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Calculatrice de fractions

Intervalle : 1 – 100 000

Intervalle : 1 – 100 000

Résultat

5/6

Fraction irréductible

Avant simplification
5/6
En décimal
0,833333

Une calculatrice de fractions fait les quatre opérations sur deux fractions à la fois : saisissez un numérateur et un dénominateur, choisissez addition, soustraction, multiplication ou division, saisissez la deuxième fraction, et la réponse revient déjà sous forme irréductible. Un demi plus un tiers font cinq sixièmes, et l’outil imprime cela plutôt que les six seizièmes obtenus en multipliant les dénominateurs entre eux. Cette dernière phrase est la raison même pour laquelle une calculatrice est utile ici. L’addition de fractions est l’opération que l’on rate, parce qu’elle est la seule des quatre qui exige que les dénominateurs coïncident avant que quoi que ce soit puisse se faire : en multiplication on multiplie en croix et c’est fini, mais en addition et en soustraction les demis et les tiers doivent être ramenés à quelque chose qu’ils partagent. Deux chemins y mènent. Le chemin sûr, que cette page montre en entier, multiplie chaque numérateur par le dénominateur de l’autre et prend leur produit comme dénominateur commun : pour un demi et un tiers, cela donne cinq sur six, la forme avant simplification. Le chemin plus soigné cherche le plus petit nombre que les deux dénominateurs divisent, qui vaut ici six et qui ramène directement la même réponse à cinq sixièmes. Le couple de sorties existe pour qu’on voie les deux, et il vaut la peine de savoir que ce ne sont pas deux réponses — c’est un seul nombre avant et après simplification. La division est l’autre opération qui a sa propre règle : diviser par une fraction revient à multiplier par la fraction retournée, donc un demi divisé par trois quarts vaut un demi fois quatre tiers, soit quatre sixièmes puis deux tiers. La multiplication et la soustraction ne réservent pas ce genre de surprise, même si c’est en soustraction qu’apparaît un numérateur négatif : un demi moins un tiers font un sixième, un tiers moins un demi font moins un sixième, et la page garde le signe moins sur le numérateur plutôt que sur la fraction entière parce que c’est là que l’arithmétique l’a mis. Quatre points méritent d’être connus avant de s’appuyer sur la page. Elle travaille avec des fractions impropres plutôt qu’avec des nombres fractionnaires : neuf quarts reviennent sous la forme neuf quarts, qui est la forme que réclame le calcul suivant, et non sous celle de deux et un quart. Un dénominateur nul est refusé d’emblée plutôt que traité comme une réponse, puisque la fraction n’aurait alors aucune valeur. Diviser par une fraction dont le numérateur est nul est refusé aussi, parce que l’inverse de zéro n’est pas un nombre. Et un numérateur assez grand pour que la multiplication en croix sorte de l’intervalle où les entiers sont exacts est refusé plutôt que résolu par approximation, ce qui est la seule limite d’entrée que cette page ajoute au plafond de cent mille sur le dénominateur.

Les quatre opérations, et où la simplification intervient

Première fractionOpérateurDeuxième fractionAvant simplificationForme irréductibleDécimal
1/2+1/35/65/60.833333
1/4+1/610/245/120.416667
3/4−1/35/125/120.416667
2/3×3/56/152/50.4
1/2÷3/44/62/30.666667
5/6×3/1015/601/40.25

Six lignes qui couvrent les quatre opérations, et le couple de colonnes qui compte est le quatrième et le cinquième — le même nombre avant et après simplification. Lisez d’abord la deuxième ligne, puisqu’elle montre le travail le plus clairement : un quart plus un sixième passent par 10/24, qui se simplifie en 5/12 parce que dix et vingt-quatre partagent un facteur deux. Regardez ensuite la première et la troisième lignes, où les deux colonnes portent la même fraction et où aucune simplification n’a été nécessaire ; une page qui n’afficherait qu’une seule colonne cacherait les deux faits. Les lignes de multiplication et de division montrent les règles qui vont avec : multiplier en croix donne 6/15 puis 2/5, et diviser multiplie par l’inverse, donc un demi sur trois quarts donne 4/6 puis 2/3. Le décimal de chaque ligne est la fraction irréductible sur six décimales, ce qui fait de la dernière colonne une vérification des deux précédentes — la deuxième et la troisième lignes finissent toutes deux en 0,416667 bien qu’elles atteignent la réponse par des opérations différentes et des fractions intermédiaires différentes. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.833333 plutôt que 0,833333), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

Addition ou soustraction : a/b ± c/d = (a·d ± c·b) / (b·d) Multiplication : a/b × c/d = (a·c) / (b·d) Division : a/b ÷ c/d = (a·d) / (b·c) Puis diviser les deux termes par leur plus grand commun diviseur

Première fraction
Un numérateur et un dénominateur, tous deux des nombres entiers. Le numérateur peut être négatif ou nul ; le dénominateur ne peut pas être nul et ne peut pas dépasser cent mille
Opérateur
L’une des quatre opérations, choisie dans une liste parce qu’il n’en existe que quatre — additionner, soustraire, multiplier ou diviser la première fraction par la seconde. La division est celle qui s’effectue en retournant la deuxième fraction, c’est donc aussi celle où un numérateur nul dans la seconde fraction est refusé
Deuxième fraction
L’autre opérande, avec les mêmes règles : un numérateur entier quelconque, un dénominateur non nul jusqu’à cent mille. Son numérateur devient le dénominateur de l’inverse quand l’opération est une division
Avant simplification
La fraction telle qu’elle sort de la règle, sans aucune simplification : cinq sixièmes sur six pour un demi plus un tiers. Son dénominateur est le produit des deux dénominateurs, ce qui explique que cette forme soit parfois appelée multiplication en croix — et qu’elle puisse être plus grande que ne le serait le plus petit dénominateur commun
Forme irréductible
La même valeur après division des deux termes par leur plus grand commun diviseur : cinq sixièmes sur six se simplifie en cinq sixièmes. C’est la réponse, et l’étape entre les deux sorties est toute la simplification de fractions
Décimal
La réponse en décimal, sur six décimales : cinq sixièmes valent 0,833333. Une valeur qui ne se divise pas exactement est arrondie et non tronquée, et les six chiffres sont un choix d’affichage plutôt qu’une affirmation sur la précision de la fraction

Quatre opérations, quatre occasions, et une habitude à prendre. L’addition sert avec des quantités qui se présentent en parts différentes d’un tout — un tiers de tasse plus un quart de tasse, et la page vous dit que cela fait sept douzièmes. La soustraction est la même chose avec le signe inversé, et c’est l’opération où l’ordre des deux fractions compte : un demi moins un tiers font un sixième tandis qu’un tiers moins un demi font moins un sixième, donc la fraction saisie en premier est celle dont on soustrait. La multiplication est la plus simple des quatre et celle qu’on risque le plus de compliquer inutilement — on multiplie en croix, le haut par le haut et le bas par le bas, et il n’y a aucun dénominateur commun à chercher ; un demi de deux tiers font un tiers. La division, c’est la multiplication par l’inverse, et c’est celle pour laquelle on sort une calculatrice : trois quarts divisés par un demi valent trois quarts fois deux, soit six quarts, soit un et demi. Sous les quatre se trouve une habitude : vérifier la réponse contre un décimal approximatif. Cinq sixièmes sur six font un peu plus de huit dixièmes, et cinq sixièmes aussi, donc la simplification n’a pas changé la valeur — la seule chose que la simplification ait le droit de laisser intacte. Si les deux décimaux ne concordent pas, l’erreur est dans l’arithmétique et non dans la simplification, et aucune relecture de la forme irréductible ne la fera apparaître.

Exemples détaillés

  1. Un demi plus un tiers

    1. Dénominateur commun par multiplication en croix : 2 × 3 = 6
    2. Premier numérateur : 1 × 3 = 3
    3. Deuxième numérateur : 1 × 2 = 2
    4. Additionner les numérateurs sur le dénominateur commun : (3 + 2) / 6 = 5/6
    5. Rien ne se simplifie — 5 et 6 n’ont aucun facteur commun — la fraction avant simplification et la réponse sont donc identiques, et le décimal vaut 0,833333

    Le cas par défaut, et l’un de ceux où les deux sorties fractionnaires coïncident. Cela arrive chaque fois que la forme obtenue en croix est déjà irréductible, ce qui, pour une somme de deux fractions unitaires, signifie que les dénominateurs étaient premiers entre eux. Il vaut la peine de le voir une fois avant les cas où elles diffèrent, pour qu’une page affichant deux fois la même fraction n’ait pas l’air d’un bug.

  2. Un quart plus un sixième, dans les deux formes

    1. Dénominateur commun par multiplication en croix : 4 × 6 = 24
    2. Premier numérateur : 1 × 6 = 6 ; deuxième numérateur : 1 × 4 = 4
    3. Les additionner sur le dénominateur commun : (6 + 4) / 24 = 10/24
    4. Chercher le plus grand commun diviseur de 10 et de 24 : 2
    5. Diviser les deux termes par 2 : la réponse est 5/12, soit 0,416667 en décimal

    L’exemple qui explique les deux sorties. Vingt-quatre n’est pas le plus petit nombre que quatre et six divisent tous les deux — c’est douze — donc la fraction avant simplification est plus grande que nécessaire, et l’étape de simplification fait un vrai travail. Passer par le produit plutôt que par le plus petit commun multiple n’est pas de la paresse : c’est une règle qui marche pour toute paire de dénominateurs sans réfléchir à leurs facteurs, et la simplification qui suit la ramène à la forme soignée. Dix vingt-quatrièmes et cinq douzièmes sont le même nombre, ce que confirment les décimaux identiques en fin de tableau.

  3. Deux tiers fois trois quarts

    1. Multiplier en croix : 2 × 3 = 6 sur 3 × 4 = 12
    2. Aucun dénominateur commun n’est nécessaire — cette étape n’appartient qu’à l’addition et à la soustraction
    3. Simplifier le six : 6 ÷ 6 = 1 et 12 ÷ 6 = 2
    4. La réponse est 1/2, soit 0,5

    La multiplication, où les dénominateurs sont simplement multipliés et où rien ne doit d’abord coïncider. La simplification mérite ici d’être remarquée : deux tiers fois trois quarts font un demi, plus petit que chacun des deux opérandes parce que tous deux sont inférieurs à un — un résultat qui surprend ceux qui attendent d’une multiplication qu’elle agrandisse, et qu’une vérification contre 0,5 confirme en une étape.

  4. Un demi divisé par trois quarts

    1. Retourner la deuxième fraction : 3/4 devient 4/3
    2. Multiplier à la place : (1 × 4) / (2 × 3) = 4/6
    3. Simplifier le deux : 4 ÷ 2 = 2 et 6 ÷ 2 = 3
    4. La réponse est 2/3, soit 0,666667

    La division, qui est la multiplication par l’inverse — la règle qui fait atterrir le numérateur de la deuxième fraction au dénominateur de la réponse. Notez le sens : un demi divisé par trois quarts font deux tiers, plus grand que le demi de départ, parce que le diviseur est inférieur à un. Diviser par un nombre plus petit que un fait toujours grandir le résultat, et c’est la vérification la plus rapide dont on dispose ici.

  5. Un tiers moins un tiers, et neuf quarts divisés par neuf quarts

    1. Dénominateur commun : 3 × 3 = 9
    2. Premier numérateur 1 × 3 = 3, deuxième numérateur 1 × 3 = 3
    3. Soustraire : (3 − 3) / 9 = 0/9
    4. Simplifier : zéro sur n’importe quoi vaut zéro, et la réponse s’affiche 0 plutôt que 0/9

    Zéro, qui est une réponse légitime et non un résultat vide — les deux fractions étaient égales, et deux nombres égaux se soustraient en rien. La sortie avant simplification garde la trace du calcul qui l’a produite, avec neuf au dénominateur, tandis que la réponse se réduit à un seul chiffre. Le même effondrement se produit à l’autre bout : neuf quarts divisés par neuf quarts donnent le nombre entier 1, avec trente-six sur trente-six comme forme avant simplification, si bien qu’une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont égaux s’affiche comme un entier plutôt que comme une fraction sur elle-même.

Limites

La sortie avant simplification est une multiplication en croix, pas le plus petit dénominateur commun. Additionner un quart et un sixième passe par vingt-quatre plutôt que par douze, si bien que la fraction intermédiaire est plus grande que la forme soignée et paraît fausse à qui attend le plus petit commun multiple. Les deux fractions sont le même nombre et la réponse est correcte — les deux sorties ne diffèrent que par la quantité de simplification effectuée — mais si ce que vous vouliez était le plus petit dénominateur partagé, c’est la sortie irréductible qu’il faut lire. Les résultats sont des fractions impropres et jamais des nombres fractionnaires : neuf quarts restent neuf quarts au lieu de devenir deux et un quart, et un résultat entier s’affiche comme un entier, donc un demi divisé par un demi vaut 1 et non 1/1. La sortie décimale est arrondie à six décimales, ce qui en fait une vérification de la réponse plutôt qu’une façon de l’énoncer : un tiers vaut 0,333333 et l’addition d’un tiers et de deux tiers s’affiche 0,999999 plutôt que 1, tandis que les sorties fractionnaires, par le même calcul, donnent exactement 1. Les dénominateurs sont plafonnés à cent mille, ce qui est un plafond délibéré sur la quantité de simplification que la page fera d’un coup. Trois entrées sont refusées plutôt que résolues : un dénominateur nul, parce que la fraction n’a alors aucune valeur ; une division dont le deuxième numérateur est nul, parce que l’inverse de zéro n’est pas un nombre ; et un numérateur assez grand pour que la multiplication en croix sorte de l’intervalle où l’arithmétique entière est exacte, que la page signale comme une erreur au lieu d’imprimer une fraction approchée. Les numérateurs non entiers sont refusés eux aussi, donc une valeur comme un et demi dans un champ de numérateur doit être convertie à la main en fraction impropre avant d’être acceptée.

Questions fréquentes

Pourquoi les deux sorties fractionnaires diffèrent-elles ?
Parce que l’une est la réponse et l’autre le travail. La fraction avant simplification sort directement de la règle — les dénominateurs multipliés entre eux, les numérateurs croisés avec le dénominateur d’en face — et la fraction irréductible est cette même valeur après simplification par le plus grand commun diviseur des deux termes. Un quart plus un sixième font 10/24 avant simplification et 5/12 après ; les décimaux coïncident, ce qui prouve que seule l’écriture a changé.
Pourquoi le dénominateur avant simplification vaut-il 24 alors que 12 suffirait ?
Parce que la page trouve un dénominateur commun en multipliant les deux dénominateurs, et non en cherchant le plus petit que les deux divisent. Vingt-quatre vaut quatre fois six, et c’est un dénominateur commun valide même si douze est plus petit. Le compromis est délibéré : multiplier marche toujours et ne demande aucune analyse des dénominateurs, et la simplification qui suit ramène de toute façon la réponse à sa forme irréductible. Si vous voulez le plus petit dénominateur partagé, lisez la sortie irréductible.
Comment diviser des fractions ?
En multipliant par l’inverse : retournez la deuxième fraction et multipliez en croix. Un demi divisé par trois quarts vaut un demi fois quatre tiers, soit quatre sixièmes, qui se simplifient en deux tiers. La règle existe parce que diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse, et c’est elle qui fait se retrouver le numérateur de la deuxième fraction au dénominateur de la réponse — 0,666667 contre 0,5 confirme que la réponse a grandi, comme doit le faire toute division par un nombre inférieur à un.
La réponse peut-elle être un nombre fractionnaire ?
Non — les résultats sont des fractions impropres, donc neuf quarts reviennent sous la forme 9/4 plutôt que 2 1/4. Une fraction impropre est la forme qui continue de servir : additionner ou multiplier un nombre fractionnaire suppose de le reconvertir d’abord en fraction impropre, donc en imprimer un reviendrait à le reconvertir à l’étape suivante. Transformer 9/4 en deux et un quart est une division, et lire la sortie décimale rend le même service pour une vérification rapide.
Que se passe-t-il si un dénominateur est nul ?
La page signale une erreur, et il n’y a aucune réponse à donner : une fraction dont le dénominateur est nul n’a pas de valeur, parce que le dénominateur est le nombre de parts en lesquelles le tout est divisé et que la division par zéro n’est pas définie. Diviser par une fraction dont le numérateur est nul est refusé pour la même raison — l’inverse de zéro n’est pas un nombre — tandis qu’un numérateur nul dans la première fraction est accepté et donne zéro pour toute multiplication ou division.
Comment vérifier que la réponse est juste ?
Convertissez les deux opérandes en décimaux approximatifs et faites l’opération sur ces nombres. Un demi plus un tiers doit tomber entre 0,8 et 0,9, et cinq sixièmes valent 0,833333. Multiplier deux fractions inférieures à un doit donner plus petit que chacune, et diviser par un nombre inférieur à un doit donner plus grand. Quand la réponse approximative et la fraction ne concordent pas, le problème est dans l’arithmétique et non dans la simplification, puisque la simplification ne peut que changer l’écriture d’un nombre.

Références

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