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CalcMax

Calculatrice de décimal en fraction

Résultat

3/8

Fraction irréductible

Avant simplification
375/1000
En pourcentage (%)
37,5000 %

Une calculatrice de décimal en fraction transforme un nombre écrit avec une virgule en une fraction écrite avec un numérateur et un dénominateur : 0,375 devient 3/8. Deux fractions reviennent pour chaque saisie. La première est la fraction irréductible, c’est-à-dire la forme obtenue après division des deux termes par leur plus grand commun diviseur, si bien que 0,5 donne 1/2 et non 5/10. La seconde est la fraction avant toute simplification, et c’est l’étape que la plupart des convertisseurs cachent : 0,375 sur un dénominateur de 1 000 donne 375/1 000, et c’est en divisant les deux termes par 125 qu’on arrive à 3/8. Montrer cette forme intermédiaire, c’est la différence entre une page qui répond à la question et une page qui expose la méthode, parce que la fraction non réduite est celle qu’on peut reconstruire à partir des chiffres saisis : les décimales deviennent les zéros du dénominateur et les chiffres deviennent le numérateur. Le même nombre est aussi donné en pourcentage, puisque la conversion y est un déplacement de la virgule plutôt qu’un second calcul : 0,375 vaut 37,5 pour cent. La règle sur laquelle repose toute la page est la définition de la fraction décimale : une fraction dont le dénominateur est une puissance de dix. 0,375 vaut 375 ÷ 1 000, ce qui explique pourquoi trois décimales veulent dire trois zéros, et 0,0625 vaut 625 ÷ 10 000 pour la même raison. Tout le reste est de la simplification. Quatre points méritent d’être connus avant de s’appuyer sur la page. Elle convertit le nombre décimal réellement saisi et non la fraction qu’on avait peut-être en tête : 0,3333 donne 3 333/10 000 et non 1/3, parce que 1/3 n’a pas d’écriture décimale exacte et que la page n’a aucun moyen de deviner qu’un décimal tronqué devait représenter un décimal périodique. Elle lit au plus douze décimales, donc une valeur inférieure à 0,000000000001 est arrondie à zéro et revient sous la forme 0 plutôt que sous celle d’une fraction : les chiffres ont disparu avant même que la conversion commence. Elle affiche au plus huit chiffres significatifs dans la sortie en pourcentage, si bien qu’un très petit décimal ne se lit comme un petit pourcentage et non comme zéro qu’aussi longtemps qu’il reste au-dessus de ce seuil. Et avec une entrée qui comporte beaucoup de chiffres avant la virgule, le numérateur peut dépasser l’intervalle dans lequel les entiers sont exacts, auquel cas la fraction irréductible est aussi précise que le nombre saisi et pas davantage : elle n’affichera pas une fraction qui revendique plus de précision que son entrée, mais elle ne peut pas non plus en produire une qui en ait plus.

Les décimaux qui s’arrêtent, et les fractions derrière eux

DécimalFraction irréductiblePourcentage (%)
0.06251/166.25
0.1251/812.5
0.21/520
0.251/425
0.3753/837.5
0.51/250
0.6255/862.5
0.753/475
0.84/580
0.8757/887.5

Dix décimaux, dont chacun a une fraction exacte et dont chacun correspond à une valeur qu’on mesure vraiment : les huitièmes et les seizièmes de pouce, les cinquièmes et les quarts de tasse, les moitiés d’unité. Lisez la colonne des dénominateurs de haut en bas — 16, 8, 5, 4, 8, 2, 8, 4, 5, 8 — et remarquez qu’ils sont tous faits de deux et de cinq uniquement, ce qui explique pourquoi chacun de ces décimaux s’arrête. Les deux colonnes de droite sont le même nombre écrit de trois façons, si bien qu’une ligne se lit dans les deux sens : 0,375 vaut 3/8 et 37,5 pour cent, et 5/8 vaut 0,625 et 62,5 pour cent. 3/8 et 5/8 sont les deux lignes à connaître par cœur, parce que ce sont les deux décimaux d’un mètre ruban qu’on a le plus souvent besoin de convertir sans outil. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.0625 plutôt que 0,0625), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

n décimales → numérateur = les chiffres, dénominateur = 10ⁿ Puis diviser les deux termes par leur plus grand commun diviseur

Décimal
Le nombre à convertir, lu jusqu’à douze décimales. Les zéros finaux ne le changent pas, et une valeur inférieure à 0,000000000001 s’arrondit à néant avant que la conversion commence
Nombre de décimales
Combien de chiffres se trouvent à droite de la virgule : trois pour 0,375, quatre pour 0,0625, aucune pour 2. C’est ce compte qui fixe le dénominateur, sous la forme d’autant de zéros après un un
Numérateur avant réduction
Les chiffres du décimal lus comme un nombre entier, virgule retirée : 375 pour 0,375 et 625 pour 0,0625. C’est le haut de la fraction qui montre encore d’où vient le nombre
Dénominateur avant réduction
Une puissance de dix — 1 000 pour trois décimales, 10 000 pour quatre. C’est ce dénominateur qui fait de la fraction une fraction décimale exacte plutôt qu’une approximation
Plus grand commun diviseur
Le plus grand nombre qui divise les deux termes, et la seule chose qui sépare la fraction non réduite de la réponse : 375 et 1 000 ont 125 en commun, on divise donc les deux par lui pour arriver à 3 et à 8

Quatre situations mènent ici, et elles demandent des niveaux de confiance légèrement différents. Relire un décimal sous forme de fraction pour une recette, un mètre ruban ou un diamètre de foret, où les décimales qui comptent sont celles dont le développement s’arrête — 0,375 vaut trois huitièmes et 0,0625 un seizième, et ces conversions sont exactes. Vérifier une fraction qu’on a déjà en faisant le chemin inverse, et c’est là que la sortie non réduite gagne sa place : saisir 0,75 et voir 75/100 confirme que le décimal vaut trois quarts une fois 25 retiré des deux termes. Transformer un décimal en rapport à afficher, où la forme irréductible est ce qui part à l’écran et où le pourcentage est un bonus. Et le cas où cette page n’est pas le bon outil, qu’il vaut mieux reconnaître avant d’y perdre du temps : convertir un décimal périodique. Si ce que vous avez est 0,3333 et non 1/3, la réponse est 3 333/10 000 — une affirmation juste sur les chiffres devant vous et un bien mauvais substitut du nombre que vous aviez en tête. Passer d’un décimal périodique à sa fraction exacte est un autre problème, avec une autre méthode, et un décimal qui s’arrête après douze décimales a déjà jeté la preuve qui permettrait de le résoudre.

Exemples détaillés

  1. 0,375 en fraction

    1. Compter les décimales : 0,375 en a trois
    2. Dénominateur : trois décimales veulent dire 1 000, le nombre s’écrit donc 375/1 000
    3. Plus grand commun diviseur de 375 et de 1 000 : 125
    4. Diviser les deux termes par 125 : 375 ÷ 125 = 3 et 1 000 ÷ 125 = 8
    5. La fraction irréductible est 3/8, et le même décimal vaut 37,5 pour cent

    Le cas par défaut, et celui qui montre les deux sorties à l’œuvre dans des rôles différents. 375/1 000 dit d’où vient le nombre et énonce clairement que trois décimales veulent dire trois zéros ; 3/8 est la réponse, et c’est la forme qui continue de servir — trois huitièmes de tasse, trois huitièmes de pouce sur un mètre ruban. À noter que 3/8 est exact : 0,375 s’arrête après trois décimales, ce qui est la marque d’un décimal ayant derrière lui une fraction exacte.

  2. 1/16 en décimal, et retour

    1. Compter les décimales : 0,0625 en a quatre
    2. Dénominateur : quatre décimales veulent dire dix mille, le nombre s’écrit donc 625/10 000
    3. Le dénominateur se réduit complètement : dix mille ÷ 625 = 16
    4. La fraction irréductible est 1/16, et le décimal vaut 6,25 pour cent

    Un seizième, et c’est ici que la sortie non réduite devient intéressante : 625/10 000 se réduit jusqu’à 1/16 parce que dix mille vaut 16 × 625. C’est la forme de tout décimal qui s’arrête — le dénominateur de la fraction irréductible divise une puissance de dix, ce qui revient à dire qu’il n’a pas d’autre facteur premier que deux et cinq. C’est pourquoi 1/16 et 3/8 se convertissent exactement et pourquoi 1/3 et 1/7 n’y arriveront jamais.

  3. 2,5 en fraction impropre

    1. Retirer la virgule et lire les chiffres : 25
    2. Compter les décimales : une seule, le dénominateur est donc 10
    3. Diviser les deux termes par 5 : 25 ÷ 5 = 5 et 10 ÷ 5 = 2
    4. La fraction irréductible est 5/2, soit 2,5, et 250 pour cent

    Une valeur supérieure à un, donnée sous forme de fraction impropre plutôt que de nombre fractionnaire : 5/2 et non 2 1/2. Les deux écritures désignent le même nombre et l’impropre est la meilleure entrée pour la suite des calculs — une multiplication de fractions ne veut pas d’un entier posé à côté d’elle. La relire, 5 ÷ 2 = 2,5, est justement l’opération que fait la page suivante de ce groupe.

  4. Ce que devient 0,333333333333333

    1. Compter les décimales : quinze chiffres sont saisis, douze sont lus
    2. Dénominateur : douze décimales veulent dire une puissance de dix à treize chiffres
    3. Numérateur : les douze chiffres qui ont survécu, tous des trois
    4. Rien ne se simplifie — aucun facteur n’est commun avec une puissance de dix — les deux écritures sont donc la même fraction
    5. En pourcentage, cela donne 33,3333

    Le cas qui sépare cette page de ce qu’un lecteur espère souvent. Quinze trois forment 1/3 arrondi à quinze décimales, et la page convertit les chiffres qu’on lui a donnés et non le nombre qu’ils approchent : la réponse est donc une fraction de douze chiffres sur une puissance de dix, et non 1/3. Cette fraction est honnête — c’est exactement le décimal qui a été saisi — et ce n’est pas ce que cherche quelqu’un qui convertit un décimal périodique. La sortie non réduite est ici égale à la réduite parce qu’aucune simplification n’est possible : un dénominateur en puissance de dix ne partage aucun facteur avec un numérateur fait de trois.

Limites

Elle convertit le décimal que vous avez saisi, pas la fraction que vous vouliez. Tout décimal qu’on peut écrire a une fraction exacte, et la page la trouvera, ce qui veut dire qu’une approximation tronquée d’un décimal périodique se convertit en une fraction de puissance de dix plutôt qu’en la fraction simple d’origine — 0,3333 devient 3 333/10 000, et retrouver 1/3 suppose de savoir dès le départ qu’il s’agissait de 1/3. La page lit au plus douze décimales : une valeur inférieure à 0,000000000001 est arrondie à zéro avant que la conversion commence et revient sous la forme 0, avec une forme en pourcentage réduite à un nombre tout aussi minuscule, si bien qu’un nombre aussi petit perd entièrement sa fraction au lieu d’être approché. Les entrées comportant beaucoup de chiffres avant la virgule sont limitées par la précision de l’arithmétique à virgule flottante ordinaire — au-delà d’une quinzaine de chiffres significatifs, le numérateur cesse d’être exact, et la fraction renvoyée est aussi précise que le nombre saisi et pas davantage ; elle n’exagérera pas la précision en silence, mais elle ne peut pas non plus récupérer des chiffres qui n’ont jamais existé. Les fractions sont données sous forme de fractions impropres plutôt que de nombres fractionnaires, donc 2,5 donne 5/2 et non 2 1/2, et un nombre entier donne une fraction sur un qui est ensuite ramenée à l’entier lui-même — 1 revient sous la forme 1. Les entrées négatives gardent leur signe sur le numérateur : moins 0,375 vaut moins 3/8. La page ne fait aucun calcul au-delà de la conversion : elle n’additionne, ne compare et ne simplifie pas une fraction que vous avez déjà, et elle ne vérifie pas si la fraction produite est dans la forme attendue par sa destination. Et ce n’est pas un outil d’arrondi : rien ici ne décide combien de décimales votre nombre aurait dû avoir. Une dernière précision sur l’écriture des nombres : la virgule est ici le séparateur décimal, comme dans l’usage français, alors que les pages anglaises du même outil emploient le point.

Questions fréquentes

Comment convertir un décimal en fraction ?
Comptez les décimales, retirez la virgule et placez les chiffres sur un un suivi d’autant de zéros : 0,375 a trois décimales, c’est donc 375/1 000. Divisez ensuite les deux termes par leur plus grand commun diviseur — 125 ici — pour obtenir 3/8. Le comptage des décimales est toute la méthode ; ce qui suit est une simplification qu’une page fait plus vite qu’une personne.
Pourquoi 0,3333 donne-t-il 3 333/10 000 et non 1/3 ?
Parce que 0,3333 n’est pas 1/3 : c’est 1/3 coupé après quatre décimales, et 3 333/10 000 est exactement ce que disent ces quatre chiffres. La page convertit le nombre devant elle et n’a aucun moyen de savoir qu’un décimal périodique était visé ; l’écart entre les deux vaut 0,0000333, petit mais réel. Pour obtenir 1/3 à partir d’un décimal périodique, il faut la partie qui se répète, et c’est un autre calcul avec une autre méthode.
À quoi sert la fraction non réduite ?
À montrer d’où vient la fraction. 375/1 000 dit que le nombre avait trois décimales et que les chiffres étaient 375, ce qui permet de vérifier la conversion à l’œil ; 3/8 dit quelle est la réponse. Le couple expose aussi l’étape de simplification, si bien que la page sert d’exemple travaillé de réduction et pas seulement de convertisseur. Quand aucune simplification n’est possible — avec un numérateur fait de trois, par exemple — les deux écritures sont identiques et la page affiche deux fois la même fraction.
Quels décimaux se convertissent en fractions exactes ?
Ceux qui s’arrêtent. Un décimal ayant un nombre fini de décimales est une fraction sur une puissance de dix, la conversion est donc exacte par construction, et le dénominateur réduit ne peut être fait que de deux et de cinq — 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, etc. Tout le reste, comme un tiers ou un septième, a un développement décimal qui ne finit jamais, et aucun nombre fini de chiffres ne peut le représenter exactement. La page convertira quand même les chiffres que vous lui donnez, et la fraction renvoyée sera une fraction de puissance de dix plutôt que la fraction simple qui se cache derrière.
Que devient un très petit décimal ?
En dessous de douze décimales, il s’arrondit à zéro. La page lit au plus douze décimales, donc 0,0000000000001 — treize décimales — devient 0 et revient sous la forme de la fraction 0 plutôt que d’une fraction au dénominateur de treize chiffres. Douze décimales est un plafond délibéré : cela couvre tous les décimaux qu’on écrit dans un travail ordinaire, et cela garde le numérateur et le dénominateur dans l’intervalle où les entiers sont exacts.
Pourquoi 2,5 s’affiche-t-il 5/2 et non 2 1/2 ?
Parce que la fraction impropre est la forme qui continue de servir. La valeur est la même dans les deux cas, et 5/2 est ce qu’il faut si l’étape suivante est une multiplication ou une division par une autre fraction, puisqu’un nombre fractionnaire doit être reconverti en fraction impropre avant de pouvoir être utilisé. La relire est une division — 5 ÷ 2 = 2,5 — et la page qui effectue cette division est la suivante de ce groupe.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de fraction en décimalConvertit une fraction en décimal, exact ou arrondi.Calculatrice de décimal en pourcentageConvertit un décimal en pourcentage avec le calcul.Calculatrice de fractionsAdditionne, soustrait, multiplie et divise des fractions.Calculatrice de pourcentage en fractionConvertit un pourcentage en fraction irréductible.