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CalcMax

Calculatrice de fraction en décimal

Intervalle : 1 – 100 000

Résultat

0,375000

En décimal

Fraction irréductible
3/8
Chiffres de la période (0 = décimal fini)
0

Une calculatrice de fraction en décimal divise le numérateur par le dénominateur et donne trois choses : le quotient en décimal, la fraction elle-même réduite à sa forme irréductible, et la longueur du cycle de répétition dans le développement décimal. Trois huitièmes valent 0,375 et leur décimal s’arrête, donc la longueur du cycle est zéro. Un tiers vaut 0,333333 à l’écran et son décimal ne s’arrête jamais, donc la longueur du cycle est un — un seul chiffre se répète indéfiniment. C’est ce troisième nombre qui sépare cette page d’une simple division. Toute fraction a un développement décimal, et ce développement tombe dans exactement deux catégories : il s’arrête après un nombre fini de chiffres, ou il continue indéfiniment avec un bloc de chiffres qui se répète. Il n’existe pas de troisième possibilité, et c’est le dénominateur qui décide de la catégorie avant même que la division commence. Réduisez d’abord la fraction — la page s’en charge, donc deux quarts sont donnés comme un demi — puis regardez de quoi le dénominateur réduit est fait. Si ses seuls facteurs premiers sont des deux et des cinq, le décimal s’arrête, et le nombre de rangs est celui du plus long des deux paquets de facteurs. Si le dénominateur contient un autre facteur premier, le décimal se répète, et il se répète indéfiniment. La longueur du cycle est alors une propriété de ce seul dénominateur, ce qui explique qu’elle vaille la peine d’être affichée : un septième se répète tous les six chiffres, un quatre-vingt-dix-septième tous les quatre-vingt-seize, et la fraction vingt-deux septièmes — une très bonne approximation de pi — se répète elle aussi tous les six, parce que sept est le dénominateur en dessous. Lire les sorties dans l’autre ordre vaut la peine une fois. La fraction réduite vous dit si le décimal s’arrêtera ; le décimal vous dit ce qu’il vaut sur six rangs ; la longueur du cycle vous dit quelle part vous n’en voyez pas. Quand cette troisième sortie vaut zéro, les six chiffres sont la réponse entière et rien n’a été perdu. Quand elle ne vaut pas zéro, les six chiffres sont une vue arrondie d’un développement sans fin — un tiers s’affiche 0,333333, qui n’est pas un tiers mais un tiers arrondi au sixième rang, et l’écart vaut 0,000000333 et ne disparaît pas. Deux entrées sont refusées. Un dénominateur nul n’a pas de réponse, et un numérateur qui n’est pas un nombre entier est refusé plutôt que converti, puisqu’un nombre fractionnaire doit être transformé en fraction impropre avant de pouvoir être divisé par quoi que ce soit.

Un sur chaque dénominateur, de deux à douze

DénominateurDécimalPériode de répétition
20.50
30.3333331
40.250
50.20
60.1666671
70.1428576
80.1250
90.1111111
100.10
110.0909092
120.0833331

Onze fractions unitaires, et les deux colonnes qui comptent sont la première et la dernière — le dénominateur et la longueur de son cycle, avec le décimal entre les deux comme la chose qu’on irait chercher ailleurs. Lisez la colonne des périodes de haut en bas et le motif est toute la théorie de cette page : 2, 4, 5, 8 et 10 donnent zéro parce que ces nombres ne sont faits que de deux et de cinq ; 3, 6, 9 et 12 donnent 1 parce qu’un seul trois se cache dans chacun d’eux ; 11 donne 2, son propre cycle court ; et 7 donne 6, le plus long du tableau. Lisez la colonne des décimaux à côté d’une période non nulle et le point devient concret : les tiers, les sixièmes, les douzièmes et les neuvièmes s’affichent tous en valeurs approchées — 0,333333, 0,166667, 0,083333 — tandis que les lignes qui s’arrêtent s’affichent exactement. La septième ligne mérite un second regard, parce que 0,142857 est le même bloc de six chiffres que celui qui apparaît dans vingt-deux septièmes, et c’est la raison pour laquelle cette fraction est une si bonne approximation de pi. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.333333 plutôt que 0,333333), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

Décimal = numérateur ÷ dénominateur Fraction réduite = numérateur/dénominateur après simplification par le plus grand commun diviseur Période de répétition = la longueur du bloc de chiffres qui se répète (0 si le décimal s’arrête)

Numérateur
Le haut de la fraction, un nombre entier. Il peut être négatif ou nul ; un numérateur nul donne un décimal nul, et une fraction dont le numérateur dépasse le dénominateur donne un décimal supérieur à un
Dénominateur
Le bas de la fraction, un nombre entier jusqu’à cent mille et non nul. C’est le champ qui décide si le décimal s’arrête ou se répète, et, s’il se répète, de la longueur du cycle — un fait qui tient au seul dénominateur
Décimal
Le numérateur divisé par le dénominateur, affiché sur six rangs. Quand le décimal s’arrête, ces six rangs contiennent toute la réponse avec des zéros ensuite ; quand il se répète, ce sont le développement arrondi au sixième rang, et non une forme tronquée ou exacte de celui-ci
Fraction réduite
La fraction sous sa forme irréductible, qui est la forme dans laquelle son comportement de répétition doit être jugé : 2/4 est donné comme 1/2, et c’est le 2 de ce dénominateur qui décide que le décimal s’arrête, non le 4 que vous avez saisi
Période de répétition
La longueur en chiffres du bloc qui se répète, ou zéro si le décimal s’arrête. Un tiers donne 1, un septième donne 6, un quatre-vingt-dix-septième donne 96 — et ce nombre ne dépend que du dénominateur réduit, donc toute fraction ayant quatre-vingt-dix-sept en dessous a un cycle de quatre-vingt-seize, quel que soit son numérateur

Trois usages, par ordre croissant de l’aide qu’apporte la troisième sortie. Convertir une fraction en décimal pour une mesure ou pour un tableur est le plus simple : trois huitièmes valent 0,375, un demi vaut 0,5, et les quatre fractions à petit dénominateur méritent d’être sues par cœur. Vérifier si une fraction se convertira exactement est le deuxième, et c’est la question qui compte quand le résultat doit tenir dans un nombre fixe de décimales — un dénominateur fait uniquement de deux et de cinq se convertit proprement, et un dénominateur contenant un sept ou un trois n’y arrivera jamais, quel que soit le nombre de rangs qu’on s’autorise. Estimer la précision à laquelle on renonce est le troisième : une fraction dont le cycle fait un ou deux chiffres est bien représentée par six décimales, tandis qu’une fraction dont le cycle en fait quatre-vingt-seize ne l’est pas — un quatre-vingt-dix-septième s’affiche 0,010309, et les six chiffres suivants du vrai développement sont des chiffres entièrement différents, ce qu’il vaut mieux savoir avant d’employer ce nombre dans un calcul. Deux cas sortent de ce que fait la page. Reconvertir un décimal périodique en sa fraction exacte est le sens inverse et un problème distinct, et un décimal affiché sur six rangs a jeté la structure répétitive qui permettrait de le résoudre. Et les nombres fractionnaires ne sont pas acceptés en entrée : deux et un quart se saisit 9/4, parce que la division a besoin d’un seul numérateur et d’un seul dénominateur.

Exemples détaillés

  1. Trois huitièmes — un décimal qui s’arrête

    1. Diviser le numérateur par le dénominateur : 3 ÷ 8 = 0,375
    2. La division tombe juste, la période de répétition vaut donc 0
    3. La fraction est déjà sous forme irréductible, elle est donc donnée telle quelle, 3/8

    Le cas par défaut et le genre facile : huit n’est fait que de deux, donc le décimal s’arrête et les six rangs de l’affichage contiennent toute la réponse, suivie de zéros. La période nulle est ce qui le dit — un zéro ici signifie que rien n’a été arrondi et que rien n’a été jeté, ce qui en fait la première chose à regarder quand l’exactitude d’un décimal importe.

  2. Un tiers — un décimal qui ne s’arrête jamais

    1. Diviser : 1 ÷ 3 = 0,333333…
    2. Trois n’est pas fait de deux et de cinq, le développement ne finit donc jamais
    3. Le bloc qui se répète est le seul chiffre 3, la période vaut donc 1
    4. L’affichage montre les six premiers rangs, 0,333333

    Le cas pour lequel la sortie de période existe, et celui où le décimal est le moins digne de confiance. 0,333333 n’est pas un tiers — c’est un tiers arrondi au sixième rang, et le multiplier par trois donne 0,999999 plutôt que 1. La période de 1 vous dit que l’affichage est une vue d’un développement infini plutôt que la réponse entière ; une période nulle, sur la même page, dirait le contraire. Additionner un tiers et deux tiers est la démonstration classique : les décimaux donnent 0,999999 tandis que les fractions donnent exactement 1.

  3. Vingt-deux septièmes — une période longue et une fraction impropre

    1. Diviser : 22 ÷ 7 = 3,142857142857…
    2. Sept apporte un facteur premier autre que deux ou cinq, le décimal se répète donc
    3. Le bloc qui se répète fait six chiffres — c’est 0,142857
    4. L’affichage montre 3,142857, et la fraction est déjà sous forme irréductible

    Une fraction supérieure à un, donc le décimal a une partie entière, et un dénominateur de sept, dont le cycle fait six chiffres — le plus long que produise un dénominateur à un seul chiffre. Vingt-deux septièmes est l’approximation classique de pi, correcte à deux décimales, et ce même bloc de six chiffres est le cycle d’un septième. La sortie de période fait ici un vrai travail : elle dit que les six chiffres montrés sont le bloc répétitif complet et non un fragment arrondi d’un bloc plus long.

  4. Deux quarts sont donnés comme un demi

    1. Réduire d’abord : 2 et 4 partagent un facteur 2, la fraction vaut donc 1/2
    2. Diviser la forme réduite : 1 ÷ 2 = 0,5
    3. Deux n’est fait que de deux, la période vaut donc 0

    La page réduit avant de diviser, et voici à quoi cela ressemble : la sortie fractionnaire est 1/2 et non le 2/4 qui a été saisi. La valeur est identique dans les deux cas, et c’est la forme réduite qui permet de lire le comportement de répétition — le dénominateur qui décide si un décimal s’arrête est le dénominateur réduit. Le voir une fois explique pourquoi une fraction saisie sous une forme inattendue revient sous une autre.

  5. Un quatre-vingt-dix-septième — un cycle plus long que l’affichage

    1. Diviser : 1 ÷ 97 = 0,010309278350515…
    2. Quatre-vingt-dix-sept est premier et n’est ni deux ni cinq, le décimal se répète donc
    3. Le cycle est long de 96 chiffres
    4. L’affichage montre les six premiers rangs, 0,010309

    Le cas extrême, et la raison pour laquelle la période vaut la peine d’être affichée même quand elle est grande. Quatre-vingt-seize chiffres, c’est bien plus que les six affichés, donc ce que vous voyez est un seizième de la première répétition — un nombre qu’il faudrait porter à un très grand nombre de rangs avant que son motif apparaisse. Une période de 96 à côté d’un décimal de six rangs est un avertissement : cela ne signifie pas que le décimal est faux, cela signifie que le décimal est un instantané. Comparez avec le cas du tiers, où la période de 1 fait des mêmes six rangs une bien meilleure représentation du nombre.

Limites

Le décimal est affiché sur six rangs, il n’est donc exact que lorsque la période de répétition est nulle. Quand la période est supérieure à zéro, le nombre n’a pas de forme décimale finie et les six chiffres sont le développement arrondi au sixième rang — un tiers s’affiche 0,333333, ce qui n’est pas un tiers, et un tiers ajouté à deux tiers s’affiche 0,999999 plutôt que 1. Une période supérieure à six signifie que l’affichage ne montre qu’une partie d’une seule répétition. La page réduit avant de diviser, donc une fraction saisie sous une forme autre que la forme irréductible revient réduite : 2/4 est donné comme 1/2 et 100/8 comme 25/2, et la période, étant une propriété du dénominateur réduit, est calculée à partir de cette forme réduite. Les résultats entiers sont imprimés comme des entiers plutôt que comme des fractions sur un, donc 5/1 revient sous la forme 5 et un numérateur nul sous la forme 0. Les nombres fractionnaires ne sont pas acceptés : deux et un quart doit être saisi 9/4, parce que la division travaille sur un seul numérateur et un seul dénominateur, et une valeur non entière dans l’un ou l’autre champ est refusée plutôt que convertie. Les dénominateurs sont plafonnés à cent mille, ce qui borne aussi la période — le plus long cycle qu’un dénominateur autorisé puisse produire approche les cent mille chiffres. Et la période est donnée comme un nombre de chiffres et non comme les chiffres eux-mêmes : la page vous dit que le développement d’un quatre-vingt-dix-septième se répète tous les quatre-vingt-seize rangs sans vous montrer quels sont ces quatre-vingt-seize chiffres.

Questions fréquentes

Comment convertir une fraction en décimal ?
Divisez le numérateur par le dénominateur : trois huitièmes valent 3 ÷ 8 = 0,375, et un demi vaut 1 ÷ 2 = 0,5. La division est toute la méthode — la seule chose à faire d’abord est de réduire la fraction à sa forme irréductible, parce que c’est le dénominateur réduit qui décide si le décimal s’arrêtera ou continuera indéfiniment.
Comment savoir si le décimal va s’arrêter ?
Regardez les facteurs premiers du dénominateur réduit. S’il n’est fait que de deux et de cinq, le décimal s’arrête : 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25 et 100 donnent tous des décimaux qui s’arrêtent. S’il contient un autre nombre premier — un trois, un sept, un onze — le décimal se répète indéfiniment et ne peut s’écrire exactement en aucun nombre fini de rangs. La sortie de période vous dit dans quel cas vous êtes : zéro signifie que le décimal s’arrête, et toute autre valeur est la longueur du bloc qui se répète.
Pourquoi 1/3 s’affiche-t-il 0,333333 ?
Parce que l’affichage porte six décimales et qu’un tiers n’a pas de forme décimale finie, le sixième rang est donc celui où le développement est arrondi. 0,333333 n’est pas exactement un tiers — multipliez-le par trois et vous obtenez 0,999999 plutôt que 1, ce qui est la façon arithmétique de voir l’écart. La période de 1 est la page qui vous le dit : le décimal continue, et ce qui est montré en est une vue et non la réponse.
Pourquoi 2/4 s’affiche-t-il 1/2 ?
Parce que la page réduit la fraction avant de diviser, et que la forme réduite est celle qui compte pour tout le reste de ce qu’elle donne. La valeur est la même dans les deux cas — 0,5 — mais la période de répétition est une propriété du dénominateur réduit, la réduction doit donc avoir lieu d’abord : c’est le 2 de 1/2 qui dit que le décimal s’arrête, et non le 4 que vous avez saisi. Les fractions saisies sous une forme plus haute que nécessaire reviennent toujours réduites.
Que signifie une période de répétition de 96 ?
Que le développement décimal de cette fraction se répète tous les quatre-vingt-seize chiffres — pour un quatre-vingt-dix-septième, le bloc de quatre-vingt-seize chiffres continue indéfiniment. Ce n’est pas une mesure de l’exactitude du décimal affiché : les six rangs montrés sont corrects aussi loin qu’ils vont, ils sont simplement une petite partie d’une seule répétition. Ce que cela vous dit, en revanche, c’est que six décimales ne peuvent pas bien représenter ce nombre, puisque les chiffres qui suivent ne prolongent pas le motif visible mais appartiennent à un motif bien plus long.
La réponse peut-elle être supérieure à un, ou négative ?
Les deux sont ordinaires. Un numérateur plus grand que le dénominateur donne un décimal supérieur à un — vingt-deux septièmes valent 3,142857 — et la sortie fractionnaire reste impropre plutôt que de devenir un nombre fractionnaire. Un numérateur négatif donne un décimal négatif, et le signe reste sur le numérateur de la fraction : moins trois quarts valent moins 0,75 et s’écrivent −3/4. La période de répétition n’est affectée ni par l’un ni par l’autre, parce qu’elle ne dépend que du dénominateur.

Références

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