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CalcMax

Calculatrice de fractions simplifiées

Intervalle : 1 – 100 000

Résultat

2/3

Fraction irréductible

Plus grand commun diviseur
12
En décimal
0,666667

Une calculatrice de fractions simplifiées réduit une fraction au plus simple et, contrairement à presque toutes les autres, indique par quel nombre elle a divisé pour y arriver. 24/36 devient 2/3, et le diviseur derrière cela est 12 — le plus grand nombre qui divise à la fois 24 et 36. Cette seconde lecture est toute la raison d’être de la page, parce que la fraction réduite seule ne dit pas si quelque chose s’est passé : 7/4 et 1/2 sont déjà au plus simple, et leur résultat principal est identique à l’entrée, si bien qu’un panneau qui ne montrerait que la réponse serait le même qu’il ait fait le travail ou non. Ici la ligne du diviseur le dit, et elle imprime 1 pour une fraction qui était déjà aussi simple que possible. Une troisième lecture donne le même nombre en décimal, six rangs plus bas, ce qui est la forme qu’une fraction doit généralement prendre avant de servir dans un tableur ou d’être comparée à une mesure — et pour les fractions qui ne se divisent pas rond, ces six rangs sont arrondis et non exacts. La page simplifie et ne fait rien d’autre : elle n’additionne, ne soustrait, ne multiplie ni ne divise de fractions, elle ne retransforme pas un décimal en fraction, et elle ne réduit pas un rapport comme 6 : 4, qui est une autre notation avec une autre forme de réponse.

Huit fractions réduites, avec le diviseur utilisé

Fraction de départDiviseurForme irréductibleDécimal
24/36122/30.666667
100/75254/31.333333
7/417/41.75
1/211/20.5
0/505000
18/2463/40.75
9/1233/40.75
100000/10000010000011

Chaque ligne est une réduction, et les colonnes sont l’entrée, le plus grand commun diviseur qui a été retiré, la réponse au plus simple, et le même nombre en décimal. La première colonne montre toujours la fraction telle qu’elle a été saisie, jamais la forme réduite — imprimer la forme réduite à cet endroit rendrait la colonne inutile, puisque les lignes six et sept seraient alors identiques l’une à l’autre et que les lignes trois et quatre auraient l’air de n’avoir rien fait. C’est justement la paire à regarder en premier : 18/24 et 9/12 se réduisent toutes deux en 3/4, et les diviseurs derrière elles sont 6 et 3, donc les deux lignes sont identiques dans les troisième et quatrième colonnes et différentes dans la deuxième. Ces deux lignes sont l’argument pour imprimer le diviseur. La ligne un est le cas par défaut, qui réduit de loin. La ligne deux reste impropre, à 4/3. Les lignes trois et quatre ne peuvent pas être réduites du tout et rapportent un diviseur de 1, l’une supérieure à un et l’autre inférieure, puisque le fait d’être au plus simple n’a rien à voir avec la taille. La ligne cinq a un numérateur nul et rapporte le dénominateur comme diviseur. La ligne huit est une fraction de cent mille sur elle-même, qui se réduit en un 1 nu avec un diviseur tout en haut de la plage du champ, et c’est la seule ligne où la colonne du décimal et la réponse s’accordent sur le fait de valoir exactement 1. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.666667 plutôt que 0,666667), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte — et les milliers ne sont pas groupés (100000 plutôt que 100 000).

Formule

d = pgcd(n, D) n/D = (n ÷ d) / (D ÷ d) décimal = n ÷ D, arrondi à six décimales

Numérateur
Le haut de la fraction : 24 dans 24/36. Il peut être négatif ou nul. Un numérateur négatif garde son signe tout au long de la division — -18/24 ressort en -3/4 — parce que la fraction porte son signe en haut et jamais en bas.
Dénominateur
Le bas de la fraction : 36 dans 24/36. Il doit être positif et il ne peut pas être nul, sans quoi la fraction n’existe pas. Il est plafonné à cent mille, ce qui est une limite sur la taille que les deux nombres peuvent atteindre et non une règle sur les fractions.
Diviseur (d)
Le plus grand commun diviseur des deux nombres : 12 pour 24 et 36, 6 pour 18 et 24, et 1 pour une fraction qui ne peut pas être réduite du tout. C’est la lecture que cette page ajoute à celles que donnent tous les autres outils de fractions, et elle répond à deux questions d’un coup — combien a été retiré, et si quelque chose était retirable au départ. Quand le numérateur est nul, le diviseur est le dénominateur, qui est ce qui a réellement été divisé pour transformer 0/50 en 0.
Fraction simplifiée
Le résultat de la division des deux nombres par le diviseur : 2/3 pour 24/36. Elle est imprimée au plus simple par construction, et elle peut être une fraction impropre — 100/75 se réduit en 4/3 et reste 4/3 plutôt que de devenir un nombre mixte, parce que c’est une autre notation traitée sur une autre page.
Décimal
Le même nombre écrit en décimal : 0,666667 pour 2/3. Il est arrondi à six décimales, donc c’est une approximation chaque fois que la division ne tombe pas rond ; 2/3 s’écarte de la valeur exacte d’environ 3,3 × 10⁻⁷. La page montre ces six décimales parce que le décimal est une seconde lecture utile de la même grandeur, et non parce qu’elle prétend à la précision — une fraction dont le décimal se répète à l’infini, c’est la page de conversion en décimal qui l’explique.

Le premier usage est l’exercice : réduire une fraction au plus simple s’enseigne en même temps que les facteurs, et le diviseur est l’étape qui est notée, ce qui explique que cette page l’imprime au lieu de le cacher. Le deuxième est la vérification d’une réduction faite à la main — si votre diviseur n’est pas celui du panneau, l’une des deux fractions n’est pas l’autre. Le troisième est une fraction déjà au plus simple, où le panneau le dit avec un diviseur de 1 au lieu de vous laisser comparer la réponse à l’entrée. Le quatrième est une fraction dont la forme réduite est impropre, comme 100/75, où la réponse reste 4/3 et où le décimal au-dessus de 1 rend évident que rien n’a été perdu. Le cinquième est un décimal que vous avez déjà, où la troisième ligne vous dit ce que vaut la fraction sans refaire la division à la main.

Exemples détaillés

  1. 24/36

    1. Chercher le plus grand commun diviseur de 24 et 36 : les deux se divisent par 2, 3, 4, 6 et 12, et le plus grand est 12
    2. Diviser le numérateur : 24 ÷ 12 = 2
    3. Diviser le dénominateur : 36 ÷ 12 = 3
    4. La fraction réduite est 2/3, et 2 et 3 ne partagent aucun facteur autre que 1
    5. En décimal : 2 ÷ 3 = 0,666666…, soit 0,666667 à six décimales

    Le cas par défaut : une fraction qui se réduit de loin et retombe sur une paire réellement plus simple. Le diviseur est 12, et il vaut la peine de remarquer que 6 aurait fait une partie du chemin — 24/36 vers 4/6 — sans finir, ce qui explique que le panneau rapporte le plus grand commun diviseur et non un diviseur commun quelconque. Le décimal est arrondi : 2/3 vaut 0,666666… et ne se termine jamais, donc les six décimales montrées diffèrent de la valeur exacte à la septième. C’est une décision d’affichage, et la page qui explique quand une fraction se termine est une autre page.

  2. 100/75

    1. Chercher le plus grand commun diviseur de 100 et 75 : les deux se divisent par 25
    2. Diviser le numérateur : 100 ÷ 25 = 4
    3. Diviser le dénominateur : 75 ÷ 25 = 3
    4. La fraction réduite est 4/3, qui est supérieure à 1

    Une fraction impropre, que cette page imprime telle quelle : 4/3, et non 1 1/3. Réduire ne change pas le fait qu’une fraction soit impropre, et la transformer en un entier accompagné d’une fraction est le travail de la page des nombres mixtes — le faire ici donnerait un panneau portant deux notations différentes. À noter que la lecture décimale est le moyen le plus rapide de voir la taille de la réponse : 1,333333 dit que la grandeur dépasse un d’un tiers, ce que 4/3 dit aussi et de façon bien moins immédiate.

  3. 7/4

    1. Chercher le plus grand commun diviseur de 7 et 4 : 7 est premier et n’est pas un facteur de 4, donc le seul diviseur commun est 1
    2. Diviser par 1 laisse les deux nombres tels qu’ils étaient
    3. La fraction réduite est 7/4, identique à l’entrée
    4. En décimal : 7 ÷ 4 = 1,75 exactement

    Déjà au plus simple, et c’est le cas qui montre pourquoi le diviseur figure sur le panneau. Le résultat principal est l’entrée réécrite — 7/4 devient 7/4 — donc la réponse seule ne peut pas vous dire si la page a fait quelque chose. La ligne du diviseur affiche 1, ce qui est la page qui signale qu’elle a regardé et n’a rien trouvé à faire. Une lecture de 1 est ici une information et non un échec ; une lecture de 0 serait un défaut, puisque diviser par zéro n’est pas une réduction.

  4. 0/50

    1. Chercher le plus grand commun diviseur de 0 et 50 : tout nombre divise 0, donc le plus grand commun diviseur est 50, l’autre nombre
    2. Diviser les deux : 0 ÷ 50 = 0 et 50 ÷ 50 = 1
    3. La fraction réduite est 0/1, qui s’écrit 0 tout seul parce qu’un dénominateur de 1 ne s’écrit pas
    4. En décimal : 0

    Un numérateur nul se réduit jusqu’au néant, et le diviseur est 50 et non 1 — parce que 50 est ce par quoi les deux nombres ont réellement été divisés pour y arriver. C’est la même définition que partout ailleurs sur la page : le diviseur est ce qui a été retiré, pas ce qui aurait pu l’être. Le résultat principal s’imprime en 0 nu, sans dénominateur, la même convention que la notation fractionnaire utilise pour tout nombre entier.

  5. -18/24

    1. Chercher le plus grand commun diviseur de 18 et 24 : les deux se divisent par 6
    2. Diviser les deux nombres par 6 : 18 ÷ 6 = 3 et 24 ÷ 6 = 4, donc la fraction est -3/4
    3. Le signe reste sur le numérateur et le dénominateur reste positif
    4. En décimal : -3 ÷ 4 = -0,75

    Le cas qui fixe l’endroit où vit le signe. Le diviseur est 6 et non -6 : le plus grand commun diviseur est pris entre les deux valeurs absolues, donc il est toujours positif, et le signe moins n’en fait pas partie. La fraction réduite porte le signe sur le numérateur seulement, donc -18/24 vaut -3/4 et jamais 3/-4. La lecture décimale garde le signe elle aussi, ce qui est un moyen commode de confirmer que la réduction ne l’a pas perdu.

Limites

Le dénominateur doit être positif et ne peut pas être nul — une fraction dont le dénominateur est nul n’existe pas, et la page la refuse au lieu de renvoyer quelque chose. Le numérateur peut être négatif et peut être nul : 0/50 se réduit en un 0 nu. Les deux nombres doivent être des nombres entiers, et le dénominateur est plafonné à cent mille ; le numérateur n’a pas de plafond au-delà du point où l’arithmétique cesse d’être exacte, et un numérateur décimal est refusé. Le diviseur rapporté est le plus grand commun diviseur, qui est la réduction qui termine le travail, et non le premier diviseur commun qui vient à l’esprit — pour 24/36 c’est 12, et 6 laisserait 4/6 encore réductible. Les six décimales sont une largeur d’affichage et non une promesse : pour une fraction dont le décimal se répète, elles sont arrondies, et cette page ne dit ni si c’est le cas ni quelle est la longueur de la partie répétitive. Si cela compte, c’est la page de conversion en décimal qui répond à la question. La page simplifie une fraction et ne fait rien d’autre : elle n’additionne, ne soustrait, ne multiplie ni ne divise de fractions, elle ne convertit pas un décimal en fraction, et elle ne réduit pas un rapport comme 6 : 4. Ce dernier point ressemble à la même opération et n’en est pas une : le même diviseur est utilisé, mais la réponse s’écrit comme un rapport et les rapports peuvent porter des unités, ce qu’une fraction ne peut pas. La fraction réduite n’est pas convertie en nombre mixte non plus, donc un résultat supérieur à un reste impropre.

Questions fréquentes

Comment simplifier une fraction ?
Divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur. Pour 24/36, ce diviseur est 12, et la division des deux donne 2/3. Diviser par un diviseur commun plus petit, comme 6, donne 4/6 — un pas dans la bonne direction qui demande encore une réduction.
Comment savoir qu’une fraction est irréductible ?
Quand le seul nombre qui divise les deux parties est 1. Le panneau le dit directement : un diviseur de 1 signifie que rien n’a pu être retiré, donc la fraction simplifiée est imprimée exactement comme l’entrée. 7/4 et 1/2 sont tous deux de ce genre, et c’est pour cela que la ligne du diviseur existe au lieu de la seule ligne de réponse.
La réponse peut-elle être une fraction impropre ?
Oui. 100/75 se réduit en 4/3, qui est supérieure à un, et la page l’imprime sous la forme 4/3 plutôt qu’en nombre mixte. Réduire ne rend pas une fraction propre ou impropre, et transformer 4/3 en un entier accompagné d’une fraction est une autre notation, traitée par la page des nombres mixtes.
À quoi sert la ligne du décimal ?
Elle donne le même nombre sous la forme que réclament la plupart des outils et des tableurs. Elle est affichée à six décimales, donc pour une fraction comme 2/3, dont le décimal ne se termine jamais, ces décimales sont arrondies — 0,666667 plutôt que la vraie valeur répétitive. La question de savoir si une fraction se termine est traitée sur la page de conversion en décimal.
Puis-je réduire ici un rapport comme 6 : 4 ?
Non. Un rapport se réduit avec le même diviseur mais c’est une autre notation, avec une autre forme de réponse — 3 : 2 et non 3/2 — et les rapports peuvent porter des unités, ce qu’une fraction ne peut pas. Saisissez-le sur la page des rapports ; cette page-ci prend une fraction.
Que se passe-t-il avec un numérateur négatif ou nul ?
Un numérateur négatif garde son signe : -18/24 se réduit en -3/4, avec le diviseur rapporté comme 6 et non -6, puisque le plus grand commun diviseur est pris entre les deux valeurs absolues. Un numérateur nul se réduit en un 0 nu, et le diviseur est alors le dénominateur — 50 pour 0/50, parce que 50 est ce par quoi les deux parties ont été divisées.

Références

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