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CalcMax

Calculatrice de rapport

Résultat

3 : 2

Rapport simplifié

En décimal
1,5000
Avec le premier terme égal à 1
1 : 0.6667

Une calculatrice de rapport simplifie un rapport en ses termes les plus petits, puis relit la même paire de deux autres façons. Donnez-lui 6 : 4 et les deux termes se divisent par deux, donc le rapport irréductible est 3 : 2 ; la même paire vaut 1,5 quand on divise le premier terme par le second, et 1 : 0,6667 quand on retourne le rapport et qu’on l’écrit avec le premier terme ramené à 1. Ces trois lectures ne sont pas trois réponses à trois questions. Un rapport est une paire de nombres et non une division isolée, donc 6 : 4, 3 : 2 et 1,5 décrivent tous une seule relation, et la raison d’en imprimer plus d’une est que des usages différents réclament des écritures différentes. Une recette, un plan à l’échelle ou un train d’engrenages ne peuvent s’écrire qu’en nombres entiers, et c’est à cela que sert la forme irréductible. Une pente ou un taux qui va être multiplié réclame le décimal. Et une phrase qui explique un rapport à quelqu’un réclame en général la forme pour un, parce que « pour une unité du premier terme, il y a 0,6667 du second » se traduit en actes plus facilement qu’une paire brute. Les termes qui ne sont pas des nombres entiers sont traités plutôt que refusés. Les deux termes sont mis à l’échelle par la même puissance de dix jusqu’à devenir entiers, et c’est seulement ensuite que le facteur commun est supprimé : 2,5 : 5 devient 25 : 50 puis 1 : 2. Les rapports équivalents sont donc reconnus comme tels, et une paire chargée en décimales comme 0,5 : 2 revient sous la forme propre 1 : 4. Le panneau n’imprime pas toujours les termes dans l’ordre où ils sont arrivés, non plus. Quand un signe est en jeu, les deux termes sont multipliés par le même nombre jusqu’à ce que le signe se trouve sur le premier, donc 3 : -4 s’imprime -3 : 4 — le même rapport, écrit comme le reste du site l’écrit.

Des rapports courants, simplifiés et lus

RapportRapport irréductibleDécimal
2 : 41 : 20.5
3 : 121 : 40.25
6 : 43 : 21.5
12 : 182 : 30.6667
8 : 122 : 30.6667
9 : 123 : 40.75
7 : 71 : 11
5 : 25 : 22.5
100 : 254 : 14
0.5 : 21 : 40.25
2.5 : 51 : 20.5
1 : 31 : 30.3333

Chaque ligne est un rapport tel qu’on pourrait l’écrire, la même paire en termes plus petits, et le premier terme divisé par le second. Lisez en travers et les trois colonnes s’accordent : 6 : 4 et 3 : 2 sont la même relation et valent l’un et l’autre 1,5, ce qui est tout l’intérêt de simplifier. Deux lignes méritent d’être connues par cœur parce que ce sont celles que l’on rate. La paire de lignes 12 : 18 et 8 : 12 se simplifient toutes deux en 2 : 3 — des paires différentes, le même rapport — et 7 : 7 se simplifie en 1 : 1, qui est le rapport de deux quantités égales et la seule ligne où les trois colonnes disent la même chose. Les deux dernières lignes portent une virgule dans la paire d’origine, et elles sont là pour montrer que cela ne change rien à la réponse : 2,5 : 5 se simplifie en 1 : 2, exactement comme le ferait 25 : 50. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (1.5 plutôt que 1,5), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

Rapport irréductible = les deux termes ÷ leur plus grand commun diviseur 6 : 4 → 3 : 2 Décimal = premier ÷ second → 1,5 Pour un = 1 : second ÷ premier → 1 : 0,6667

Premier terme
Le nombre avant les deux-points. C’est le terme qui est divisé par le second pour donner la lecture décimale, et c’est lui qui porte le signe.
Second terme
Le nombre après les deux-points. Il ne peut pas être nul : un rapport dont la seconde position ne contient rien n’est pas une comparaison, et la lecture décimale serait une division par zéro.
Rapport irréductible
La même paire une fois le plus grand commun diviseur des deux termes supprimé, de sorte que les termes soient premiers entre eux. C’est la forme à utiliser là où seuls des nombres entiers peuvent s’écrire, et elle est exacte : 12,3457 : 1 revient sous la forme 123 457 : 10 000 plutôt qu’en décimal arrondi.
Décimal
Le premier terme divisé par le second, qui est le quotient que le rapport représente. 1,5 veut dire que le premier terme vaut une fois et demie le second. Il est imprimé à quatre décimales, donc un rapport comme 1 : 3 affiche 0,3333.
Pour un
Le second terme divisé par le premier, écrit sous la forme 1 : ce chiffre. Il répond à la question de savoir combien il y a du second pour chaque unité du premier, et il exige que le premier terme soit non nul. Imprimé lui aussi à quatre décimales.

Trois usages, et le premier est celui qui demande une explication : simplifier un rapport, c’est le mettre sous la forme avec laquelle une échelle ou une recette peut réellement se construire, parce que 6 : 4 est une paire de nombres tandis que 3 : 2 est une recette. Le deuxième est l’arithmétique qui suit le rapport : passer un rapport en écriture décimale en fait un nombre qui peut être multiplié, comparé ou tracé, ce qui arrive à une pente, à un taux ou à une cote avant qu’ils n’aillent ailleurs. Le troisième est l’explication d’un rapport en mots, où c’est la lecture pour un qui travaille, puisque « pour une unité du premier terme, il y a 0,6667 du second » est une phrase sur laquelle on peut agir. Les trois viennent de la même paire, et aucune n’est plus juste que les autres : c’est la même relation écrite pour trois sortes de lecteurs.

Exemples détaillés

  1. 6 : 4

    1. Diviseur commun : 6 et 4 se divisent tous deux par 2
    2. Simplifier : 6 ÷ 2 = 3 et 4 ÷ 2 = 2, donc 3 : 2
    3. Décimal : 6 ÷ 4 = 1,5
    4. Pour un : 4 ÷ 6 = 0,6667 à quatre décimales

    Le cas par défaut. Les deux termes étaient déjà des nombres entiers, donc la simplification tient en une seule division par deux, et c’est la lecture pour un qui laisse voir l’arrondi.

  2. 2,5 : 5, avec un terme décimal

    1. Mettre les deux termes à l’échelle par dix : 25 : 50
    2. Simplifier : 25 ÷ 25 = 1 et 50 ÷ 25 = 2, donc 1 : 2
    3. Décimal : 2,5 ÷ 5 = 0,5
    4. Pour un : 5 ÷ 2,5 = 2

    Un terme qui porte une virgule se traite en multipliant d’abord les deux termes par dix, ce qui laisse le rapport inchangé. Sauter cette étape et simplifier quand même laisserait un terme qui n’est toujours pas un nombre entier.

  3. 3 : 4, déjà sous sa forme la plus simple

    1. Diviseur commun : 3 et 4 n’en ont aucun au-dessus de 1
    2. Simplifier : la paire est déjà 3 : 4
    3. Décimal : 3 ÷ 4 = 0,75
    4. Pour un : 4 ÷ 3 = 1,3333 à quatre décimales

    Le panneau réimprime la même paire quand il n’y a rien à supprimer, ce qui est la bonne réponse et non le signe que rien ne s’est passé. La lecture pour un est toujours là, et elle n’est pas un nombre entier.

  4. 3 : -4, où le signe se déplace

    1. Les deux termes sont multipliés par -1 : -3 : 4
    2. Rien d’autre ne se supprime, donc le rapport irréductible est -3 : 4
    3. Décimal : -3 ÷ 4 = -0,75, la même chose que 3 ÷ -4
    4. Pour un : 4 ÷ -3 = -1,3333

    Le rapport ne change pas quand on multiplie les deux termes par le même nombre, donc -3 : 4 et 3 : -4 sont la même relation et le panneau imprime la première. Toutes les lectures le confirment : le décimal vaut -0,75 dans les deux cas.

Limites

Les lectures décimale et pour un sont imprimées à quatre décimales, donc un rapport qui ne se divise pas rond y est arrondi : 1 : 3 affiche 0,3333 plutôt qu’un tiers, et la valeur exacte est un décimal répétitif que seule une fraction sait écrire. Le rapport irréductible, lui, n’est ni arrondi ni approché : 12,3457 : 1 revient sous la forme 123 457 : 10 000, qui est la paire exacte et non un décimal déguisé. Un second terme nul est refusé, parce que a : 0 n’est pas une comparaison et que la lecture décimale serait une division par zéro. Un premier terme nul est refusé lui aussi, alors même que 0 : 5 se simplifierait sans doute en 0 : 1 — la lecture pour un a besoin de diviser par le premier terme, et imprimer les deux tiers d’un panneau serait pire que de le dire. Le signe est toujours imprimé sur le premier terme, donc un terme saisi 3 : -4 revient en -3 : 4 ; le rapport est le même, et un chiffre recopié du panneau peut sembler différent de celui qui a été tapé. Les très grands nombres sont refusés plutôt qu’approchés : la simplification se fait en nombres entiers, et au-delà du point où les nombres entiers cessent d’être exacts le facteur commun serait calculé à partir de bruit. Cette page simplifie un rapport, le lit de deux façons et s’arrête là. Remplir le terme manquant d’une proportion, partager une quantité dans un rapport donné et établir un rapport entre des grandeurs à unités sont trois calculs différents.

Questions fréquentes

Comment simplifier un rapport ?
Trouvez le plus grand nombre qui divise les deux termes et divisez chaque terme par lui. Dans 6 : 4, ce nombre est 2, ce qui donne 3 : 2. Quand les termes ne sont pas des nombres entiers, multipliez les deux par dix autant de fois qu’il le faut pour qu’ils le deviennent, et supprimez le facteur commun après cela.
Que signifie la lecture décimale ?
C’est le premier terme divisé par le second, qui est le quotient que le rapport représente : 3 : 2 vaut 1,5, ce qui veut dire que le premier terme vaut une fois et demie le second. C’est la lecture à emporter dans l’arithmétique, puisqu’une pente ou un taux doit être un nombre avant de pouvoir être multiplié.
Que signifie la lecture pour un ?
Elle réécrit le rapport avec le premier terme ramené à 1 : le second terme divisé par le premier, imprimé sous la forme 1 : ce chiffre. Pour 6 : 4, c’est 1 : 0,6667, ce qui se lit « pour une unité du premier terme, il y a 0,6667 du second ». C’est la lecture à dire à voix haute.
Un rapport peut-il contenir une décimale ?
Oui. 2,5 : 5 est un rapport parfaitement valable, et il se simplifie en 1 : 2 en multipliant les deux termes par dix puis en supprimant le facteur commun. Multiplier les deux termes par le même nombre ne change jamais le rapport, et c’est ce qui rend cette étape sûre.
Pourquoi le panneau réimprime-t-il parfois le même rapport ?
Parce que la paire était déjà irréductible. 3 : 4 n’a aucun diviseur commun au-dessus de 1, donc la simplification n’a rien à faire ; le panneau imprime 3 : 4 parce que c’est la réponse, et les deux autres lectures changent malgré tout.
Pourquoi 3 : -4 s’affiche-t-il -3 : 4 ?
Parce que multiplier les deux termes par le même nombre laisse le rapport inchangé, et que le site écrit toujours le signe sur le premier terme. Les deux formes sont la même relation, et toutes les lectures le confirment : le décimal vaut -0,75 dans un cas comme dans l’autre.
Que se passe-t-il si l’un des termes est nul ?
Un second terme nul est refusé, parce que a : 0 n’est pas une comparaison et que la lecture décimale diviserait par zéro. Un premier terme nul est refusé lui aussi : le rapport en lui-même pourrait se simplifier, mais la lecture pour un divise par le premier terme et n’a aucune réponse à donner.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de rapport d’aspectAdapte un rapport d’aspect à une nouvelle largeur.Calculatrice de proportionRésout une proportion et trouve le terme manquant.Calculatrice de décimal en fractionConvertit un décimal en fraction irréductible.Calculatrice de pourcentageCalcule la part d’un nombre dans un autre, en pourcentage.