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CalcMax

Calculatrice de proportion

Résultat

16,0000

Terme manquant

Produit en croix (A × D = B × C)
48,0000
Facteur d’échelle (C ÷ A)
4,0000

Une calculatrice de proportion résout l’affirmation que deux rapports sont égaux lorsqu’un des quatre termes manque. Écrivez 3 : 4 = 12 : ? et la réponse est 16, parce que 3 : 4 et 12 : 16 sont des rapports équivalents — le second est le premier avec chaque terme multiplié par quatre. La forme se réduit à quatre cases de nombres et rien d’autre, et la règle est d’en laisser exactement une vide : la case vide est le terme que l’on cherche. Il n’y a aucun menu demandant quel terme vous voulez, parce que la case vide le dit déjà, et les quatre positions fonctionnent de la même façon — on peut résoudre pour le premier terme aussi facilement que pour le dernier, ce qui est la question qu’on pose le plus souvent à cette disposition. Trois des quatre termes suffisent, et l’arithmétique est toujours la même : le produit en croix transforme la proportion en une seule équation, A × D = B × C, et résoudre pour le terme manquant revient à multiplier l’autre paire puis à diviser par son partenaire en diagonale. C’est pourquoi le panneau montre le produit de la paire que vous avez remplie — c’est le nombre auquel vous arriveriez à la main — et, à côté, le coefficient par lequel le second rapport met le premier à l’échelle. C’est aussi la vieille règle de trois, dans sa version à quatre cases. Les termes peuvent être négatifs, donc les rapports aussi ; zéro est la seule valeur qui ne peut apparaître nulle part, parce qu’un rapport dont un terme est nul soit n’a aucune solution, soit en a une infinité.

Dix proportions, et les quatre façons de laisser un terme vide

Premier terme (A)Deuxième terme (B)Troisième terme (C)Quatrième terme (D)Terme manquantProduit en croixCoefficient d’échelle
341216D484
341216A484
341216B484
341216C484
1252.41C120.2
532012D604
2346D122
1.54.52.57.5C11.251.6667
-34-1216D-484
7777D491

Chaque ligne est une proportion résolue, et les colonnes sont les quatre termes, la case qui a été laissée vide, le produit de la paire remplie, et le coefficient qui met le premier rapport à l’échelle du second. Les quatre premières lignes sont la même proportion, 3 : 4 = 12 : 16, avec la case vide qui parcourt D, A, B puis C, et toutes les lectures y sont identiques — 48 pour le produit en croix et 4 pour le coefficient. Lire ces quatre lignes de haut en bas est la réponse la plus rapide à la question de savoir si cette page sait résoudre pour le premier terme : elle sait résoudre pour n’importe lequel. Elles expliquent aussi la colonne du terme manquant, qui imprime la lettre de la case vide plutôt qu’un nombre, puisque les termes et les lettres sont les mêmes dans toutes les langues. La cinquième ligne est 12 : 5 = ? : 1, résolue en 2,4, ce qui est la même arithmétique qu’un prix à l’unité et la seule ligne dont la réponse n’est pas un nombre entier. La sixième est 5 : 3 = 20 : ?, résolue en 12. La septième est la plus petite proportion entière, 2 : 3 = 4 : 6. La huitième a des décimales dans chaque case, et son coefficient de 1,6667 est la seule lecture du tableau qui ne tombe pas rond. La neuvième a des termes négatifs, où le produit en croix est négatif et le coefficient positif. La dixième est 7 : 7 = 7 : 7, dont le coefficient de 1 dit que les deux rapports sont identiques — une proportion peut être trivialement vraie, et elle se résout malgré tout comme les autres. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (2.4 plutôt que 2,4), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

A ÷ B = C ÷ D produit en croix : A × D = B × C terme manquant = (la paire remplie, multipliée) ÷ son partenaire en diagonale

Premier terme (A)
Le premier nombre du rapport de gauche : 3 dans 3 : 4 = 12 : 16. Il peut être laissé vide, et c’est alors le terme que cette page résout — la réponse s’imprime sur la même ligne quelle que soit la case vide. Il peut être négatif, et il ne peut pas être nul.
Deuxième terme (B)
Le second nombre du rapport de gauche : 4 dans la même proportion. En tant que second membre d’un rapport, c’est celui auquel on compare, donc un zéro ici ne décrit rien — un rapport de 3 : 0 n’est pas un rapport. Les valeurs négatives ne posent aucun problème.
Troisième terme (C)
Le premier nombre du rapport de droite : 12 dans l’exemple. Il peut être vide, et il peut être négatif. Zéro est refusé ici aussi, parce que C ÷ D vaudrait alors zéro pour tout D, et aucun D ne rend zéro égal à un rapport non nul.
Quatrième terme (D)
Le second nombre du rapport de droite : 16 dans l’exemple, et la case qui est le plus souvent vide parce que le formulaire fournit les trois premiers. C’est le terme que l’on cherche le plus fréquemment, et il se résout comme les trois autres : multiplier l’autre paire, diviser par le partenaire en diagonale.
Terme manquant
Celui des quatre termes qui a été laissé vide, résolu : 16 pour 3 : 4 = 12 : ?. Il s’imprime sur une seule ligne quelle que soit la case vide, parce qu’une ligne étiquetée d’après une position particulière désignerait la mauvaise case trois fois sur quatre. La réponse n’est jamais nulle : c’est l’un des deux produits divisé par un partenaire non nul.
Produit en croix
Le produit de la paire que vous avez remplie : 48 pour 3 : 4 = 12 : ?, soit 4 × 12. Le produit en croix est l’affirmation que les deux produits sont égaux, donc c’est le nombre présent des deux côtés du signe égal et celui à vérifier à la main. La paire montrée dépend de la case laissée vide, et c’est toujours la paire complète — celle qui n’a pas besoin de la valeur résolue, laquelle est justement une lecture arrondie.
Coefficient d’échelle
C divisé par A : 4 pour 3 : 4 = 12 : 16, parce que le second rapport est le premier avec chaque terme multiplié par quatre. Ce n’est pas la valeur de l’un ou l’autre rapport — ils sont égaux par définition, c’est ce qu’affirme une proportion — c’est le nombre de fois que le second rapport met le premier à l’échelle, et c’est le contrôle à l’œil le plus rapide.

Le premier usage est celui du manuel : trois termes d’une proportion sont connus et le quatrième est cherché, qu’il s’agisse d’un plan à l’échelle, d’une recette, d’un mélange ou d’une conversion à taux fixe. Le deuxième est le contrôle d’une proportion déjà résolue — la ligne du produit en croix est la multiplication que vous feriez à la main, et le coefficient d’échelle en est la version d’un seul coup d’œil. Le troisième est une proportion dont le premier terme est l’inconnue, ce que certains outils ne savent pas exprimer parce qu’ils supposent que la réponse est toujours dans la dernière case ; ici il suffit de laisser la première case vide. Le quatrième est une paire de rapports qui comportent des décimales, comme 1,5 : 4,5 = 2,5 : 7,5, où la réponse est un décimal et où cette page imprime des décimaux plutôt que de transformer le résultat en fraction. Le cinquième est la frontière avec le taux unitaire : 12 : 5 = ? : 1 est la même arithmétique que le calcul du prix d’une unité, et cette page le résout, tandis que la page du taux unitaire est celle qui exige que le second terme vaille exactement 1.

Exemples détaillés

  1. 3 : 4 = 12 : ?

    1. C’est le quatrième terme qui est laissé vide, c’est donc lui que l’on résout
    2. Produit en croix : 3 × D = 4 × 12, soit 3 × D = 48
    3. Diviser les deux membres par 3 : D = 48 ÷ 3 = 16
    4. Contrôle par le coefficient d’échelle : 12 ÷ 3 = 4, et 4 × 4 = 16, donc les deux rapports sont bien les mêmes

    La paire par défaut, et la forme sous laquelle la plupart des gens arrivent : les trois premiers termes donnés et le dernier cherché. Les deux lectures d’appui sont les deux moitiés du contrôle — le produit en croix 48 est le nombre présent des deux côtés de l’équation, et le coefficient 4 est ce par quoi le second rapport multiplie le premier. Remarquez que le terme résolu est celui qui rend les deux rapports égaux à 0,75 : 3 ÷ 4 et 12 ÷ 16. Cette égalité est tout le contenu d’une proportion, et cette page ne fait que la réarranger.

  2. ? : 4 = 12 : 16

    1. C’est le premier terme qui est vide cette fois, et rien d’autre dans la méthode ne change
    2. Produit en croix : A × 16 = 4 × 12, soit A × 16 = 48
    3. Diviser les deux membres par 16 : A = 48 ÷ 16 = 3
    4. Le produit en croix vaut toujours 48, parce qu’il vient de la paire qui a été remplie

    La même proportion avec la réponse dans la première case au lieu de la dernière, et toutes les lectures sont identiques — 3, 48, 4. C’est la question à laquelle la disposition à quatre cases répond et qu’un formulaire à case de sortie fixe ne sait pas poser : l’inconnue est là où vous avez laissé le trou. Il vaut la peine de surveiller le produit en croix ici, parce qu’il vaut 4 × 12 et non A × 16 — la page multiplie la paire que vous avez remplie, pas celle qui se trouve contenir le terme qu’elle vient de résoudre. Si elle avait utilisé la valeur résolue, le lecteur qui contrôle à la main multiplierait par un nombre arrondi.

  3. 3 : ? = 12 : 16

    1. La case vide est la deuxième, et la méthode est encore la même
    2. Produit en croix : 3 × 16 = B × 12, soit 48 = B × 12
    3. Diviser les deux membres par 12 : B = 48 ÷ 12 = 4
    4. Le produit en croix vient de la paire complète cette fois, 3 × 16 = 48

    La case vide passe en deuxième position, et c’est là que les deux paires s’échangent : quand le premier terme manque, la paire complète est B et C ; quand c’est le deuxième qui manque, c’est A et D. Le produit imprimé vaut 48 dans les deux cas ici, mais c’est une coïncidence de ces quatre nombres et non une règle — la règle est que la page multiplie la paire que vous avez remplie, donc le nombre du panneau peut toujours être reproduit à la main à partir de ce que vous avez tapé. Diviser par 12 plutôt que multiplier par 12 est l’étape que l’on fait le plus souvent à l’envers.

  4. 12 : 5 = ? : 1

    1. La case vide est le troisième terme : 12 : 5 doit être égal à C : 1
    2. Produit en croix : 12 × 1 = 5 × C, soit 12 = 5 × C
    3. Diviser les deux membres par 5 : C = 12 ÷ 5 = 2,4
    4. Le coefficient d’échelle vaut 2,4 ÷ 12 = 0,2, en dessous de un parce que le second rapport est plus petit

    La même arithmétique que le calcul du prix d’une seule unité quand cinq unités coûtent douze, et la réponse est un décimal plutôt qu’un nombre entier. Cette page imprime ce décimal et ne le transforme pas en fraction, ce qui est une frontière volontaire : réduire un résultat en fraction irréductible appartient aux pages de fractions, et une proportion dont les termes sont décimaux peut n’avoir aucune fraction commode. Le coefficient d’échelle inférieur à 1 est le signal utile ici — il dit que le second rapport est une fraction du premier, ce qui se lit facilement à tort comme une erreur quand la réponse était censée sortir plus grande.

  5. -3 : 4 = -12 : ?

    1. La case vide est le quatrième terme, et les termes peuvent être négatifs
    2. Produit en croix : -3 × D = 4 × (-12), soit -3 × D = -48
    3. Diviser les deux membres par -3 : D = -48 ÷ -3 = 16
    4. Le produit en croix est négatif et le coefficient d’échelle positif, et les deux sont corrects

    Les termes négatifs sont légaux, parce qu’un rapport peut être négatif et que -0,75 = -0,75 est une proportion vraie. Les deux lectures d’appui pointent ici dans des directions opposées et ce n’est pas une contradiction : le produit en croix -48 est le produit des deux termes d’un côté de l’équation, tandis que le coefficient 4 vaut -12 ÷ -3, et diviser un négatif par un autre donne un positif. C’est le cas à regarder si la page semble un jour rendre un signe au hasard — le signe appartient au produit ou au quotient imprimé, pas à la proportion prise dans son ensemble.

Limites

On laisse exactement une case vide. Remplissez les quatre et la page refuse, même si les quatre nombres forment une proportion correcte comme 3 : 4 = 12 : 16 — sans case vide il n’y a aucun terme à résoudre, et en imprimer un comme réponse reviendrait à ce que la page choisisse à votre place. Cela donne aussi la façon de contrôler une proportion que vous croyez juste : laissez un terme vide et regardez si la valeur résolue est le nombre que vous aviez en tête. Moins de trois cases remplies sont refusées également, puisqu’il n’y a rien à résoudre. Zéro ne peut apparaître dans aucune des quatre cases, et les quatre cas se ramènent à une seule raison : dans A × D = B × C, un terme nul rend soit l’équation insoluble, soit vraie pour toute valeur, donc la page le rejette plutôt que de choisir une réponse. Un zéro en deuxième ou en quatrième terme est le cas le plus net, puisqu’un rapport écrit contre zéro n’est pas un rapport du tout. Les termes négatifs sont légaux et la réponse peut être négative, donc ne lisez pas un signe moins comme une erreur. Les quatre lectures sont arrondies à quatre décimales, ce qui compte quand un terme ne se divise pas rond : 1,5 : 4,5 = 2,5 : 7,5 se résout à 2,5 avec un coefficient d’échelle de 1,6667. Les résultats sont imprimés en décimaux, jamais en fractions — cette page ne réduit rien, et une proportion dont les termes sont décimaux peut n’avoir aucune fraction exacte à réduire. Aucun des quatre termes ne porte d’unité, parce qu’une proportion compare des grandeurs de même nature et qu’y accrocher une dimension écarterait toutes les autres ; si le rapport est un taux avec des unités de chaque côté, c’est la page du taux unitaire qui s’en occupe. La page résout une proportion à la fois et ne propose ni proportions composées ni proportions en chaîne.

Questions fréquentes

Comment résoudre une proportion ?
Par produit en croix, puis une division. Pour 3 : 4 = 12 : ? la formule donne 3 × D = 4 × 12, donc 3 × D = 48 et D = 16. En mots : multipliez la paire que vous avez remplie, puis divisez par le partenaire en diagonale du terme que vous cherchez. Cette seule méthode couvre les quatre positions.
Puis-je résoudre pour le premier terme plutôt que pour le dernier ?
Oui, et pour n’importe lequel des quatre. Laissez vide la case que vous voulez résoudre et remplissez les trois autres — il n’y a ni mode séparé ni menu demandant de quel terme il s’agit. Pour ? : 4 = 12 : 16 la réponse est 3, et le panneau a la même allure que lorsque la case vide est à la fin.
Que se passe-t-il si je remplis les quatre termes ?
La page refuse, même quand les quatre nombres forment une proportion correcte. Sans case vide il n’y a aucun terme à résoudre, et en imprimer un reviendrait à ce que la page choisisse pour vous. Si vous voulez contrôler une proportion que vous croyez juste, laissez un terme vide et regardez si la valeur résolue correspond au nombre que vous aviez en tête.
Les termes peuvent-ils être négatifs ou nuls ?
Les termes négatifs ne posent aucun problème : -3 : 4 = -12 : 16 est une proportion vraie. Zéro est refusé dans chacune des quatre cases. Dans A × D = B × C, un terme nul rend soit l’équation insoluble, soit vraie pour toute valeur, et un rapport comme 3 : 0 n’est pas un rapport du tout. Le terme résolu lui-même n’est jamais nul.
Que montre la ligne du produit en croix ?
Le produit de la paire que vous avez remplie — 48 pour 3 : 4 = 12 : ?, soit 4 × 12. Le produit en croix d’une proportion affirme que les deux produits sont égaux, donc c’est le nombre qui se trouve des deux côtés du signe égal et celui qu’il vaut la peine de vérifier à la main. La paire imprimée dépend de la case laissée vide, de sorte qu’elle est toujours multipliable à partir de ce que vous avez tapé.
Que signifie le coefficient d’échelle ?
Le nombre de fois que le second rapport met le premier à l’échelle : 4 pour 3 : 4 = 12 : 16, puisque 12 vaut 3 × 4 et 16 vaut 4 × 4. Ce n’est pas la valeur du rapport lui-même — les deux rapports sont égaux par définition, c’est ce qu’affirme une proportion. C’est le contrôle d’un coup d’œil le plus rapide pour vérifier que la réponse a la bonne taille.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de rapport d’aspectAdapte un rapport d’aspect à une nouvelle largeur.Calculatrice de rapportSimplifie un rapport et donne sa forme pour 1 et le décimal.Calculatrice de prix unitairePrix et taux unitaires à partir d’une quantité et d’un coût.Calculatrice du nombre d’orPartage un segment selon le nombre d’or, grand et petit.