Calculatrice de différence de fractions

a/b − c/d = (a × (L ÷ b) − c × (L ÷ d)) ÷ L où L = ppcm(b, d), le plus petit commun multiple des deux dénominateurs Puis réduire la différence

Premier numérateur

Le haut de la fraction dont on soustrait : 3 dans 3/4. Il est multiplié par le nombre de fois que son propre dénominateur entre dans le dénominateur commun — par 3, dans le cas par défaut, ce qui transforme 3/4 en 9/12. Il peut être négatif, et le signe voyage avec lui.

Premier dénominateur

Le bas de la première fraction : 4 dans 3/4. Il doit être positif, et c’est l’un des deux nombres dont le plus petit commun multiple devient le dénominateur commun. Il reste dans le panneau tel qu’il a été saisi, pour que la réécriture puisse être vérifiée contre lui.

Deuxième numérateur

Le haut de la fraction retirée : 1 dans 1/6. Son multiplicateur est différent de celui du premier — 2 dans le cas par défaut, ce qui donne 2/12 — et cette asymétrie est exactement ce que montrent les deux lectures converties.

Deuxième dénominateur

Le bas de la deuxième fraction : 6 dans 1/6. Avec le premier dénominateur, il fixe le dénominateur commun à 12. Il doit être positif pour la même raison que le premier.

Dénominateur commun (L)

Le plus petit commun multiple des deux dénominateurs : 12 pour 4 et 6, et 77 pour la paire première entre elle 7 et 11, où il tombe effectivement sur le produit simple. Il se calcule comme un dénominateur divisé par le plus grand commun diviseur des deux, multiplié par l’autre, ce qui donne le même nombre par un chemin qui ne déborde pas. Il est imprimé sur sa propre ligne parce que c’est le nombre autour duquel toute la méthode tourne, et parce qu’un dénominateur commun plus grand que nécessaire est l’erreur de calcul la plus fréquente sur cette opération.

Fractions converties

Les deux fractions une fois toutes deux réécrites sur le dénominateur commun : 9/12 et 2/12 dans le cas par défaut. Elles sont imprimées telles qu’elles ont été converties et non réduites, puisque les réduire cacherait le multiplicateur qui a fait le travail. La soustraction a lieu entre ces deux numérateurs.

Différence

Ce qui reste après la soustraction des deux numérateurs convertis : 9 − 2 = 7 sur 12. Elle est imprimée au plus simple, donc elle peut différer de ce que la soustraction des numérateurs convertis a donné — 5/6 moins 1/3 laisse 3/6, qui s’imprime 1/2 — et elle s’effondre en un 0 nu quand les deux fractions sont égales.

Le premier usage est l’exercice lui-même, qui s’enseigne dès que les dénominateurs diffèrent, et le panneau est disposé autour de la procédure du manuel : trouver le dénominateur commun, convertir, soustraire, réduire. Le deuxième est la vérification d’un travail fait à la main, où les deux lectures converties sont la partie utile — si les vôtres ne sont pas celles-ci, tout ce qui suit diffère aussi. Le troisième est une paire de dénominateurs qui partagent un facteur, comme 4 et 6, où le dénominateur commun est plus petit que le produit et où le panneau montre l’économie réalisée. Le quatrième est une paire de dénominateurs premiers entre eux comme 7 et 11, l’autre extrême : rien n’est partagé, le dénominateur commun est le produit, et la réponse arrive en général déjà au plus simple. Le cinquième est une paire de fractions égales, où la différence est nulle et où le panneau l’imprime en 0 nu — la seule lecture de cette page qui ne soit pas une fraction. Elle n’additionne, ne multiplie ni ne divise, et elle ne prend pas les nombres mixtes ; ce sont trois autres pages.

1. 3/4 − 1/6

   1. Chercher le dénominateur commun : le plus petit commun multiple de 4 et de 6 est 12, et non 24, parce que les deux divisent 12 et que 4 × 6 a compté deux fois leur facteur partagé 2
   2. Convertir la première fraction : 12 ÷ 4 = 3, donc 3/4 devient (3 × 3)/(4 × 3) = 9/12
   3. Convertir la deuxième fraction : 12 ÷ 6 = 2, donc 1/6 devient (1 × 2)/(6 × 2) = 2/12
   4. Soustraire les numérateurs sur le dénominateur commun : 9 − 2 = 7, ce qui donne 7/12
   5. 7 et 12 ne partagent rien, donc 7/12 est déjà au plus simple

   Le cas par défaut, et celui qui montre pourquoi le dénominateur commun n’est pas simplement le produit : 4 et 6 divisent tous deux 12, et 12 est le plus petit nombre que les deux divisent, donc les douzièmes suffisent et les vingt-quatrièmes auraient été deux fois plus de travail. Les deux lectures converties en sont la preuve — 9/12 et 2/12 ont le même dénominateur, ce qui est exactement ce qui rend la soustraction légitime. Remarquez que les nombres convertis sont imprimés tels qu’ils ont été convertis et non réduits : 2/12 pourrait s’écrire 1/6, mais le multiplicateur qui l’a produit disparaîtrait alors, et ce multiplicateur est l’étape que l’on montre.

2. 5/6 − 1/3

   1. Chercher le dénominateur commun : 3 divise 6, donc le plus petit commun multiple est 6
   2. La première fraction n’a pas besoin d’être convertie : 6 ÷ 6 = 1, donc elle reste 5/6
   3. Convertir la deuxième : 6 ÷ 3 = 2, donc 1/3 devient 2/6
   4. Soustraire : 5 − 2 = 3 sur 6, ce qui donne 3/6
   5. Réduire : le plus grand commun diviseur de 3 et de 6 est 3, donc 3/6 = 1/2

   Le cas qui montre qu’un dénominateur commun ne termine pas le travail. La différence des numérateurs convertis est 3/6, et 3/6 n’est pas la réponse — la réponse est 1/2, parce que 3 et 6 partagent encore un facteur. Une méthode qui s’arrête au dénominateur commun imprime 3/6 ici et se trompe d’une façon que la page ne peut pas voir, ce qui explique que cette ligne figure dans le tableau et dans les exemples plutôt que d’être laissée au hasard. Notez aussi que l’une des deux lectures converties est inchangée : quand un dénominateur divise l’autre, une seule fraction doit être réécrite, et la lecture qui revient telle qu’elle est entrée est le compte rendu honnête de cela.

3. 1/7 − 1/11

   1. Chercher le dénominateur commun : 7 et 11 ne partagent aucun facteur, donc le plus petit commun multiple est leur produit, 77
   2. Convertir la première fraction : 77 ÷ 7 = 11, donc 1/7 devient 11/77
   3. Convertir la deuxième : 77 ÷ 11 = 7, donc 1/11 devient 7/77
   4. Soustraire : 11 − 7 = 4 sur 77, ce qui donne 4/77
   5. 4, 7 et 11 ne partagent aucun facteur commun, donc 4/77 est déjà au plus simple

   L’autre extrême du dénominateur commun : deux dénominateurs qui n’ont rien en commun, donc le plus petit commun multiple est bel et bien le produit et les deux fractions doivent être réécrites. C’est le cas où ceux qui sautent le plus petit commun multiple et multiplient toujours les dénominateurs obtiennent la même réponse — et la raison pour laquelle il vaut quand même la peine de le montrer est que l’exemple précédent, 4 et 6, est celui qu’ils ratent. Notez que la réponse est 4/77 et non quelque chose comme 4/77 réduite : des dénominateurs premiers entre eux ne garantissent pas une réponse réduite, ils la rendent seulement probable, et la réduction est faite sur le résultat quoi qu’il arrive.

4. 5/8 − 3/4

   1. Chercher le dénominateur commun : 4 divise 8, donc le plus petit commun multiple est 8
   2. La première fraction reste : 8 ÷ 8 = 1, ce qui donne 5/8
   3. Convertir la deuxième : 8 ÷ 4 = 2, donc 3/4 devient 6/8
   4. Soustraire : 5 − 6 = -1 sur 8, ce qui donne -1/8

   Les deux fractions sont positives et la réponse ne l’est pas : soustraire une fraction plus grande d’une plus petite emmène le résultat de l’autre côté de zéro, et le panneau le dit avec un signe moins au lieu de refuser la saisie. Le dénominateur commun est 8 et les deux lectures converties sont 5/8 et 6/8, ce qui rend l’issue évidente avant même que la soustraction soit faite — le deuxième numérateur est le plus grand. Le signe vit sur le numérateur et nulle part ailleurs : la réponse est -1/8, et non 1/-8, et le dénominateur reste positif sur chaque ligne du panneau.

5. 1/2 − 1/2

   1. Les dénominateurs sont égaux, donc le plus petit commun multiple est ce dénominateur, 2
   2. Aucune des deux fractions n’a besoin d’être convertie : les deux sont déjà écrites sur 2
   3. Soustraire : 1 − 1 = 0 sur 2, ce qui donne 0/2
   4. Réduire : le plus grand commun diviseur de 0 et de 2 est 2, donc 0/2 devient 0/1, qui s’écrit 0 tout seul

   Le cas où la réponse n’est pas une fraction du tout. Des fractions égales ont une différence nulle, et zéro se réduit en 0/1, que la notation fractionnaire écrit sans dénominateur — donc le résultat principal est un 0 nu tandis que la ligne du dénominateur commun affiche encore 2 et que les deux lectures converties affichent encore 1/2. C’est tout l’intérêt : les deux entrées étaient de vraies fractions et la méthode a réellement tourné, et seul le résultat s’est effondré. C’est aussi le seul endroit où le panneau diffère de la même soustraction faite sur la page d’addition, où une somme ne s’effondre que lorsqu’elle atteint un nombre entier.

Les deux dénominateurs doivent être positifs, parce qu’une fraction porte son signe sur le numérateur — et les lectures converties en dépendent, puisque chaque numérateur est multiplié par un nombre entier de fois et que le signe doit rester au même endroit. Les numérateurs peuvent être négatifs, et la différence peut être négative alors même que les deux entrées sont positives : 5/8 − 3/4 vaut -1/8, qui est une réponse correcte et non une erreur. Les nombres sont limités en taille. Chaque dénominateur est plafonné à cent mille, et chaque numérateur à environ 4,5 × 10¹⁰, qui est la plus grande valeur pour laquelle les deux numérateurs convertis tombent encore sur des nombres entiers représentables exactement. Au-delà, la soustraction serait inexacte sans le dire, donc la page refuse la saisie au lieu d’imprimer un nombre qui a l’air juste. Seuls des nombres entiers sont acceptés dans les quatre cases — un numérateur décimal est refusé, et la page renvoie à la page de conversion des décimaux en fractions. Zéro est accepté dans un numérateur : il se convertit en 0 sur le dénominateur commun comme n’importe quoi d’autre. La page soustrait deux fractions et rien d’autre : elle n’additionne, ne multiplie ni ne divise, et elle ne prend pas un nombre mixte écrit comme un entier accompagné d’une fraction, qu’il faut d’abord transformer en fraction impropre — c’est le rôle de la page des nombres mixtes. Les lectures intermédiaires sont ici délibérément différentes de celles de la calculatrice de fractions et de la page des nombres mixtes : ces deux-là multiplient les dénominateurs en croix et impriment le produit avant de réduire, tandis que cette page-ci cherche le plus petit commun multiple et imprime les deux fractions converties. La même soustraction montre donc 9/12 et 2/12 ici et une autre paire d’intermédiaires là-bas, et les réponses concordent. Enfin, la réponse est toujours réduite mais les lectures converties ne le sont pas — une fraction convertie peut s’imprimer comme 6/8, et c’est la lecture qui enregistre la conversion et non une réduction oubliée.

Comment soustraire des fractions qui n’ont pas le même dénominateur ?

Réécrivez les deux fractions sur un dénominateur commun, puis soustrayez les numérateurs et gardez ce dénominateur. 3/4 moins 1/6 devient 9/12 moins 2/12, ce qui fait 7/12. Multiplier les deux dénominateurs donne toujours un dénominateur commun utilisable, et prendre le plus petit commun multiple en donne un plus petit.

Pourquoi le dénominateur commun de 3/4 et de 1/6 est-il 12 et non 24 ?

Parce que 12 est le plus petit nombre que 4 et 6 divisent tous les deux. Multiplier 4 par 6 compte deux fois le facteur 2 que les deux dénominateurs partagent, ce qui double tous les nombres du calcul. Les vingt-quatrièmes mèneraient à la même réponse avec deux fois plus d’arithmétique — le panneau imprime le plus petit pour que les multiplicateurs restent petits.

Faut-il encore réduire après avoir trouvé le dénominateur commun ?

Oui. Un dénominateur commun rend la soustraction possible, il ne rend pas le résultat irréductible. 5/6 moins 1/3 fait 5/6 moins 2/6, ce qui fait 3/6, et 3/6 vaut 1/2. La page réduit la différence et laisse les deux lectures converties telles qu’elles ont été converties, de sorte que les deux faits restent visibles.

La réponse peut-elle être négative ?

Oui. 5/8 moins 3/4 fait 5/8 moins 6/8, ce qui fait -1/8 : soustraire une fraction plus grande d’une plus petite emmène le résultat sous zéro, et c’est une vraie réponse et non une erreur. Le signe se place sur le numérateur, donc la réponse s’écrit -1/8 et jamais comme une fraction à dénominateur négatif.

Que se passe-t-il quand les deux fractions sont égales ?

La différence est nulle. 1/2 moins 1/2 se convertit en 1/2 moins 1/2, les numérateurs se soustraient en 0, et 0 sur 2 se réduit en 0 sur 1 — qui s’écrit 0 tout seul, sans dénominateur. La ligne du dénominateur commun affiche malgré tout 2, parce que la méthode a réellement tourné.

Puis-je soustraire des nombres mixtes ici ?

Non. Cette page prend quatre nombres entiers qui font deux fractions, donc un nombre mixte comme 4 1/2 doit être transformé en fraction impropre — 9/2 — avant de pouvoir être saisi, et cette conversion est le travail de la page des nombres mixtes. L’addition, la multiplication et la division sont trois autres pages également.

• Fraction — the quotient of two integers written with a numerator and a denominator, and the arithmetic of subtracting two of them — Wolfram MathWorld (United States)
• Least Common Multiple — the smallest positive integer divisible by two given integers, which is the common denominator this page converts both fractions to — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing two given integers, used here both to find the least common multiple and to reduce the difference — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the form the difference is printed in and not the form the converted readings are printed in — Wolfram MathWorld (United States)
• Relatively Prime — two integers with no common factor greater than one, the case in which the common denominator is the plain product of the two denominators — Wolfram MathWorld (United States)