Calculatrice de fractions équivalentes

Fraction équivalente = (numérateur × k) ÷ (dénominateur × k), pour k = 2, 3, 4, … jusqu’à un de plus que le nombre demandé Forme irréductible = numérateur et dénominateur divisés par leur plus grand commun diviseur Valeur décimale = numérateur ÷ dénominateur

Fraction

Le numérateur et le dénominateur que vous saisissez. Le dénominateur ne peut pas être nul, et c’est le numérateur qui porte le signe moins si la fraction est négative. Un numérateur nul est permis, et toutes ses fractions équivalentes valent alors zéro.

Multiplicateur k

Le nombre entier par lequel les deux termes sont multipliés. Il va de 2 jusqu’à un de plus que le nombre demandé, donc demander cinq donne les multiplicateurs 2, 3, 4, 5 et 6. Il ne prend jamais la valeur 1, parce que ce serait la fraction telle que saisie.

Fraction équivalente

L’une des fractions de la suite : le numérateur et le dénominateur multipliés chacun par le même k. La valeur ne change pas, seule la taille des parts change, et les éléments de la suite sont imprimés tels quels plutôt que simplifiés, donc 2/6 s’affiche 2/6.

Forme irréductible

La même valeur écrite avec le plus petit numérateur et le plus petit dénominateur possibles, obtenue en divisant les deux termes par leur plus grand commun diviseur. Une fraction déjà irréductible est sa propre réponse, et une fraction dont les termes se divisent exactement s’affiche comme un nombre entier : 5/5 vaut 1.

Valeur décimale

Le numérateur divisé par le dénominateur, arrondi à six décimales. C’est la troisième façon d’écrire le même nombre, et contrairement à la suite elle ne permet pas de voir de visu que deux fractions sont égales : 1/3 et 2/6 donnent tous deux 0,333333.

Le premier usage est le travail scolaire sur les fractions elles-mêmes, où l’enjeu est qu’une valeur a plusieurs noms : saisir 2/6 et voir apparaître 4/12, 6/18 et 8/24 montre clairement que réduire à la forme irréductible change l’écriture et non le nombre. Le deuxième est la comparaison, puisqu’il est facile de comparer deux fractions dès qu’elles partagent un dénominateur : 2/3 contre 3/5 se juge mal d’un coup d’œil, alors que les fractions équivalentes 10/15 et 9/15 se jugent sans effort, et c’est la même conversion dont l’addition de fractions a besoin. Le troisième est la vérification d’une simplification faite par quelqu’un d’autre : si une fraction est censée se simplifier en 3/4, alors la suite partant de 3/4 doit contenir l’originale, et si ce n’est pas le cas, les deux ne sont après tout pas le même nombre. Le quatrième est le cas où une fraction doit être donnée dans un dénominateur précis — des seizièmes de pouce, des douzièmes d’heure — et où vous voulez voir ce que vaut la grandeur dans les unités du travail. Quand une fraction est déjà irréductible, le panneau la répète, et c’est en soi la réponse à la question de savoir si elle peut encore se simplifier.

1. 1/3, cinq fractions

   1. Les deux termes de 1/3 multipliés par 2 : 2/6
   2. Par 3 : 3/9, et par 4 : 4/12
   3. Par 5 : 5/15, et par 6 : 6/18 — cinq fractions, puisque le nombre demandé était cinq
   4. Forme irréductible : 1 et 3 n’ont aucun facteur commun, la réponse est donc de nouveau 1/3
   5. Valeur décimale : 1 ÷ 3 = 0,333333

   Le cas par défaut, et celui qui montre pourquoi les multiplicateurs commencent à 2 : multiplier par 1 imprimerait 1/3 elle-même comme premier élément, ce qui n’est pas une autre fraction du tout. La forme irréductible identique à l’entrée dit que la fraction était déjà aussi simple qu’elle peut s’écrire, et le décimal se répète parce que les tiers n’ont pas d’écriture décimale exacte.

2. 2/6, trois fractions

   1. Les deux termes de 2/6 multipliés par 2 : 4/12
   2. Par 3 : 6/18, et par 4 : 8/24
   3. Forme irréductible : 2 divise les deux termes, donc 2/6 vaut 1/3
   4. Valeur décimale : 2 ÷ 6 = 0,333333, la même que 1 ÷ 3

   Voici le cas qui explique le deuxième chiffre du panneau. 2/6 et 1/3 sont le même nombre, elles ont donc la même forme irréductible et la même valeur décimale, et pourtant leurs suites diffèrent : ici le premier élément est 4/12, tandis que la suite de 1/3 commence par 2/6. La page construit la suite à partir de la fraction telle que saisie, si bien que la liste obtenue dépend de laquelle des deux écritures de cette valeur vous avez entrée.

3. 5/5, qui est un nombre entier

   1. Les deux termes de 5/5 multipliés par 2 : 10/10
   2. Par 3 : 15/15 — deux fractions, puisque le nombre demandé était deux
   3. Forme irréductible : 5 divise les deux termes, ce qui donne 1
   4. Valeur décimale : 5 ÷ 5 = 1

   Une fraction dont le dénominateur divise le numérateur est un nombre entier, et le panneau l’écrit 1 plutôt que 5/5 ou 1/1. La suite à côté garde malgré tout ses dénominateurs, parce que l’objet de la suite est la notation : 10/10 et 15/15 sont l’aspect de cette même valeur avec des parts plus petites.

4. 6/4, une fraction supérieure à un

   1. Les deux termes de 6/4 multipliés par 2 : 12/8
   2. Par 3 : 18/12, par 4 : 24/16 et par 5 : 30/20 — quatre fractions
   3. Forme irréductible : 2 divise les deux termes, donc 6/4 vaut 3/2
   4. Valeur décimale : 6 ÷ 4 = 1,5

   La valeur dépasse un, et elle est donnée sous forme de fraction impropre 3/2 plutôt que de nombre fractionnaire, afin que tous les chiffres du panneau soient écrits de la même façon. Les fractions équivalentes sont elles aussi toutes impropres, ce qui découle de la multiplication des deux termes de 3/2 par un même nombre : aucune multiplication ne peut transformer une fraction supérieure à un en fraction propre.

Les deux entrées doivent être des nombres entiers, donc 0,75 n’est pas quelque chose dont cette page partira : convertissez-le d’abord en 3/4, et la raison est que tout le calcul est mené en arithmétique entière exacte, laquelle cesse d’être exacte dès qu’un décimal entre en jeu. Le dénominateur a une borne haute et ne peut pas être nul, et le numérateur en a une aussi, parce que chaque élément de la suite est un produit. Le nombre d’éléments est plafonné, ce qui importe moins qu’il n’y paraît : les fractions grossissent vite, et vingt éléments d’une fraction comme 7/21 atteignent déjà les centaines. La suite est construite à partir de la fraction telle que saisie et non de sa forme irréductible, donc une valeur écrite de deux façons donne deux suites différentes — c’est un choix et non une étourderie, mais cela signifie que le résultat dépend de la notation de l’entrée. Rien dans la suite n’est simplifié, si bien qu’un élément comme 6/18 voisine avec 1/3 dans le même panneau ; si vous voulez le plus petit dénominateur, c’est le deuxième chiffre du panneau qu’il faut lire. Le résultat est écrit sous forme de fraction et jamais sous forme de nombre fractionnaire, et une fraction négative garde son signe moins sur le numérateur. Cette page énumère les fractions égales à une fraction et ne simplifie pas une fraction pour elle-même : une page consacrée à cela montre le diviseur et le détail du calcul, là où celle-ci n’imprime que la réponse. Deux choses qu’elle ne fait pas du tout sont les opérations entre fractions et la conversion depuis un décimal, qui sont des pages distinctes.

Comment trouver les fractions équivalentes d’une fraction que j’ai déjà ?

Multipliez le numérateur et le dénominateur par le même nombre entier. En partant de 1/3 et en multipliant les deux termes par 2, 3 et 4, on obtient 2/6, 3/9 et 4/12, et chacune d’elles est égale à 1/3. C’est toute la formule, et elle marche aussi dans l’autre sens : diviser les deux termes par un facteur commun donne une autre fraction égale à la même valeur.

Pourquoi la liste commence-t-elle à 2/6 et non à 1/3 ?

Parce que multiplier par 1 redonnerait la fraction que vous avez saisie, qui n’est pas une autre fraction à comparer. La suite est formée des multiples 2, 3, 4 et ainsi de suite, et le nombre que vous fixez est le nombre d’entre eux qui sont énumérés.

Pourquoi les fractions énumérées ne sont-elles pas simplifiées ?

Les simplifier reviendrait à imprimer plusieurs fois le même nombre, ce qui est le contraire du but. 2/6, 3/9 et 4/12 valent toutes 1/3, et les voir écrites différemment est ce qui montre clairement que la valeur n’a pas changé. La forme irréductible de la valeur saisie est affichée séparément sur le panneau.

Qu’est-ce que la forme irréductible ?

C’est la même valeur écrite avec le plus petit numérateur et le plus petit dénominateur possibles, obtenue en divisant les deux termes par leur plus grand commun diviseur. Si les deux termes n’ont aucun facteur commun, la fraction est déjà irréductible et le panneau la répète simplement, comme il le fait pour 1/3.

La valeur décimale est-elle la même pour toutes ?

Oui, et c’est exactement ce que signifie l’égalité ici : 1/3, 2/6, 3/9 et 4/12 donnent toutes 0,333333. Le décimal est le moyen le plus rapide de vérifier qu’une suite est bien équivalente, mais c’est aussi la lecture qui efface la différence, puisqu’il montre un seul nombre là où les fractions en montrent quatre.

Puis-je utiliser une fraction supérieure à un, ou une fraction négative ?

Les deux fonctionnent, et les deux gardent leur caractère dans la suite. Une fraction comme 6/4 a pour forme irréductible la fraction impropre 3/2, et 12/8, 18/12 et les autres sont elles aussi supérieures à un. Une fraction négative s’écrit avec le signe moins sur le numérateur, donc -1/2 donne -2/4 et -3/6.

Puis-je saisir un décimal à la place d’une fraction ?

Non. Les deux termes doivent être des nombres entiers, donc 0,75 est refusé ; convertissez-le d’abord en 3/4. La multiplication qui construit la suite est menée en arithmétique entière exacte, et un décimal ferait tomber cette exactitude dès que la valeur ne peut pas s’écrire comme une fraction sur une puissance de dix.

• Fraction — two fractions are equal when one is obtained from the other by multiplying numerator and denominator by the same number, which is the operation this page performs and repeats — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — a fraction whose numerator and denominator have no common factor, which is the second figure on the panel and the form the run deliberately does not take — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing both parts, which is what the lowest terms are obtained by dividing out — Wolfram MathWorld (United States)
• Denominator — the number below the line in a fraction, which is the part two fractions have to agree on before they can be rewritten over one another — Wolfram MathWorld (United States)