Calculatrice de moyenne

Moyenne = Σ xᵢ ÷ n

xᵢ

Une valeur de la liste. Chaque valeur pèse exactement autant que les autres : rien ne permet de dire qu’une entrée compte davantage

n

Le nombre de valeurs, plafonné à 200 ici. Il est affiché sur le panneau de résultats : c’est ce qui permet de vérifier la division sans recompter la liste à la main

Σ xᵢ

La somme de toutes les valeurs, également affichée. Lire la somme et l’effectif ensemble suffit en général à repérer une faute de frappe : 433 pour 5 valeurs est plausible, 4 330 pour 5 ne l’est pas

min / max

Le minimum et le maximum de la liste, c’est-à-dire la plus petite et la plus grande valeur. Ils encadrent la moyenne, qui ne peut jamais sortir de cet intervalle, et c’est à eux qu’on voit si la liste est resserrée ou si une valeur tire le résultat de son côté

Prenez la moyenne quand chaque valeur doit compter pareil et que le total a un sens : la moyenne des notes d’un contrôle, la dépense moyenne par client, la moyenne de mesures répétées. C’est le résumé qui convient à un taux ou à un montant par unité, et le plus facile à expliquer. Choisissez autre chose quand la liste contient des extrêmes que vous ne voulez pas laisser dominer : une valeur aberrante décale la moyenne de toute sa distance divisée par l’effectif, si bien qu’un prix immobilier ou un revenu se rapportent en général mieux par une médiane. Quand la moyenne tombe près du milieu entre la plus petite et la plus grande valeur, la liste est à peu près équilibrée et la moyenne la décrit bien ; quand elle tombe près de l’un des deux extrêmes, l’essentiel de la liste est de l’autre côté et la moyenne se fait tirer.

1. Cinq notes de contrôle

   1. Somme : 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433
   2. Effectif : 5 notes
   3. Moyenne : 433 ÷ 5 = 86,6
   4. Plus petite 78, plus grande 92 — la moyenne se place entre les deux, près du milieu

   La moyenne de 86,6 est proche du milieu de l’intervalle qui va de 78 à 92, et c’est à cela que ressemble une liste équilibrée : aucune note ne tire le résultat. Remarquez que la moyenne ne fait pas partie des cinq notes — elle n’a pas à en faire partie, et une liste de cinq valeurs dont la moyenne est un sixième nombre n’a rien d’extraordinaire. La somme et l’effectif sont affichés pour que l’on voie que 86,6 vient bien de 433 divisé par 5, sans avoir à le croire sur parole.

2. Une liste avec des valeurs négatives

   1. Somme : −5 + (−1) + 3 = −3
   2. Effectif : 3
   3. Moyenne : −3 ÷ 3 = −1
   4. Plus petite −5, plus grande 3

   Les valeurs négatives sont acceptées parce que beaucoup de listes réelles en contiennent : des températures sur une semaine, des gains et des pertes, une mesure exprimée comme écart à une référence. Deux choses restent vraies en présence de négatifs. La moyenne peut sortir de l’intervalle que les seules valeurs positives laissaient imaginer, et le minimum reste le nombre le plus négatif, pas celui dont la valeur absolue est la plus grande : −5 est inférieur à −1, même si 5 est un plus grand nombre que 1. Inverser cet ordre est la façon habituelle de se tromper entre un minimum et un maximum.

3. Une seule valeur

   1. Somme : 42
   2. Effectif : 1
   3. Moyenne : 42 ÷ 1 = 42
   4. La plus petite et la plus grande valeur sont toutes deux 42, puisqu’il n’y a qu’une valeur

   Une seule valeur est une liste légitime et le résultat est cette valeur, ce qui surprend ceux qui attendent un minimum de deux nombres. Rien ici n’a besoin d’un second nombre : la somme vaut 42 et l’effectif 1, la division est définie, et la moyenne d’une mesure unique est cette mesure. Le minimum et le maximum se rejoignent sur le même nombre, et c’est la lecture honnête, pas le signe que la page a renoncé.

Il s’agit de la moyenne arithmétique simple : une valeur saisie une fois compte une fois, donc un tableau d’effectifs ou une enquête pondérée demandent un autre calcul, et une liste dont certaines entrées représentent plusieurs observations donnera ici un résultat trompeur. La moyenne est aussi le plus fragile des résumés de tendance centrale — une valeur très éloignée des autres la déplace de sa distance divisée par l’effectif — et c’est pourquoi la plus petite et la plus grande valeur sont affichées à côté d’elle plutôt que laissées à deviner. Elle ne dit rien de la dispersion de la partie centrale : deux listes peuvent partager la même moyenne et les mêmes deux extrêmes tout en n’ayant rien de commun, l’une resserrée au milieu et l’autre coupée en deux groupes aux extrémités. La liste est plafonnée à 200 valeurs, et une écriture comme 1,500 est refusée plutôt que devinée, parce qu’une virgule entre deux chiffres est un séparateur décimal dans une grande partie du monde : écrivez 1500 ou 1,5. Les définitions retenues sont celles des ouvrages de référence internationaux (NIST, OpenStax) et non celles d’un programme scolaire national, et la liste est lue de la même façon dans toutes les langues : la langue d’affichage ne change rien au sens des nombres saisis.

Comment calculer la moyenne d’une liste de nombres ?

Additionnez toutes les valeurs, puis divisez par l’effectif. Pour 85, 90, 78, 92 et 88 la somme vaut 433 et il y a 5 valeurs, donc la moyenne est 433 ÷ 5 = 86,6. Ces deux opérandes sont affichés sur le panneau de résultats, ce qui rend le calcul vérifiable sans recompter la liste à la main.

Quelle est la différence entre la moyenne et la moyenne arithmétique ?

Aucune, dans l’usage courant : ce sont deux noms pour le même nombre. La moyenne d’une liste est la somme divisée par l’effectif, et c’est exactement ce qu’est la moyenne arithmétique. Le mot moyenne est parfois employé de façon relâchée pour d’autres résumés, comme la médiane ou une moyenne pondérée, et ce flou mérite attention quand quelqu’un cite une moyenne sans préciser de laquelle il parle.

Puis-je saisir des nombres négatifs ?

Oui. Des températures sur une semaine, des gains et des pertes, ou des mesures exprimées comme écart à une référence sont toutes des listes légitimes, et l’arithmétique ne change pas. Un point demande attention : le minimum et le maximum. Avec des négatifs dans la liste, le minimum est le nombre le plus négatif, pas celui dont la valeur absolue est la plus grande, donc −5 est bien inférieur à −1.

Pourquoi la calculatrice affiche-t-elle la plus petite et la plus grande valeur ?

Parce que la moyenne seule ne dit pas si elle décrit bien la liste. Un ensemble de notes de moyenne 86,6 qui va de 78 à 92 est un groupe homogène ; un ensemble de moyenne 86,6 qui va de 40 à 100 est un groupe coupé en deux moitiés très différentes, et la moyenne le cache. Les deux extrêmes encadrent le résultat et montrent de combien il s’écarte de chaque bout.

Une seule valeur extrême peut-elle beaucoup déplacer la moyenne ?

Elle la déplace de sa distance à la moyenne divisée par l’effectif, donc plus la liste est longue, plus l’effet d’une entrée isolée est faible. Dans une liste de 5 valeurs, remplacer un 92 par un 100 augmente la moyenne de 1,6 ; dans une liste de 50 valeurs, la même substitution ne l’augmente que de 0,16. C’est pourquoi la moyenne résume bien une longue liste et mal une liste courte contenant une valeur manifestement aberrante.

• Moyenne — définitions et méthodes (la moyenne est égale à la somme des données divisée par leur nombre ; l’indicateur le plus simple pour résumer l’information) — Insee (Institut national de la statistique et des études économiques)
• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 — OpenStax, Rice University
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (the mean as the balance point of the data, and why a single extreme value moves it) — National Institute of Standards and Technology (NIST)