Calculatrice de produits de fractions

a/b × c/d = (a × c) / (b × d) Simplification en croix : diviser a et d par pgcd(a, d), et c et b par pgcd(c, b), avant de multiplier Puis réduire le produit

Premier numérateur

Le haut de la première fraction : 2 dans 2/3. Il se simplifie avec le dénominateur de l’autre fraction, pas avec le sien et pas avec l’autre numérateur. Il peut être négatif, et le signe l’accompagne à travers la simplification puis jusque dans la réponse.

Premier dénominateur

Le bas de la première fraction : 3 dans 2/3. Il doit être positif — une fraction porte son signe sur le numérateur, et c’est cette convention qui rend la simplification non ambiguë. Il se simplifie avec le numérateur de la seconde fraction.

Deuxième numérateur

Le haut de la seconde fraction : 3 dans 3/4. Il se simplifie avec le premier dénominateur, qui dans le cas par défaut est ce même 3, les deux disparaissent donc ensemble et les deux lectures simplifiées sortent plus simples.

Deuxième dénominateur

Le bas de la seconde fraction : 4 dans 3/4. Il se simplifie avec le premier numérateur — le 2 contre le 4 dans le cas par défaut — et il doit être positif pour la même raison que le premier dénominateur.

Simplification en croix

Diviser le numérateur d’une fraction et le dénominateur de l’autre par leur plus grand commun diviseur avant de multiplier. Les deux paires diagonales sont simplifiées, et l’intérêt de le faire d’abord est que le produit arrive déjà sous forme irréductible, sans longue division à la fin. Cela fonctionne parce que diviser un facteur et multiplier par le même nombre s’annulent.

Facteurs simplifiés

Les deux fractions telles qu’elles sont une fois les paires diagonales simplifiées : 1/1 et 1/2 dans le cas par défaut. Leur produit vaut la réponse, et c’est ainsi que le raccourci se vérifie — si les deux lectures ne se multiplient pas en le produit, c’est qu’un numérateur a été simplifié contre le mauvais partenaire. Elles sont affichées telles quelles, donc un facteur entièrement simplifié apparaît comme un 1 nu.

Produit avant réduction

Ce que donne la multiplication droit devant, sans aucune simplification : 6/12 pour le cas par défaut. C’est le même nombre que la réponse et une paire d’entiers bien plus grande, et elle est affichée pour que la différence entre les deux chemins soit visible plutôt qu’affirmée.

Le premier usage est l’exercice : la multiplication de fractions s’enseigne avant la division, et c’est l’opération où l’on introduit la simplification en diagonale, ce qui explique que le panneau affiche les deux facteurs simplifiés plutôt que la seule réponse. Le deuxième est la vérification d’un travail fait à la main — saisissez les deux fractions, lisez les facteurs simplifiés contre les vôtres, et s’ils diffèrent le produit différera aussi. Le troisième est un produit qui se réduit de loin, comme 99/100 fois 100/99, où multiplier droit devant donne 9 900 sur 9 900 tandis que la simplification en croix donne 1 sans aucun calcul. Le quatrième est une fraction négative, où le signe doit survivre à la simplification : −2/3 fois 3/4 font −1/2, et le signe appartient au numérateur qui le porte. Le cinquième est une fraction multipliée par un nombre entier, ce qui n’est rien d’autre que la seconde fraction écrite avec un dénominateur de 1 — 1/2 fois 2, c’est 1/2 fois 2/1 — et la page l’accepte sans cas particulier.

1. 2/3 × 3/4

   1. Simplifier les diagonales : 2 contre 4 partagent un facteur 2, ce qui donne 1 et 2 ; 3 contre 3 partagent 3, ce qui donne 1 et 1
   2. Les deux facteurs valent maintenant 1/1 et 1/2
   3. Multiplier droit devant : (1 × 1) ÷ (1 × 2) = 1/2
   4. Sans simplifier, on aurait eu (2 × 3) ÷ (3 × 4) = 6/12, qui est le même nombre

   Le cas par défaut, et celui qui montre ce que la simplification en croix rapporte : les deux chemins produisent 1/2 et 6/12, la même valeur, et un seul des deux est déjà sous forme irréductible. Notez que le premier facteur simplifié s’affiche en 1 nu plutôt qu’en 1/1 — tous ses nombres se sont simplifiés, et un dénominateur de 1 s’écrit sans dénominateur. La vérification est dans les deux dernières lectures : multipliez-les et vous obtenez la réponse, 1 × 1/2 = 1/2.

2. 7/8 × 4/5

   1. Simplifier les diagonales : 7 contre 5 ne partagent rien, les deux restent donc ; 4 contre 8 partagent 4, ce qui donne 1 et 2
   2. Les deux facteurs valent maintenant 7/2 et 1/5
   3. Multiplier droit devant : (7 × 1) ÷ (2 × 5) = 7/10
   4. Sans simplifier : (7 × 4) ÷ (8 × 5) = 28/40, le même nombre avec des entiers plus grands

   Le cas où une seule des deux diagonales se simplifie : 7 et 5 sont premiers entre eux, cette paire traverse donc la simplification sans être touchée et le premier facteur garde un dénominateur de 2, tandis que l’autre diagonale se simplifie entièrement et que le second facteur tombe à 1/5. La moitié du travail de la simplification en croix consiste à reconnaître qu’il n’y a rien à faire, et c’est pourquoi une lecture qui revient inchangée est une information et non un échec. La réponse 7/10 est déjà sous forme irréductible, et la ligne non réduite 28/40 montre ce que le chemin long aurait rendu.

3. 99/100 × 100/99

   1. Simplifier les diagonales : 99 contre 99 partagent 99, ce qui donne 1 et 1 ; 100 contre 100 partagent 100, ce qui donne 1 et 1
   2. Les deux facteurs valent maintenant 1/1
   3. Multiplier droit devant : 1 × 1 = 1
   4. Sans simplifier : (99 × 100) ÷ (100 × 99) = 9 900 sur 9 900, ce qui vaut aussi 1

   Une fraction multipliée par son propre inverse, et le cas qui montre combien le raccourci fait gagner : le chemin long construit 9 900 sur 9 900 puis doit le réduire à 1, tandis que la simplification en croix n’écrit jamais ni l’un ni l’autre de ces nombres. Les deux lectures reviennent en 1 nu parce que les deux facteurs se sont simplifiés entièrement, ce qui est la forme que prend un inverse dans cette notation. C’est aussi l’illustration la plus claire de la raison pour laquelle la simplification fonctionne — le 99 et le 100 sont chacun multipliés puis divisés par la même quantité.

4. −2/3 × 3/4

   1. Simplifier les diagonales : −2 contre 4 partagent un facteur 2, ce qui donne −1 et 2 ; 3 contre 3 partagent 3, ce qui donne 1 et 1
   2. Les deux facteurs valent maintenant −1/1 et 1/2
   3. Multiplier droit devant : (−1 × 1) ÷ (1 × 2) = −1/2
   4. Le signe appartient au numérateur d’un bout à l’autre

   Une fraction négative, où le signe voyage avec le numérateur à travers la simplification : −2 et 4 partagent un facteur 2, et ce qui reste est −1 et 2, le moins est donc toujours là après la simplification au lieu d’avoir été emporté avec le facteur. Notez que le dénominateur reste positif sur chaque ligne — une fraction porte son signe en haut, et c’est exactement la convention qui garde la simplification non ambiguë. Un facteur négatif donne un produit négatif ; deux facteurs négatifs en auraient donné un positif.

5. 1/2 × 2

   1. Écrire le nombre entier sous forme de fraction : 2 vaut 2/1
   2. Simplifier les diagonales : 1 contre 1 ne partagent rien ; 2 contre 2 partagent 2, ce qui donne 1 et 1
   3. Multiplier droit devant : 1 × 1 = 1
   4. Un demi de deux vaut donc un

   Un nombre entier, qui n’a besoin d’aucun cas particulier : 2 vaut 2/1, la page le traite donc comme n’importe quelle fraction et la simplification en diagonale trouve le 2 contre le 2. Sans cette étape le produit vaudrait 2/2 et devrait encore être réduit, ce qui est la différence que le raccourci fait sur un exemple aussi petit. La réponse sort en 1 nu plutôt qu’en 1/1, par la même convention que partout ailleurs sur la page : un dénominateur de un ne s’écrit pas.

Les deux dénominateurs doivent être positifs, puisqu’une fraction porte son signe sur le numérateur — et cette convention travaille réellement ici, parce que la simplification apparie les nombres en diagonale et deviendrait ambiguë si l’un des dénominateurs pouvait être négatif. Les numérateurs peuvent être négatifs, et le signe se retrouve dans la réponse. Les quatre nombres sont limités en taille : les numérateurs et les dénominateurs sont plafonnés chacun à environ quatre-vingt-quatorze millions, qui est la plus grande valeur pour laquelle les deux numérateurs multipliés entre eux tombent encore sur un entier représentable exactement. Un produit au-delà serait silencieusement inexact, la page refuse donc la saisie plutôt que d’afficher un nombre qui a l’air juste. Zéro est accepté dans un numérateur — le produit vaut alors zéro, et les deux facteurs simplifiés reviennent comme zéro sur quelque chose — mais un dénominateur nul ne l’est pas, puisque la fraction n’existerait pas. La page multiplie deux fractions et rien d’autre : elle n’additionne pas, ne soustrait pas, ne divise pas, et elle ne traite pas un nombre fractionnaire écrit sous forme d’un entier suivi d’une fraction, qu’il faut d’abord convertir en fraction impropre. Enfin, la réponse est sous forme irréductible tandis que les lectures des facteurs ne le sont pas nécessairement : un facteur simplifié peut encore s’afficher comme 2/2 si ses propres nombres se trouvent partager un facteur, et c’est la lecture qui dit honnêtement ce que la simplification a fait, et non la réponse qui serait fausse.

Comment multiplier deux fractions ?

Multipliez les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. 2/3 fois 3/4 font (2 × 3) sur (3 × 4), soit 6/12, et 6/12 se réduit en 1/2. Aucun dénominateur commun n’est nécessaire, contrairement à l’addition — c’est la seule chose qui rende la multiplication de fractions plus facile que leur addition.

Qu’est-ce que la simplification en croix ?

C’est diviser un numérateur et le dénominateur situé en diagonale face à lui par leur plus grand commun diviseur, avant de multiplier. Dans 2/3 fois 3/4, le 2 se simplifie avec le 4 et le 3 se simplifie avec l’autre 3, ce qui laisse 1/1 fois 1/2 — déjà la réponse. Cela fonctionne parce que diviser un facteur et multiplier par le même nombre s’annulent.

Quels nombres se simplifient — ceux d’en face ou ceux du dessous ?

Toujours ceux d’en face, en diagonale : chaque numérateur face au dénominateur de l’autre fraction. Les deux numérateurs se multiplient entre eux, ils ne se simplifient pas l’un contre l’autre, et les deux dénominateurs non plus. Simplifier la mauvaise paire donne une réponse fausse plutôt qu’aucune réponse, et c’est pourquoi les deux facteurs simplifiés sont affichés sur le panneau.

Suis-je obligé de simplifier en croix ?

Non, et la page montre les deux chemins : 6/12 et 1/2 sont le même nombre. Ce que la simplification en croix apporte, c’est que le produit arrive sous forme irréductible, sans étape de réduction à la fin — sur 99/100 fois 100/99, le raccourci donne 1 tandis que le chemin long écrit d’abord 9 900 sur 9 900.

Puis-je multiplier une fraction par un nombre entier ?

Oui. Écrivez le nombre entier sur 1 — 2 devient 2/1 — et c’est alors une multiplication ordinaire. 1/2 fois 2, c’est 1/2 fois 2/1, les deux 2 se simplifient en diagonale, et la réponse est 1. Il n’y a aucune règle particulière pour les nombres entiers.

Et les fractions négatives ?

Le signe appartient au numérateur et voyage avec lui. −2/3 fois 3/4 font −1/2 : le −2 se simplifie avec le 4 pour laisser −1 et 2, le moins survit donc à la simplification. Les dénominateurs restent positifs d’un bout à l’autre, et c’est la convention qui rend l’appariement diagonal non ambigu.

Pourquoi l’un des facteurs simplifiés s’affiche-t-il en 1 nu ?

Parce que tout s’y est simplifié. Quand un numérateur et le dénominateur opposé partagent tous leurs facteurs, il reste 1 sur 1, et un dénominateur de 1 s’écrit sans dénominateur — la même convention que partout ailleurs sur la page. Un 1 nu est un facteur qui a été entièrement simplifié, et non une lecture manquante.

• Fraction — the quotient of two integers written with a numerator and a denominator, and the arithmetic of multiplying two of them — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the form the answer on this page is printed in and the form the unreduced line has to be reduced to — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing two given integers, which is the number each diagonal pair is divided by before the multiplication — Wolfram MathWorld (United States)
• Relatively Prime — two integers with no common factor greater than one, the case in which a diagonal pair has nothing to cancel and passes through unchanged — Wolfram MathWorld (United States)
• Improper Fraction — a fraction whose numerator is at least its denominator, which is what a whole number written as a fraction over 1 always is — Wolfram MathWorld (United States)