Calculatrice du nombre d’or

Partie longue ÷ partie courte = phi Ligne entière ÷ partie longue = phi Partie courte = partie longue ÷ phi Partie longue = partie courte × phi Ligne entière = partie longue + partie courte

Quelle partie vous connaissez

Un choix parmi trois : la partie longue, la partie courte, ou la ligne entière. Il décide lequel des champs est votre entrée et lesquelles des deux autres lectures en sont déduites. La ligne entière est la valeur par défaut, parce qu’une longueur qu’on peut mesurer directement est l’entrée habituelle du problème.

La longueur que vous connaissez

Combien mesure cette partie : 100, ou 1920, ou 0,5. Elle doit être supérieure à zéro, parce que zéro n’a pas de section dorée — les deux parties seraient nulles — et qu’une longueur négative n’est pas une longueur. Elle n’est pas limitée aux nombres entiers, et elle ne porte aucune unité : les pixels, les millimètres et les pouces se comportent de la même façon.

Partie longue

Le plus grand morceau du partage, et la lecture principale. Si vous connaissez la ligne entière, c’est la ligne divisée par phi ; si vous connaissez la partie courte, c’est cette partie multipliée par phi ; et si c’est elle que vous connaissez, c’est le nombre que vous avez saisi.

Partie courte

Le plus petit morceau. Si vous connaissez la ligne entière, c’est ce qui reste quand on en retire la partie longue ; si vous connaissez la partie longue, c’est celle-ci divisée par phi ; et si c’est elle que vous connaissez, c’est le nombre que vous avez saisi.

Ligne entière

Les deux morceaux additionnés, ce qui redonne la longueur de départ chaque fois que c’est le champ que vous avez rempli. C’est la lecture qui rattache les deux autres : la partie longue plus la partie courte la redonnent toujours, et cette somme est la vérification que les trois lignes s’accordent.

Arrondi

Les trois lectures sont affichées avec quatre décimales, parce que phi lui-même ne se termine jamais. Les trois sont calculées à partir de la même paire de nombres, donc lorsque la longueur saisie tient sur quatre décimales, les trois lignes affichées s’additionnent encore exactement : 61,8034 + 38,1966 font 100.

Le premier usage est une mise en page : une page, une toile, une photographie ou un cadre à couper à la section dorée, où la largeur totale est connue et où l’on cherche les deux parties. Le deuxième est le sens inverse, tout aussi fréquent — vous avez déjà tracé la partie longue et il vous manque la courte, ou vous avez une partie courte fixée et la longue doit en découler. Le troisième est la vérification d’un partage fait par quelqu’un d’autre : saisissez la partie longue et regardez si la ligne entière qu’elle implique est bien celle du plan. Le quatrième est une proportion à travers les échelles, où le même rapport s’applique à une grande et à une petite version du même dessin ; comme le rapport est sans dimension, rien n’a besoin d’être converti entre les deux. Le cinquième est celui avec lequel on arrive après avoir rencontré la formule plutôt que le nombre : voir qu’une ligne de 100 devient 61,8 et 38,2 est ce qui rend la définition concrète, et le tableau plus bas le répète pour quelques largeurs familières afin que l’effet du changement d’échelle se lise d’une seule colonne.

1. Une ligne entière de 100

   1. Partie longue : 100 ÷ 1,6180339887 = 61,8034
   2. Partie courte : 100 − 61,8034 = 38,1966
   3. Vérification : 61,8034 + 38,1966 = 100, la longueur de départ
   4. Et le rapport : 61,8034 ÷ 38,1966 = 1,618

   Le cas par défaut et le plus clair : un 100 rond entre, deux nombres peu commodes sortent, et les deux se réadditionnent exactement en 100. Ce dernier point n’est pas un hasard — la partie courte est trouvée par soustraction et non par une seconde division, les deux lignes affichées ne peuvent donc pas contredire celle que vous avez saisie. La quatrième étape est la définition lue à l’envers, et c’est celle qui vaut la peine d’être faite une fois : diviser la partie longue par la partie courte doit redonner phi.

2. Partie longue connue, 100

   1. Partie courte : 100 ÷ 1,6180339887 = 61,8034
   2. Ligne entière : 100 + 61,8034 = 161,8034
   3. Une partie longue de 100 appartient donc à une ligne de 161,8034

   Le sens dont on a réellement besoin quand le dessin comporte déjà un grand côté : la partie longue est fixée et le reste de la ligne doit suivre. Notez que la lecture principale est ici simplement le nombre saisi — le panneau garde la partie longue en première ligne quelle que soit la branche choisie, la réponse est donc toujours au même endroit. Et notez que la deuxième ligne est le même 61,8034 que dans le cas précédent, ce qui est tout l’intérêt : une partie longue de 100 implique une partie courte identique, qu’elle vienne d’une ligne de 161,8 ou d’une ligne de 100 partagée autrement.

3. Partie courte connue, 100

   1. Partie longue : 100 × 1,6180339887 = 161,8034
   2. Ligne entière : 100 + 161,8034 = 261,8034
   3. Une partie courte de 100 appartient donc à une ligne de 261,8034

   La troisième branche, et celle qui fixe la multiplication : passer de la partie courte à la longue multiplie par phi, tandis que passer de la longue à la courte divise par phi. Les deux sens apparaissent dans les cas ci-dessus, et les comparer est le moyen le plus rapide de retenir dans quel sens va la constante. Une partie courte de 100 réclame une ligne de plus de deux fois et demie sa longueur, ce qui est l’avertissement pratique : la partie courte d’une section dorée est toujours la plus petite part d’une ligne plus longue qu’elle n’en a l’air.

4. Une largeur de 1920 pixels

   1. Partie longue : 1920 ÷ 1,6180339887 = 1186,6253
   2. Partie courte : 1920 − 1186,6253 = 733,3747
   3. Vérification : 1186,6253 + 733,3747 = 1920

   Une largeur d’écran, qui est l’endroit où ce calcul se fait le plus souvent en pratique : une toile ou une colonne de contenu coupée à la section dorée. Les deux parties tombent sur quatre décimales, ce qui en pixels représente une fraction de pixel — arrondissez-les au pixel entier et le partage reste doré bien au-delà de ce qu’un œil distingue. C’est aussi le cas qui montre pourquoi les lectures sont affichées avec quatre décimales plutôt que deux : à cette taille, deux décimales ramèneraient les deux parties sur des nombres presque entiers et cacheraient le fait qu’aucune des deux n’est exacte.

5. Une ligne entière de 2

   1. Partie longue : 2 ÷ 1,6180339887 = 1,2361
   2. Partie courte : 2 − 1,2361 = 0,7639
   3. Vérification : 1,2361 + 0,7639 = 2

   La plus petite longueur entière qui montre encore un partage avec des chiffres de part et d’autre de la virgule, et le cas qui rend visible l’étrangeté du rapport : la partie longue d’une ligne de 2 en occupe plus de la moitié, comme toujours, et la partie courte est un peu sous quatre dixièmes. Multiplier cette ligne par dix redonne le 20 du tableau plus bas, et les deux parties sont multipliées par dix avec elle — il n’y a ni unité ni échelle dans le rapport, seulement une proportion entre deux morceaux de ce que vous avez mesuré.

La longueur saisie doit être supérieure à zéro. Zéro est refusé parce que sa section dorée serait deux zéros, ce qui n’apprend rien, et une longueur négative est refusée parce qu’elle n’existe pas plutôt parce qu’elle serait petite. Une seule longueur est prise à la fois, et la page ne vérifie jamais un partage que vous avez fait ailleurs : si vous avez déjà deux morceaux coupés, saisir l’un des deux vous renvoie la section à laquelle il appartient plutôt que de confirmer la paire que vous avez sous les yeux. Les trois lectures sont affichées avec quatre décimales, donc les nombres ne sont jamais exacts — phi n’a aucune forme décimale exacte, et la page arrondit à chaque ligne ; lorsque la ligne entière et la partie longue tiennent toutes deux sur la grille, les lignes affichées s’additionnent encore exactement, mais une longueur à cinq décimales ou plus peut laisser le dernier chiffre à une unité près, et cela tient à l’affichage et non à l’arithmétique. Les longueurs sont sans unité à dessein, ce qui veut dire que la page ne peut pas vous dire si les deux morceaux sont des millimètres ou des kilomètres, et qu’elle ne vous avertira pas non plus qu’un partage en pixels devra être arrondi au pixel entier pour être réalisable. Enfin la page applique le rapport et rien d’autre : elle ne dit pas si une section dorée est la bonne proportion pour ce que vous faites, et elle ne trace pas la spirale logarithmique avec laquelle on dessine d’ordinaire les rectangles d’or successifs.

Qu’est-ce que le nombre d’or, exactement ?

Un plus la racine carrée de cinq, le tout divisé par deux, soit 1,6180339887498948482, un nombre qui continue indéfiniment sans se répéter. C’est le seul rapport qui survive au découpage : prenez un rectangle ayant ces côtés, retirez-en le plus grand carré, et le rectangle restant a de nouveau le même rapport. C’est ce qui définit le rectangle d’or. Euclide le décrivait comme le partage d’une ligne en extrême et moyenne raison, ce qui est l’opération que cette page exécute.

Comment diviser une longueur selon le nombre d’or ?

Divisez la ligne entière par 1,6180339887 pour obtenir la partie longue, puis retirez-la de la ligne entière pour obtenir la partie courte. Une ligne de 100 devient 61,8034 et 38,1966. La soustraction plutôt qu’une seconde division est délibérée : elle garantit que les deux morceaux se réadditionnent en la longueur saisie.

Je connais déjà une des deux parties, pas la ligne entière. Puis-je m’en servir ?

Oui — choisissez dans le premier champ la partie que vous connaissez et saisissez sa longueur. Si vous connaissez la partie longue, la courte vaut celle-ci divisée par phi et la ligne entière vaut leur somme. Si vous connaissez la partie courte, la longue vaut celle-ci multipliée par phi. Les trois branches sont la même arithmétique réarrangée, et le panneau affiche toujours les trois mêmes lignes.

Pourquoi les nombres sortent-ils avec quatre décimales ?

Parce que phi ne se termine jamais, donc aucune lecture de cette page ne peut être exacte — les quatre décimales sont l’endroit où l’arrondi est arrêté, au même endroit pour les trois lignes. Lorsque la longueur saisie compte au plus quatre décimales, les trois lignes affichées s’additionnent encore exactement, parce que la partie courte est trouvée par soustraction. Une longueur à cinq décimales ou plus peut laisser le dernier chiffre à une unité près.

Cela change-t-il quelque chose d’utiliser une unité plutôt qu’une autre ?

Non, et c’est pourquoi aucune unité n’apparaît nulle part sur la page. Le nombre d’or est une proportion entre deux longueurs et non une longueur, donc les pixels, les millimètres, les pouces et de simples fractions se comportent identiquement, et multiplier la longueur saisie multiplie les trois lectures par le même facteur. La conséquence est que la page ne peut pas vous dire si votre réponse doit être arrondie au pixel entier avant d’être réalisable.

Est-ce que 1,618 suffit ?

Pour couper un morceau de carton, oui ; pour la définition, non. Le nombre d’or n’est pas 1,618 — c’est un plus la racine carrée de cinq sur deux, qui ne fait que commencer par ces chiffres. Utiliser 1,618 partout décale la partie longue d’une ligne de 100 d’environ un millième, ce qui est invisible dans la plupart des travaux mais n’est pas la section dorée. Cette page emploie la précision dont elle dispose et n’arrondit que ce qu’elle affiche.

N’est-ce pas la même chose qu’une calculatrice de rapport ou de proportion ?

Non, et la différence tient à ce que vous devez fournir. Une calculatrice de rapport prend deux nombres que vous lui donnez et les simplifie, et une calculatrice de proportion résout le terme manquant d’une égalité que vous avez écrite. Ici le rapport n’est pas le vôtre : il est fixé à phi, et ce que vous saisissez est une longueur. Trois pages, trois questions différentes.

• Golden Ratio — the definition of phi as the unique ratio which survives cutting a rectangle into a square and a remainder, its exact value of one plus the square root of five over two, its other names (divine proportion, golden mean, golden section), and Euclid's equivalent definition by extreme and mean ratio — Wolfram MathWorld (United States)
• Golden Ratio Conjugate — the smaller quantity, equal to phi minus one and to one over phi, which is the ratio of the short piece to the long piece on this page — Wolfram MathWorld (United States)
• Golden Rectangle — the rectangle whose sides are in the golden ratio and which keeps that ratio when a square is cut from it, the figure that makes the definition of phi unique — Wolfram MathWorld (United States)
• Fibonacci Number — the sequence whose terms are connected to the golden ratio, and whose neighbouring pairs approach the same proportion this page applies — Wolfram MathWorld (United States)
• Ratio — the relation between two quantities of the same kind, written as a quotient, which is the form both of the equalities in the expression above take — Wolfram MathWorld (United States)