Calculatrice d’addition de fractions

Dénominateur commun = plus petit commun multiple des deux dénominateurs Conversion = chaque numérateur × (dénominateur commun ÷ son propre dénominateur) Somme = (premier converti + deuxième converti) ÷ dénominateur commun, simplifiée

Première fraction

Le premier numérateur et le premier dénominateur. Le dénominateur ne peut pas être nul, et c’est le numérateur qui porte le signe moins si la fraction est négative.

Deuxième fraction

Le deuxième numérateur et le deuxième dénominateur, traités exactement comme le premier : l’ordre des deux termes ne change pas la somme.

Dénominateur commun

Le plus petit commun multiple des deux dénominateurs : 12 pour 1/4 + 1/6. C’est le plus petit nombre dans lequel les deux dénominateurs se divisent, et c’est lui qui rend les numérateurs comptables ensemble.

Fractions converties

Chaque fraction réécrite sur le dénominateur commun, c’est-à-dire son numérateur multiplié par le même facteur que son dénominateur : 1/4 devient 3/12 et 1/6 devient 2/12. Les valeurs ne changent pas, seule la taille des parts change.

Somme

Les deux numérateurs convertis additionnés sur le dénominateur commun, puis réduits à leur forme la plus simple. Elle est affichée sous forme de fraction, et une fraction impropre reste impropre au lieu d’être transformée en nombre fractionnaire.

Deux fractions s’additionnent par cette méthode chaque fois que les dénominateurs diffèrent, ce qui est le cas le plus fréquent en pratique. Le premier usage est le devoir scolaire, où l’enjeu est l’étape de conversion plus que le résultat : le panneau affiche les deux fractions converties pour que le détail puisse être comparé à un cahier, et pas seulement le chiffre final. Le deuxième est une mesure qui arrive en parts de tailles différentes, par exemple un quart d’heure plus un sixième d’heure : la somme ne veut dire quelque chose qu’une fois les deux comptées dans la même unité, ici des douzièmes d’heure. Le troisième est la vérification du calcul de quelqu’un d’autre : un total sorti à 10/24 pour un quart plus un sixième a été obtenu en multipliant les dénominateurs, ce qui est juste mais non réduit, et le dénominateur commun de 12 employé ici montre que la même somme se fait avec des parts plus petites. Quand les dénominateurs sont déjà identiques, l’étape de conversion disparaît et il reste à additionner les numérateurs : il n’y a alors rien à simplifier d’autre que la somme elle-même.

1. 1/4 + 1/6

   1. Plus petit commun multiple de 4 et de 6 : 12
   2. Convertir la première : 1/4 = 3/12, parce que 12 ÷ 4 = 3
   3. Convertir la deuxième : 1/6 = 2/12, parce que 12 ÷ 6 = 2
   4. Additionner les numérateurs : 3 + 2 = 5, ce qui donne 5/12

   Le cas par défaut, et celui qui montre ce que le dénominateur commun apporte : les parts sont des douzièmes et non des vingt-quatrièmes, parce que 12 est le plus petit nombre dans lequel 4 et 6 se divisent tous les deux. La somme est déjà sous forme irréductible.

2. 1/2 + 1/3

   1. Plus petit commun multiple de 2 et de 3 : 6
   2. Convertir la première : 1/2 = 3/6
   3. Convertir la deuxième : 1/3 = 2/6
   4. Additionner les numérateurs : 3 + 2 = 5, ce qui donne 5/6

   Le dénominateur commun tombe ici sur le produit des deux dénominateurs, parce que 2 et 3 n’ont aucun facteur en commun. C’est le seul cas où multiplier les dénominateurs donne le même résultat que le plus petit commun multiple, et c’est pour cela que le raccourci paraît marcher toujours.

3. 3/4 + 5/8, un résultat impropre

   1. Plus petit commun multiple de 4 et de 8 : 8, puisque 8 est déjà un multiple de 4
   2. Convertir la première : 3/4 = 6/8
   3. La deuxième est déjà en huitièmes : 5/8
   4. Additionner les numérateurs : 6 + 5 = 11, ce qui donne 11/8

   Un dénominateur divise l’autre, donc le dénominateur commun est le plus grand des deux et non leur produit. Le total dépasse un, et il est affiché 11/8 : une fraction impropre est une écriture parfaitement valable, et elle garde tous les nombres dans la même notation.

4. 1/2 + 1/2, qui tombe juste

   1. Les dénominateurs sont déjà identiques, le dénominateur commun est donc 2
   2. Aucune conversion : les deux fractions sont déjà en demis
   3. Additionner les numérateurs : 1 + 1 = 2, ce qui donne 2/2
   4. Simplifier : 2/2 vaut 1

   Deux demis font un entier, et le panneau écrit 1 plutôt que 2/2 ou 1/1. L’étape de simplification n’est pas facultative, même avec le plus petit dénominateur commun : les fractions converties sont sous forme irréductible, la somme ne l’est pas automatiquement.

Les deux entrées doivent être des nombres entiers : 0,5 plus 1/3 n’est donc pas additionné ici, il faut d’abord convertir la décimale en fraction. La raison est que tout le calcul est mené en arithmétique entière exacte, laquelle cesse d’être exacte dès qu’une décimale entre en jeu. Les dénominateurs doivent être positifs et sont bornés, et les numérateurs le sont aussi, parce que les deux numérateurs convertis sont multipliés l’un par l’autre avant d’être additionnés. Le résultat est toujours écrit sous forme de fraction et jamais sous forme de nombre fractionnaire : une somme de 11/8 reste 11/8 au lieu de devenir 1 3/8. Le dénominateur commun est le plus petit commun multiple, ce qui est une étape intermédiaire différente de celle que montre une calculatrice de fractions à quatre opérations : la même paire y donne 6/24 et 4/24 au lieu de 3/12 et 2/12, les deux sont justes, elles découpent simplement les parts différemment. Seule l’addition est traitée ici : la soustraction, la multiplication et la division ont leurs propres pages, et un résultat négatif porte le signe moins sur le numérateur. Enfin, la page additionne des fractions et rien d’autre : un nombre fractionnaire doit être transformé en fraction impropre avant d’être saisi. Les conventions suivies sont celles de l’enseignement français, où le dénominateur commun se cherche par le plus petit commun multiple et non par le produit des dénominateurs.

Comment additionner deux fractions qui n’ont pas le même dénominateur ?

Il faut réécrire les deux fractions pour qu’elles partagent un dénominateur, puis additionner les numérateurs en gardant ce dénominateur. Pour 1/4 et 1/6, le dénominateur commun est 12, elles deviennent donc 3/12 et 2/12, et le total est 5/12.

Comment trouve-t-on le dénominateur commun ?

C’est le plus petit commun multiple des deux dénominateurs, c’est-à-dire le plus petit nombre dans lequel les deux se divisent. Pour 4 et 6, c’est 12. Multiplier les deux dénominateurs entre eux fonctionne aussi, mais le résultat est souvent plus grand que nécessaire.

Pourquoi ne pas simplement multiplier les dénominateurs ?

C’est permis et le résultat sera juste, mais les parts seront plus petites que nécessaire : 1/4 plus 1/6 donne ainsi 6/24 plus 4/24, soit 10/24, qu’il faut encore réduire à 5/12. Le plus petit commun multiple fait le même travail avec des douzièmes au lieu de vingt-quatrièmes.

Faut-il simplifier la somme ensuite ?

Parfois, et la page s’en charge avant d’afficher le résultat. Le plus petit dénominateur commun garde les parts aussi grandes que possible, mais il ne promet pas que les numérateurs s’additionneront sans facteur commun : 1/3 plus 1/6 fait 2/6 plus 1/6, soit 3/6 et, après simplification, 1/2.

Le résultat peut-il être une fraction impropre ?

Oui, et il est affiché ainsi : 3/4 plus 5/8 font 11/8, donc plus de un. L’écriture en nombre fractionnaire est une conversion à part, et cette page garde chaque nombre sous la forme numérateur sur dénominateur.

Que sont les deux fractions converties affichées à côté du résultat ?

Ce sont les deux termes réécrits sur le dénominateur commun, c’est-à-dire l’étape dont dépend l’addition : 1/4 devient 3/12 et 1/6 devient 2/12. Leurs valeurs n’ont pas changé, seule la taille des parts dans lesquelles on les compte.

Puis-je additionner ici une décimale et une fraction ?

Non. Les deux numérateurs et les deux dénominateurs doivent être des nombres entiers, donc 0,5 plus 1/3 est refusé. La raison est que la conversion et l’addition sont menées en arithmétique entière exacte, et convertir d’abord la décimale en fraction permet de le rester.

• Fraction — the common denominator of two fractions is a common multiple of their denominators, and the least common denominator is the least of those; the entry works an addition through the conversion step that this page prints — Wolfram MathWorld (United States)
• Least Common Multiple — the smallest positive integer that both numbers divide, which is the common denominator this page uses, computed from the greatest common divisor rather than by listing multiples — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing both numbers, which is what the least common multiple is derived from and what the sum is reduced by at the end — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — a fraction written with the common factors of numerator and denominator cancelled; the converted fractions on this page are already in that form, while the sum may still need it — Wolfram MathWorld (United States)