Calculatrice de somme des carrés

SCE = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² ÷ n

x

Chaque valeur de la liste, une à la fois. Chaque valeur apporte son propre écart au carré, donc aucune ne peut être retirée sans changer le total

x̄

La moyenne des valeurs. C’est le point depuis lequel les écarts sont mesurés, et il est choisi précisément parce que les écarts bruts autour de lui s’annulent

SS

La somme des carrés des écarts — le résultat principal. Elle vaut exactement zéro quand toutes les valeurs sont identiques, et elle augmente à la fois avec la taille des écarts et avec leur nombre

Σx²

La somme des carrés des valeurs brutes, également imprimée. C’est le premier terme de droite de l’identité et celui des deux qu’il est le plus facile de confondre avec la réponse, puisque tous deux s’appellent une somme des carrés

Σx

La somme simple des valeurs, avant mise au carré. Élevée au carré et divisée par n, elle donne le terme correctif qui transforme Σx² en somme des carrés des écarts

n

Le nombre de valeurs prises en compte, plafonné à 200 ici. Il apparaît deux fois — comme diviseur dans le terme correctif et comme effectif imprimé pour la vérification

Recourez-y quand vous voulez voir l’étape plutôt que la mesure achevée : pour vérifier à la main une variance ou un écart type, pour expliquer pourquoi ces deux quantités mettent leurs écarts au carré, ou pour comparer quelle part de la variation d’un total un modèle explique. C’est aussi la façon naturelle d’exprimer une dispersion quand on travaille sur des sommes plutôt que sur des moyennes, comme dans une analyse de la variance, où toute la méthode consiste à tenir les comptes des sommes des carrés. Dans une régression avec ordonnée à l’origine, cette même quantité est ce qu’on appelle la somme des carrés totale, et la qualité de l’ajustement se mesure à la part que la droite ajustée en retire. L’identité de droite mérite d’être connue pour une seconde raison : c’est ainsi que le nombre se calculait avant les machines, et c’est encore ainsi que beaucoup de formules sont écrites, même si ce chemin perd de la précision quand les valeurs sont grandes et leur dispersion petite. C’est pourquoi la calculatrice ci-dessus emploie la définition et n’imprime les termes de l’identité que pour que vous puissiez constater que les deux s’accordent.

1. Huit valeurs : 32 par les deux chemins

   1. La moyenne vaut 40 ÷ 8 = 5
   2. Les écarts sont −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 et 4, et ils s’additionnent pour donner 0 — comme toujours
   3. Leurs carrés valent 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 et 16, qui s’additionnent pour donner 32
   4. L’autre chemin : Σx² = 232 et (Σx)² ÷ n = 1 600 ÷ 8 = 200, donc 232 − 200 = 32

   Les deux chemins aboutissent à 32, et le constater est l’essentiel de cette page. Les trois premiers écarts sont négatifs et les deux derniers positifs, et c’est exactement pourquoi les carrés sont nécessaires — les écarts bruts totalisent zéro et ne sauraient distinguer un ensemble de données d’un autre.

2. Deux valeurs dont la moyenne est fractionnaire

   1. La moyenne vaut 3 ÷ 2 = 1,5, donc les écarts sont −0,5 et +0,5
   2. Leurs carrés valent 0,25 et 0,25, donc la somme des carrés est 0,5 — et non 1
   3. L’autre chemin : 5 − 3² ÷ 2 = 5 − 4,5 = 0,5, où la partie fractionnaire apparaît dans la soustraction

   Deux valeurs ne peuvent jamais produire une somme des carrés supérieure à la moitié du carré de leur écart, et c’est le plus petit cas : chacun des deux écarts porte la moitié de la distance. Une erreur fréquente consiste à mettre au carré la distance entre les deux valeurs, ce qui donnerait 1 ici au lieu de 0,5 : cette distance se partage en deux écarts de 0,5 chacun, et chacun d’eux est compté.

3. Une seule valeur : 0 contre 1 764

   1. La moyenne d’une valeur unique est cette valeur, donc 42 est la moyenne
   2. L’écart vaut 42 − 42 = 0, et 0² vaut 0, donc la somme des carrés est 0
   3. La somme des carrés des valeurs est une tout autre quantité : 42² = 1 764

   Deux choses appelées somme des carrés, séparées de trois ordres de grandeur, dans le même panneau. C’est le cas qui les distingue : sur une liste plus longue, les deux nombres sont en général du même ordre de grandeur et il est facile de prendre le mauvais. La somme des carrés des écarts vaut 0 parce qu’une valeur unique ne peut pas s’écarter d’elle-même — c’est une vraie réponse, pas un échec, et c’est pourquoi cette page n’exige pas deux valeurs comme le fait la variance.

4. Quatre valeurs identiques

   1. La moyenne vaut 12 ÷ 4 = 3, donc chaque écart vaut 0
   2. La somme des carrés des écarts vaut 0
   3. La somme des carrés des valeurs vaut 3² + 3² + 3² + 3² = 36, qui n’est pas 0 et ne le sera jamais

   Zéro signifie ici que les données n’ont aucune dispersion, et c’est une situation différente du cas à valeur unique ci-dessus même si les deux impriment 0 : ici il y a quatre observations et elles s’accordent exactement, là il n’en existe qu’une. La somme des carrés des valeurs évolue en sens inverse, augmentant à chaque valeur ajoutée quelle que soit la dispersion.

Le nom est le principal danger. Deux quantités différentes portent toutes deux le nom de somme des carrés et figurent toutes deux sur cette page : la somme des carrés des écarts Σ(x − x̄)², qui est la réponse, et la somme des carrés des valeurs Σx², qui n’est qu’un terme de l’identité. Sur une valeur unique, elles diffèrent de trois ordres de grandeur. Lisez l’intitulé de la ligne avant de citer un nombre. La seconde limite est ce que cette page ne fait pas : une régression décompose la somme des carrés totale en une part expliquée par la droite ajustée et une part résiduelle, et cette décomposition n’est pas disponible ici. Elle exige une seconde variable et une droite ajustée sur les données, et aucune page de cette section n’en ajuste — la page de la covariance s’arrête au coefficient de corrélation. Ce qui est vrai, et qu’il vaut la peine de savoir, c’est que la somme des carrés totale d’une régression avec ordonnée à l’origine est cette même quantité appliquée à la variable expliquée ; seule la décomposition manque. Il y a aussi une raison pratique pour laquelle la calculatrice emploie la définition plutôt que l’identité : soustraire deux grands nombres presque égaux fait perdre de la précision, si bien que sur une liste de grandes valeurs peu dispersées le chemin de droite peut donner une réponse visiblement fausse. L’identité est imprimée pour vérifier, pas pour aller plus vite. La liste est plafonnée à 200 valeurs, et un jeton comme « 1,500 » est refusé plutôt que deviné, parce qu’une virgule entre deux chiffres est un séparateur décimal dans certains pays et un séparateur de milliers dans d’autres.

Comment calcule-t-on la somme des carrés ?

Trouvez la moyenne, soustrayez-la à chaque valeur, mettez chaque résultat au carré et additionnez-les. Pour 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 et 9 la moyenne vaut 5, les écarts valent −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 et 4, et leurs carrés totalisent 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32. Chaque valeur participe, y compris celles qui se trouvent sur la moyenne et qui contribuent pour 0.

Pourquoi mettre les écarts au carré au lieu de simplement les additionner ?

Parce que les écarts bruts s’additionnent toujours pour donner exactement zéro. Les valeurs en dessous de la moyenne annulent celles au-dessus, quelle que soit la liste, donc la somme des écarts ne porte aucune information sur la dispersion. Le passage au carré fait deux choses à la fois : il rend chaque terme positif, si bien que rien ne s’annule, et il donne proportionnellement plus de poids aux valeurs éloignées de la moyenne — une valeur à deux unités contribue pour 4, une valeur à vingt unités pour 400. Ce second effet est délibéré. C’est aussi pourquoi la somme des carrés, et la variance construite à partir d’elle, réagissent fortement à une seule valeur extrême.

Pourquoi y a-t-il deux nombres différents appelés somme des carrés sur cette page ?

Parce que deux quantités statistiques partagent ce nom, et que cette page imprime les deux. La somme des carrés des écarts, Σ(x − x̄)², est la réponse ici et le numérateur de la variance. La somme des carrés des valeurs, Σx², est la somme des valeurs chacune élevée au carré avant qu’aucune moyenne ne soit soustraite. Elles sont reliées par l’identité Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² ÷ n, et c’est pourquoi la seconde figure à l’écran, mais elles ne sont pas interchangeables. Avec la valeur unique 42, la somme des carrés des écarts vaut 0 tandis que celle des valeurs vaut 1 764.

Le choix échantillon ou population change-t-il la réponse ?

Non, et c’est pourquoi il n’y a aucun sélecteur sur cette page. Les formules d’échantillon et de population ne diffèrent que par leur diviseur — n − 1 contre n — et la somme des carrés ne divise par rien. C’est un seul nombre pour une liste donnée. Le choix apparaît sur les pages de la variance et de l’écart type parce que c’est là que la division a lieu, et c’est exactement pourquoi le même ensemble de données peut produire deux variances mais une seule somme des carrés.

Quel est le lien avec la variance et l’écart type ?

La variance est ce nombre divisé par le nombre de degrés de liberté : n − 1 pour un échantillon ou n pour une population. L’écart type est la racine carrée de la variance. La somme des carrés est donc la matière première, et c’est la division qui la rend comparable entre ensembles de données de tailles différentes — une somme sur huit valeurs est naturellement plus grande qu’une somme sur quatre, même à dispersion égale. Diviser par n − 1 plutôt que par n corrige en outre une légère sous-estimation due au fait de mesurer les écarts autour de la moyenne de l’échantillon et non de la vraie moyenne.

La somme des carrés peut-elle être négative ?

Jamais. Chaque terme est un carré, donc chaque terme est nul ou positif et le total aussi. Elle vaut zéro exactement quand chaque valeur est égale à la moyenne, c’est-à-dire quand chaque valeur est égale à toutes les autres — soit parce que la liste ne contient qu’une valeur, soit parce que toutes les valeurs sont identiques. Un total nul est un vrai résultat signifiant que les données n’ont aucune dispersion, et non le signe que quelque chose s’est mal passé. Si vous voyez un nombre négatif, c’est la somme des carrés des valeurs Σx² que vous regardez avec une erreur de signe, ou une différence de carrés calculée à la main.

• écart type — Grand dictionnaire terminologique (la fiche définit l’écart type à partir de la somme des carrés des différences entre chacune des données et leur moyenne arithmétique ; c’est la quantité que cette page calcule avant la division) — OQLF — Office québécois de la langue française
• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (defines the variance as the sum of squared deviations divided by n − 1, and explains that squaring the distance from the mean gives greater weight to values far from it) — National Institute of Standards and Technology
• Measures of the Spread of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e, section 2.7 (states that the variance is the average of the squares of the deviations, the x − x̄ values for a sample, which is the quantity this page computes before the division) — OpenStax, Rice University
• GB/T 3358.1-2009, Statistics — Vocabulary and symbols, Part 1 (the Chinese national vocabulary standard covering the variance and the sums of squares it is built from; the record page notes that no online full text is offered) — State Administration for Market Regulation, China