Calculatrice d’écart type

Écart type = √( Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1) ) pour un échantillon, ou la même somme divisée par n pour une population

xᵢ

Une valeur de l’ensemble de données. Chaque valeur entre par sa distance à la moyenne, et c’est le passage au carré de cette distance qui empêche les distances au-dessus de la moyenne d’annuler celles qui sont en dessous

x̄

La moyenne des données : la somme de toutes les valeurs divisée par leur nombre. Elle est affichée à côté de la réponse pour que le calcul soit vérifiable

n

Le nombre de valeurs de l’ensemble de données, plafonné à 200 ici. Le diviseur vaut n − 1 pour un échantillon et n pour une population, et c’est la seule différence entre les deux écarts types

Σ (xᵢ − x̄)²

La somme des carrés des écarts : la distance de chaque valeur à la moyenne est mise au carré, puis les carrés sont additionnés. Elle est exprimée en unités au carré, et c’est exactement pourquoi la dernière étape prend une racine carrée

s

L’écart type, dans les unités d’origine des données. Ajouter la même constante à toutes les valeurs le laisse inchangé ; doubler toutes les valeurs le double

Employez-le quand un seul nombre doit représenter l’étalement d’une série de mesures : relevés répétés d’une même grandeur, notes d’examen, recettes journalières, poids d’un lot de pièces. Annoncez l’écart type d’échantillon quand les nombres dont vous disposez sont un échantillon d’un ensemble plus grand, et basculez vers la version population seulement lorsque la liste est réellement le groupe entier. C’est aussi le nombre qui transforme une valeur brute en score z, et celui sur lequel reposent la plupart des règles de détection des valeurs aberrantes. Notez ce que la racine carrée vous apporte : la somme des carrés des écarts porte des unités au carré, et prendre la racine est ce qui, selon les termes de NIST dans Measures of Scale, « ramène les unités de la dispersion aux unités d’origine des données (la variance, elle, met les unités au carré) ». Deux choses qu’il ne vous dira pas : si la dispersion est symétrique, et si une valeur extrême est une faute de frappe. Un ensemble de données asymétrique se décrit mieux par ses quartiles et sa médiane que par un écart type.

1. Huit valeurs, échantillon et population côte à côte

   1. Effectif : 8 valeurs ; somme : 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
   2. Moyenne : 40 ÷ 8 = 5
   3. Écarts à la moyenne : −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
   4. Carrés des écarts : 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   5. Variance d’échantillon : 32 ÷ (8 − 1) = 4,5714
   6. Écart type d’échantillon : √4,5714 = 2,1381

   Les mêmes huit valeurs prises comme population donnent une variance de 32 ÷ 8 = 4 et un écart type de exactement 2. Choisir le mauvais diviseur est la raison la plus fréquente pour laquelle un écart type ne s’accorde pas avec une autre calculatrice, et cela change la réponse d’environ 7 % ici — davantage quand n est petit, moins quand n est grand.

2. Cinq notes d’examen

   1. Somme : 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433, pour 5 notes
   2. Moyenne : 433 ÷ 5 = 86,6
   3. Carrés des écarts : 2,56 + 11,56 + 73,96 + 29,16 + 1,96 = 119,2
   4. Variance d’échantillon : 119,2 ÷ 4 = 29,8
   5. Écart type d’échantillon : √29,8 = 5,4589

   Lisez les écarts et leurs carrés l’un à côté de l’autre : le 78 se situe 8,6 points sous la moyenne et contribue pour 73,96 à la somme, soit plus que les quatre autres notes réunies. C’est le passage au carré qui donne leur poids aux valeurs éloignées, et c’est aussi pourquoi une seule mauvaise journée déplace l’écart type plus qu’elle ne déplace la moyenne.

3. Une population de trois valeurs, où les deux diviseurs sont très éloignés

   1. Somme : 4 + 8 + 6 = 18, pour 3 valeurs, donc la moyenne vaut 6
   2. Écarts : −2, 2, 0 ; carrés : 4, 4, 0, soit une somme des carrés de 8
   3. Variance de population : 8 ÷ 3 = 2,6667
   4. Écart type de population : √2,6667 = 1,633

   Trois valeurs, c’est la plus petite liste que cette page traite comme un échantillon, et c’est là que le diviseur montre les dents : la version échantillon divise le même 8 par 2 et annonce 2 au lieu de 1,633 — un écart de plus de 20 %. Un écart type d’échantillon est toujours le plus grand des deux, et l’écart se resserre à mesure que l’ensemble de données grandit.

Il s’agit de l’écart type arithmétique simple d’une liste de nombres. Il n’a aucun moyen d’utiliser des pondérations, donc une valeur saisie une fois compte une fois — un tableau de fréquences ou une enquête pondérée demandent un autre calcul. Il décrit la dispersion, pas la forme : un ensemble de données asymétrique a un côté court et une longue queue, et le chapitre Measures of the Spread of the Data d’OpenStax dit explicitement que dans une distribution asymétrique l’écart type « peut ne pas être d’un grand secours », les quartiles et la médiane étant alors préférables. Chaque valeur compte, donc une seule valeur aberrante mal saisie gonfle la réponse. La liste est plafonnée à 200 valeurs. Un jeton comme « 1,500 » est refusé plutôt que deviné, parce qu’une virgule entre deux chiffres est un séparateur décimal dans une grande partie du monde et un séparateur de milliers ailleurs : écrivez 1500 ou 1,5. Enfin, les nombres sont lus exactement tels qu’ils sont saisis, dans toutes les langues : le séparateur que vous employez ne change jamais le sens de la liste.

Quelle est la différence entre l’écart type d’échantillon et celui de population ?

Un diviseur. Les deux partent de la même somme des carrés des écarts, puis la version échantillon divise par n − 1 et la version population par n. Pour les huit valeurs 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 la somme des carrés vaut 32, donc l’écart type d’échantillon est √(32 ÷ 7) = 2,1381 et celui de population √(32 ÷ 8) = 2. La réponse échantillon est toujours la plus grande des deux, et les deux se rapprochent à mesure que l’ensemble de données grandit.

Comment trouve-t-on l’écart type à la main ?

En cinq étapes. Additionnez les valeurs et divisez par leur nombre pour obtenir la moyenne. Soustrayez la moyenne à chaque valeur pour obtenir son écart. Mettez chaque écart au carré — c’est le passage au carré qui empêche ceux du dessus d’annuler ceux du dessous. Additionnez les carrés. Divisez par n − 1 pour un échantillon ou par n pour une population, puis prenez la racine carrée. La formule est la même dans les deux cas ; seul le diviseur change. Le panneau ci-dessus affiche l’effectif, la somme, la moyenne et la somme des carrés des écarts, de sorte que chaque étape se vérifie séparément.

Pourquoi la version échantillon divise-t-elle par n − 1 au lieu de n ?

Parce que la moyenne que vous soustrayez a été mesurée sur les mêmes valeurs, et que chaque valeur a tiré cette moyenne vers elle. Les écarts mesurés depuis une moyenne que les données ont choisie sont en moyenne légèrement plus petits que la dispersion réelle, donc diviser par n la sous-estimerait. Diviser par n − 1 corrige cet effet. La correction compte surtout pour les listes courtes — avec trois valeurs, c’est une différence de 22 % — et devient négligeable dès que vous en avez quelques centaines.

Puis-je coller une colonne directement depuis un tableur ?

Oui. Les retours à la ligne, les tabulations, les points-virgules, les espaces et une virgule suivie d’un espace séparent tous les valeurs, donc une colonne collée ou une ligne saisie avec des points-virgules fonctionnent aussi bien. Les segments vides sont ignorés plutôt que rejetés, ce qui rend un retour à la ligne final inoffensif. Jusqu’à 200 valeurs sont lues. Une forme est refusée volontairement : un jeton comme « 1,500 » ou « 1.500 », où trois chiffres suivent le séparateur — c’est un séparateur de milliers dans certains pays et un séparateur décimal dans d’autres, alors écrivez 1500 ou 1,5.

Dans quelles unités s’exprime l’écart type ?

Dans les mêmes unités que les données. Pesez un lot de pièces en grammes et l’écart type est en grammes, et c’est tout l’intérêt de la racine carrée prise à la fin — la somme des carrés des écarts est en grammes au carré, et la variance aussi. NIST le dit simplement : l’écart type ramène les unités de la dispersion aux unités d’origine des données, tandis que la variance met les unités au carré. C’est pourquoi un écart type peut se lire à côté des valeurs qu’il décrit, et une variance non.

Pourquoi ma réponse diffère-t-elle de celle d’une autre calculatrice ?

Neuf fois sur dix, à cause du diviseur. Beaucoup de calculatrices ne renvoient que l’écart type de population, ou seulement celui d’échantillon, sans dire lequel. Cherchez dans la formulation de l’autre outil si c’est n − 1 ou n. Deux autres causes méritent d’être écartées : une valeur saisie avec une virgule décimale que l’autre outil a lue comme un séparateur, et une valeur aberrante que l’un de vous a incluse et pas l’autre — un écart type est sensible à chaque valeur, donc un nombre en plus le change. Une dernière confusion, plus rare mais plus grave, consiste à comparer un écart type avec une erreur type : ce sont deux grandeurs différentes. L’écart type décrit la dispersion des données elles-mêmes ; l’erreur type décrit la fluctuation d’échantillonnage d’une statistique, comme la moyenne, et vaut l’écart type divisé par la racine de l’effectif.

• Écart-type — définitions et méthodes (l’écart-type sert à mesurer la dispersion, ou l’étalement, d’un ensemble de valeurs autour de leur moyenne ; plus l’écart-type est faible, plus la population est homogène) — Insee (Institut national de la statistique et des études économiques)
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 — OpenStax, Rice University
• Detection of Outliers — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.17 — National Institute of Standards and Technology (NIST)