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Calculatrice de nombres mixtes

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Résultat

3 3/4

Nombre fractionnaire

Fraction impropre
15/4
Avant simplification
30/8

Une calculatrice de nombres fractionnaires fait de l’arithmétique sur des nombres écrits à l’école — un entier et une fraction côte à côte, comme 2 1/4 — et rend la réponse de la même façon. Ajouter 2 1/4 et 1 1/2 donne 3 3/4. Trois lectures s’affichent ensuite, et le panneau montre là quelque chose qu’une calculatrice de fractions ne montre pas : le même résultat écrit de trois manières différentes. La première ligne est la réponse sous forme de nombre fractionnaire, qui est la forme sous laquelle la question est arrivée et celle sous laquelle la réponse est habituellement attendue. La deuxième est cette même réponse sous forme de fraction impropre — 15/4 —, ce que le correcteur cherchera dans le détail du calcul, puisque c’est l’étape par laquelle le nombre fractionnaire doit passer pour devenir une seule fraction. La troisième est le produit avant toute simplification : 30/8, la sortie brute de l’arithmétique, pour que l’étape de réduction soit visible au lieu d’être admise sur parole. Il y a une seule règle de signe, et elle découle de la façon dont la notation se lit : le moins de −1 1/2 appartient à l’ensemble, parce que −1 1/2 veut dire moins un et demi, et non moins un plus un demi. C’est donc la partie entière qui porte le signe, et la fraction posée dessus ne porte qu’une grandeur. C’est aussi pourquoi le champ du numérateur n’accepte pas de signe moins : 1 −1/2 se lirait de deux façons, et une page qui en choisit une en silence vaut moins qu’une page qui vous demande d’écrire ce que vous voulez dire. Une chose à savoir sur la notation elle-même — la forme côte à côte est réellement ambiguë, et les mathématiciens la lisent comme une multiplication. Écrivez 2 1/4 dans une expression algébrique et cela dit deux fois un quart, ce qui n’est pas ce que vous vouliez dire. Cette page imprime quand même cette notation, parce que c’est celle sur laquelle vous posez la question, et elle garde la forme non ambiguë sur la deuxième ligne, juste à côté. On les appelle aussi nombres mixtes, et c’est sous ce nom qu’on les cherche le plus souvent.

Huit calculs avec des nombres fractionnaires

Premier nombreDeuxième nombreOpérationRésultat
2 1/41 1/2+3 3/4
3 1/21 3/4−1 3/4
1 2/32 1/4×3 3/4
2 1/21 1/4÷2
-1 1/22 1/4+3/4
1 1/24 0/1−-2 1/2
1 1/31 1/3÷1
1 1/22 4/1×9

Chaque ligne suit les mêmes quatre étapes — convertir, opérer, réduire, reconvertir — sur une paire de nombres fractionnaires différente, et les quatre colonnes sont les deux entrées, le signe de l’opération et la réponse sous forme fractionnaire. Les quatre premières lignes sont les quatre opérations sur les mêmes petits nombres, l’effet de l’opérateur se lit donc directement dans la dernière colonne : l’addition donne 3 3/4, la soustraction donne 1 3/4, la multiplication redonne 3 3/4, et la division donne 2. Deux des quatre tombent sur la même réponse, ce qui rappelle que ce sont réellement des questions différentes qui partagent ici un résultat par hasard. La cinquième ligne a un premier nombre négatif, où le signe appartient au nombre fractionnaire entier et où la conversion multiplie la partie entière par le dénominateur ; la réponse est inférieure à un, la forme fractionnaire renonce donc et affiche une simple fraction. La sixième ligne soustrait un nombre entier écrit 4 0/1, et la réponse est négative, imprimée avec le moins devant le nombre fractionnaire entier : −2 1/2. La septième ligne divise un nombre par lui-même et obtient 1 — la fraction survit à tout le calcul puis se simplifie complètement. La huitième ligne multiplie un et demi par un nombre entier écrit en toutes lettres, 2 4/1, qui vaut 2 + 4 et donc 6 ; le produit vaut 9, un entier où il ne reste aucune fraction. Lisez la dernière colonne de haut en bas : la forme fractionnaire n’est jamais plus compliquée que les entrées, et elle s’effondre en simple fraction ou en entier nu chaque fois que la réponse n’a pas besoin de partie entière.

Formule

Numérateur impropre = |partie entière| × dénominateur + numérateur Puis : a/b + c/d = (a×d + c×b) / (b×d) b/d × c/f = (b×c) / (d×f)

Partie entière
L’entier devant la fraction, dans l’un ou l’autre des nombres fractionnaires : 2 dans 2 1/4, ou 1 dans 1 1/2. Elle peut être négative, et quand elle l’est, le moins appartient au nombre fractionnaire entier — −1 1/2 vaut moins un et demi, et non moins un demi. C’est elle qui porte le signe.
Numérateur
Le haut de la fraction, dans l’un ou l’autre des nombres fractionnaires : 1 dans 2 1/4. Il doit valoir zéro ou plus : un signe moins à cet endroit rendrait le nombre fractionnaire ambigu, la page le refuse donc plutôt que de choisir une lecture à votre place.
Dénominateur
Le bas de la fraction, dans l’un ou l’autre des nombres fractionnaires : 4 dans 2 1/4. Il doit être positif, pour la même raison que le dénominateur d’une fraction l’est toujours — le signe vit sur le numérateur, et il n’y a qu’un seul endroit où le mettre.
Opération
Addition, soustraction, multiplication ou division. Les quatre passent par la même conversion, le choix ne décide donc que de la combinaison de numérateurs et de dénominateurs formée à la fin.
Nombre fractionnaire
La lecture principale : le résultat écrit comme un entier suivi d’une fraction. 15/4 s’affiche 3 3/4. Quand le résultat est un nombre entier, la fraction disparaît entièrement, et quand il est inférieur à un, c’est la partie entière qui disparaît — 3/4 ne porte pas de 0 devant lui.
Fraction impropre
Le même résultat sous forme d’une seule fraction irréductible, 15/4. Elle est exacte, et c’est la forme sous laquelle le nombre fractionnaire doit être mis avant de pouvoir être additionné, soustrait, multiplié ou divisé par quoi que ce soit.
Avant simplification
Le résultat de l’arithmétique avant toute simplification : 30/8 dans le cas par défaut. Elle est là pour que le détail du calcul soit visible — 30/8 et 15/4 sont le même nombre, et la deuxième ligne est à quoi ressemble ce nombre une fois mis sous forme irréductible.

Le premier usage est le devoir maison, et c’est la raison d’être de la deuxième ligne : les nombres fractionnaires doivent être convertis avant qu’on puisse opérer sur eux, donc une question posée sous cette forme se résout en passant par la forme impropre, et les deux sont affichées. Le deuxième est la vérification d’un travail déjà fait, où saisir les deux nombres fractionnaires et comparer la troisième ligne à ce que vous avez écrit montre si l’arithmétique brute était juste avant toute simplification. Le troisième est la soustraction à travers zéro : 1 1/2 moins 4 donne −2 1/2, et la convention de signe compte surtout dans ces cas-là. Le quatrième est une division qui tombe juste — 2 1/2 divisé par 1 1/4 donne 2, et la fraction n’est simplement pas là dans la réponse, ce qui vaut la peine d’être vu une fois. Le cinquième est toute recette ou toute mesure qui arrive sous forme fractionnaire et qu’il faut doubler, diviser par deux ou mettre à l’échelle : doubler 2 1/4 revient à le multiplier par 2 0/1, et le quatrième champ accepte cette écriture — multiplier deux fractions y multiplie simplement les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, sans jamais chercher de dénominateur commun.

Exemples détaillés

  1. 2 1/4 + 1 1/2

    1. Vers la forme impropre : 2 1/4 vaut 2 × 4 + 1 = 9, donc 9/4 ; et 1 1/2 vaut 1 × 2 + 1 = 3, donc 3/2
    2. Addition en croix : (9 × 2 + 3 × 4) ÷ (4 × 2) = (18 + 12) ÷ 8 = 30/8
    3. Réduction : 30/8 se divise par 2, ce qui donne 15/4
    4. Retour à la forme fractionnaire : 15 ÷ 4 font 3 et il reste 3, donc 3 3/4

    Le cas par défaut, et celui qui montre pourquoi trois lectures sont affichées plutôt qu’une : 30/8, 15/4 et 3 3/4 sont le même nombre à trois étapes différentes. La première étape est la conversion sur laquelle toute la page est bâtie — la partie entière multipliée par le dénominateur puis ajoutée au numérateur — et la dernière la défait, ce qui explique que la réponse revienne sous la forme sous laquelle la question était posée. Lire les quatre étapes est aussi la vérification : si la fraction irréductible et le nombre fractionnaire ne s’accordent pas, l’une des deux a été mal imprimée.

  2. 3 1/2 − 1 3/4

    1. Vers la forme impropre : 3 1/2 vaut 3 × 2 + 1 = 7, donc 7/2 ; et 1 3/4 vaut 1 × 4 + 3 = 7, donc 7/4
    2. Soustraction en croix : (7 × 4 − 7 × 2) ÷ (2 × 4) = (28 − 14) ÷ 8 = 14/8
    3. Réduction : 14/8 se divise par 2, ce qui donne 7/4
    4. Retour à la forme fractionnaire : 7 ÷ 4 font 1 et il reste 3, donc 1 3/4

    Une soustraction, où les parties entières sont soustraites à travers la même conversion plutôt que séparément : 3 moins 1 donnerait 2, et la réponse est 1 3/4, parce que les fractions reprennent plus d’une unité entière. Faire d’abord la soustraction sur les parties entières est l’erreur que cette forme est faite pour attraper, et un regard sur la ligne réduite suffit à le voir — 7/4 est inférieur à 2, la réponse ne peut donc pas être 2 et quelque chose. Notez que le numérateur sort positif ici ; quand il sort négatif, le signe se place devant le nombre fractionnaire entier.

  3. 1 2/3 × 2 1/4

    1. Vers la forme impropre : 1 2/3 vaut 1 × 3 + 2 = 5, donc 5/3 ; et 2 1/4 vaut 2 × 4 + 1 = 9, donc 9/4
    2. Multiplication en croix : (5 × 9) ÷ (3 × 4) = 45/12
    3. Réduction : 45/12 se divise par 3, ce qui donne 15/4
    4. Retour à la forme fractionnaire : 15 ÷ 4 font 3 et il reste 3, donc 3 3/4

    La multiplication est la seule opération où les nombres fractionnaires n’ont besoin d’être alignés d’aucune façon : 45/12 et sa forme réduite 15/4 sont le même nombre, et l’on y arrive dans les deux cas en multipliant les numérateurs et les dénominateurs droit devant. Notez que la même réponse, 3 3/4, est aussi sortie du cas d’addition par défaut — question différente, résultat identique, ce qui est une coïncidence entre ces deux exemples et un rappel qu’il faut lire les champs plutôt que la réponse. Notez aussi que la troisième ligne, 45/12, est le plus grand nombre de la page : le produit brut de deux fractions est toujours plus grand que sa forme réduite.

  4. 2 1/2 ÷ 1 1/4

    1. Vers la forme impropre : 2 1/2 vaut 5/2, et 1 1/4 vaut 5/4
    2. Division en retournant la seconde : (5 × 4) ÷ (2 × 5) = 20/10
    3. Réduction : 20/10 vaut 2
    4. La forme fractionnaire de 2 est simplement 2 — il ne reste aucune fraction à écrire

    Une division qui tombe juste, et le cas qui montre la notation fractionnaire en train de renoncer : 2 s’affiche 2, et non 2 0/1, parce qu’un numérateur nul n’a rien à écrire au-dessus de la barre. L’arithmétique elle-même est la même conversion que partout ailleurs, avec la seconde fraction retournée — 20/10 se réduit à 2, et la ligne brute est là pour qu’on voie le 20 et le 10 avant qu’ils se simplifient. C’est aussi la forme où le nombre fractionnaire est franchement le mauvais outil : la réponse n’a jamais été un nombre fractionnaire.

  5. −1 1/2 + 2 1/4

    1. Vers la forme impropre : −1 1/2 vaut −(1 × 2 + 1) = −3, donc −3/2 ; et 2 1/4 vaut 9/4
    2. Addition en croix : (−3 × 4 + 9 × 2) ÷ (2 × 4) = (−12 + 18) ÷ 8 = 6/8
    3. Réduction : 6/8 se divise par 2, ce qui donne 3/4
    4. Le résultat est inférieur à un, la forme fractionnaire se réduit donc à la fraction seule

    La règle de signe en pleine action : le moins appartient au nombre fractionnaire entier, donc −1 1/2 se convertit en −3/2 et non en −1/2. C’est la première étape qui le montre, et la multiplication par le dénominateur le rend concret — la partie entière apporte −1 × 2, et non +1 × 2 avec un moins égaré ailleurs. La réponse est comprise entre zéro et un, la forme fractionnaire s’effondre donc en une simple fraction et les deux premières lignes s’accordent exactement ; la troisième est la seule qui contienne encore le 6/8 non simplifié.

Limites

Le numérateur de l’un ou l’autre des nombres fractionnaires doit valoir zéro ou plus. Un signe moins à cet endroit serait ambigu — 1 −1/2 pourrait vouloir dire un moins un demi ou un plus un demi négatif, et −1 −1/2 n’a aucune lecture — la page le refuse donc et vous demande de mettre le signe sur la partie entière, où il n’a qu’un seul sens. La partie entière peut être négative, c’est ainsi qu’on écrit un nombre fractionnaire négatif. Les dénominateurs doivent être positifs, puisque le signe vit sur le numérateur. Les deux nombres fractionnaires sont limités en taille : les parties entières et les numérateurs sont plafonnés à cent mille, et le numérateur impropre vers lequel un nombre fractionnaire se convertit est plafonné pour que les deux puissent être multipliés l’un par l’autre sans sortir de la plage des entiers représentables exactement — un produit de deux nombres au-delà d’environ quatre-vingt-quatorze millions serait silencieusement inexact, la page refuse donc la saisie plutôt que de le calculer. La division par zéro est refusée, où zéro signifie que le second nombre fractionnaire entier est nul, ce qui comprend des écritures comme 0 0/4 qui ne ressemblent pas à un zéro au premier coup d’œil. Le résultat n’est affiché avec aucun nombre fixe de décimales, parce qu’il n’y a pas de décimales : toutes les lectures de cette page sont exactes, et c’est bien pour cela que les fractions valent la peine qu’on se donne. Ce que la page ne fera pas, c’est décider si un nombre fractionnaire est la bonne façon d’écrire votre réponse — un mathématicien dirait que ce n’est en général pas le cas, et cette objection est réelle, même si elle n’est pas arithmétique.

Questions fréquentes

Comment additionner des nombres fractionnaires ?
Convertissez les deux en fractions impropres, faites l’opération, puis revenez en arrière. 2 1/4 vaut 2 × 4 + 1 = 9, donc 9/4 ; 1 1/2 vaut 3/2. L’addition donne (9 × 2 + 3 × 4) ÷ (4 × 2) = 30/8, qui se réduit en 15/4, c’est-à-dire 3 3/4. La page exécute les quatre étapes et affiche les trois dernières.
Pourquoi la réponse est-elle affichée trois fois ?
Parce que ce sont trois choses différentes dont vous pouvez avoir besoin. Le nombre fractionnaire est la réponse sous la forme sous laquelle la question a été posée. La fraction impropre est la forme par laquelle le calcul doit passer, et celle dans laquelle une fraction peut servir. La troisième ligne est le résultat avant toute simplification, ce à quoi vous comparez si vous vérifiez votre propre travail à la main.
Puis-je saisir un nombre fractionnaire négatif ?
Oui, en plaçant le moins dans le champ de la partie entière : −1 1/2 vaut moins un et demi. Le champ du numérateur n’accepte pas de signe moins, et c’est délibéré — 1 −1/2 peut se lire un moins un demi ou un plus un demi négatif, et −1 −1/2 est pire encore. Un seul signe, au seul endroit où il n’a qu’un sens.
La page utilise-t-elle un dénominateur commun ?
Non, et elle n’en affiche pas non plus. L’addition et la soustraction multiplient les deux dénominateurs entre eux et croisent les numérateurs, ce qui donne la même réponse que la recherche du plus petit dénominateur commun — 30/8 plutôt que 15/4 dans le cas par défaut, le même nombre. Le dénominateur commun ne vaut le travail supplémentaire que lorsque le panneau l’affiche, ce que fait la page d’addition de fractions.
2 1/4 est-il la bonne façon d’écrire deux et un quart ?
C’est la façon dont on l’écrit habituellement dans une recette ou à l’école, et elle est ambiguë. Les mathématiciens lisent deux symboles côte à côte comme une multiplication : 2 1/4 dit donc deux fois un quart, soit un demi. L’entrée de MathWorld sur le sujet rapporte que son auteur a perdu des points à un examen de calcul intégral pour l’avoir écrite ainsi. Cette page l’imprime parce que c’est la notation sur laquelle vous posez la question, et elle garde 9/4 sur la ligne du dessous.
Que se passe-t-il si la réponse est un nombre entier ?
La fraction disparaît. Diviser 2 1/2 par 1 1/4 donne 20/10, qui se réduit à 2, et 2 s’affiche 2 plutôt que 2 0/1 — un numérateur nul n’a rien à mettre au-dessus de la barre. La même règle joue dans l’autre sens : une réponse inférieure à 1 s’affiche comme une simple fraction, sans zéro devant elle.
Pourquoi refuse-t-elle de diviser par 0 0/4 ?
Parce que 0 0/4 vaut zéro. Le diviseur est le second nombre fractionnaire tout entier, et un nombre fractionnaire est nul quand sa partie entière et sa fraction sont toutes deux nulles — une écriture qui ne ressemble pas à un zéro avant d’être convertie. Zéro n’a pas d’inverse, la division n’a donc pas de réponse, et la page le dit plutôt que d’afficher n’importe quoi.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de fractionsAdditionne, soustrait, multiplie et divise des fractions.Calculatrice d’addition de fractionsAdditionne des fractions aux dénominateurs différents.Calculatrice de différence de fractionsSoustrait des fractions et donne le dénominateur commun.Calculatrice de nombre mixte en fractionConvertit un nombre mixte en fraction impropre.