfram MathWorld (United States)
Suite de Fibonacci — la récurrence, ses termes, la convention d’indices, le problème des lapins d’origine et la convergence des rapports vers le nombre d’or — Wikipédia en français

Calculatrices liées

Calculatrice de suitesTermes et sommes de suites arithmétiques ou géométriques.Calculatrice du nombre d’orPartage un segment selon le nombre d’or, grand et petit.Calculatrice de moyenneCalcule la moyenne d’une liste de nombres, pas à pas.Calculatrice de croissance exponentielleCroissance ou décroissance exponentielle selon taux et durée.