Calculatrice de variance

Variance = Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1) pour un échantillon, ou la même somme divisée par n pour une population

xᵢ

Une valeur de l’ensemble de données. Elle entre par sa distance à la moyenne, et cette distance est mise au carré avant toute addition

x̄

La moyenne des données : la somme de toutes les valeurs divisée par leur nombre. Elle est affichée à côté du résultat pour que l’arithmétique soit vérifiable

n

Le nombre de valeurs de l’ensemble de données, plafonné à 200 ici. Le diviseur vaut n − 1 pour un échantillon et n pour une population — c’est la seule différence entre les deux variances

Σ (xᵢ − x̄)²

La somme des carrés des écarts : chaque distance à la moyenne, mise au carré, puis additionnée. Le passage au carré donne beaucoup plus de poids aux valeurs éloignées de la moyenne — un point à 10 unités ajoute 100 à cette somme, tandis qu’un point à 2 unités ajoute 4

σ²

La variance elle-même. Elle est exprimée en unités au carré, ce qui en fait la bonne quantité à additionner et la mauvaise à lire

Employez la variance quand la quantité au carré est réellement ce dont vous avez besoin : les variances de sources indépendantes s’additionnent, donc la variance d’un total est la somme des variances, alors que les écarts types ne s’additionnent pas ; l’analyse de la variance, la régression et la plupart des outils construits dessus prennent une variance en entrée, et non un écart type. Employez plutôt l’écart type dès qu’un être humain doit lire le nombre — une dispersion de 4,5714 points au carré ne veut rien dire, tandis que 2,1381 points se comparent aux notes elles-mêmes. Le panneau donne les deux, donc le choix porte sur celui que vous citez. Notez que la variance est bien plus sensible qu’un écart type à une seule valeur extrême, parce que la distance de cette valeur est mise au carré avant de compter.

1. Huit valeurs, variance d’échantillon

   1. Somme : 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40 pour 8 valeurs, donc la moyenne vaut 5
   2. Écarts : −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
   3. Carrés des écarts : 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   4. Variance d’échantillon : 32 ÷ (8 − 1) = 4,5714
   5. Écart type, pour comparaison : √4,5714 = 2,1381

   La variance vaut 4,5714 et l’écart type 2,1381, et ce n’est pas une coïncidence : l’un est le carré de l’autre. Lisez les deux étapes du milieu avant de croire au résultat — la somme des carrés des écarts est le seul nombre du calcul qui soit difficile à juger à l’œil, et le panneau l’affiche pour que vous n’ayez jamais à le prendre pour argent comptant.

2. Les mêmes huit valeurs en population

   1. Même somme des carrés des écarts : 32
   2. Variance de population : 32 ÷ 8 = 4
   3. Écart type de population : √4 = 2

   Deux variances issues d’un seul ensemble de données, 4,5714 et 4, qui ne diffèrent que par le diviseur. Cela vaut la peine de basculer la liste déroulante une fois sur vos propres nombres : si un tableur et cette page ne sont pas d’accord, c’est presque toujours le diviseur qui explique l’écart. La variance est la plus sensible des deux à ce choix, parce qu’elle n’a pas été réduite par une racine carrée.

3. Quatre relevés identiques, où la dispersion est exactement nulle

   1. Chaque valeur vaut 3, donc la moyenne vaut 3 et chaque écart vaut 0
   2. Somme des carrés des écarts : 0
   3. Variance de population : 0 ÷ 4 = 0
   4. Écart type de population : √0 = 0

   Une variance nulle signifie que les valeurs ne portent aucune dispersion, et c’est le seul cas où une variance de zéro est une vraie réponse plutôt qu’un signe que quelque chose s’est mal passé. C’est aussi la raison pour laquelle le coefficient de variation a pour condition une moyenne strictement positive plutôt qu’une variance non nulle : une dispersion nulle divisée par une moyenne positive donne un très bon 0 %.

Il s’agit de la variance simple et non pondérée d’une liste de nombres : une valeur saisie une fois compte une fois, donc un tableau de fréquences ou une enquête pondérée demandent un autre calcul. Son unité est au carré — des grammes deviennent des grammes au carré — si bien que le nombre ne se compare pas aux données dont il provient, et c’est précisément à cela que sert l’écart type affiché à côté. Parce que chaque écart est mis au carré, une seule valeur extrême domine : un relevé dix fois trop grand contribue cent fois plus qu’un relevé simplement deux fois plus éloigné que d’habitude. Un ensemble de données asymétrique se décrit mieux par les quartiles que par une variance ou un écart type. La liste est plafonnée à 200 valeurs, et un jeton comme « 1,500 » est refusé plutôt que deviné, parce qu’une virgule entre deux chiffres est un séparateur décimal dans une grande partie du monde : écrivez 1500 ou 1,5.

Comment calcule-t-on la variance ?

Pour calculer la variance, procédez en quatre étapes. Trouvez la moyenne en additionnant les valeurs et en divisant par leur nombre. Soustrayez la moyenne à chaque valeur. Mettez au carré chacune de ces différences et additionnez-les — ce total est la somme des carrés des écarts. Divisez par n − 1 pour un échantillon ou par n pour une population. Pour les valeurs 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 la somme des carrés vaut 32, donc la variance d’échantillon est 32 ÷ 7 = 4,5714 et la variance de population 32 ÷ 8 = 4.

Quelle est la différence entre la variance et l’écart type ?

Une racine carrée. L’écart type est la racine carrée de la variance, donc chacun est le carré de l’autre : ici la variance vaut 4,5714 et l’écart type 2,1381. La variance est celle qui a un sens quand on additionne, parce que les variances de sources indépendantes s’additionnent alors que les écarts types ne s’additionnent pas. L’écart type est celle qui a un sens quand on lit, parce qu’il revient dans les unités des données au lieu d’unités au carré.

Pourquoi la variance ne change-t-elle pas quand j’ajoute une constante à toutes les valeurs ?

Parce que la variance ne regarde que les distances à la moyenne, et que décaler toutes les valeurs décale la moyenne du même montant. Ajoutez 100 à chacune des valeurs 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 et la moyenne passe de 5 à 105 pendant que chaque écart reste inchangé : la somme des carrés des écarts vaut donc toujours 32. Multiplier toutes les valeurs par une constante est le cas inverse : la variance est multipliée par le carré de cette constante, et l’écart type par la constante elle-même.

Une variance peut-elle être négative ?

Non. Chaque terme de la somme des carrés des écarts est un carré, donc la somme n’est jamais négative, et le diviseur est un effectif positif. La plus petite variance possible est zéro, ce qui n’arrive que lorsque toutes les valeurs sont identiques — quatre relevés valant exactement 3 donnent une variance de 0. Une variance négative à l’écran signifie qu’un calcul a mal tourné, pas que les données sont inhabituelles.

Puis-je coller une colonne directement depuis un tableur ?

Oui. Les retours à la ligne, les tabulations, les points-virgules, les espaces et une virgule suivie d’un espace séparent toutes les valeurs, donc une colonne collée fonctionne telle quelle et les segments vides sont ignorés plutôt que rejetés. Jusqu’à 200 valeurs sont lues. Un jeton comme « 1,500 » ou « 1.500 » est refusé volontairement : trois chiffres après le séparateur, c’est un séparateur de milliers dans certains pays et un séparateur décimal dans d’autres, alors écrivez 1500 ou 1,5.

• variance — Grand dictionnaire terminologique (mesure de dispersion obtenue en calculant le carré de la différence entre chacune des observations et la moyenne arithmétique, puis en additionnant ces carrés et en divisant le total obtenu par le nombre d’observations ; la fiche décrit la division par le nombre d’observations) — OQLF — Office québécois de la langue française
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 — OpenStax, Rice University