Calculatrice de moyenne, médiane et mode

Moyenne = Σ xᵢ ÷ n Médiane = la valeur du milieu une fois les données triées Mode = la valeur de plus grande fréquence

xᵢ

Une valeur de l’ensemble de données. Chaque valeur compte une fois, qu’elle soit proche du milieu ou située à un extrême

n

Le nombre de valeurs, plafonné à 200 ici. Ces trois centres divisent tous par l’effectif et non par n − 1 : il n’y a donc aucun choix échantillon ou population à faire sur cette page

x̄

La moyenne. C’est le seul des trois que chaque valeur peut déplacer, et c’est pourquoi une seule valeur extrême la tire tout en laissant les deux autres tranquilles

M

La médiane : triez les valeurs et prenez celle du milieu, ou la moyenne des deux valeurs du milieu quand l’effectif est pair. La moitié des données se trouve en dessous, la moitié au-dessus

f

La fréquence du mode — combien de fois la valeur la plus fréquente apparaît. Une fréquence de 1 signifie qu’aucune valeur ne se répète, et alors toutes les valeurs se partagent le titre

Citez la médiane quand la liste comporte des valeurs aberrantes ou une longue queue — prix immobiliers, revenus, temps d’attente, tout ce où une valeur peut être énorme. La médiane n’est pas déplacée par la distance à laquelle se trouve une valeur extrême, seulement par le nombre de valeurs de chaque côté. Citez la moyenne quand chaque valeur doit peser pareil et que le total compte : une note moyenne, une dépense moyenne par client, un taux. Citez le mode quand la question est ce qui est typique au sens de ce qui est le plus courant — la pointure la plus fréquente à réapprovisionner, le nombre de passagers le plus courant. Si les trois s’accordent, les données sont à peu près symétriques et le choix n’a pas d’importance. S’ils divergent, annoncez la médiane et dites pourquoi : un ensemble étalé vers la droite a le mode en dessous de la médiane et la moyenne au-dessus, et c’est la moyenne qui se fait tirer.

1. Une semaine asymétrique : les trois centres se séparent

   1. Tri : 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 — sept valeurs, donc celle du milieu est la quatrième
   2. Médiane : 3
   3. Somme : 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 7 + 9 = 28, donc la moyenne vaut 28 ÷ 7 = 4
   4. Mode : 2 apparaît deux fois et rien n’apparaît trois fois, donc le mode est 2 avec une fréquence de 2
   5. Étendue : 9 − 1 = 8, la largeur totale de la semaine

   Lisez les trois réponses comme une forme et non comme trois estimations d’une même chose : mode 2, médiane 3, moyenne 4, dans cet ordre, est la signature d’un ensemble étalé vers la droite — le 7 et le 9 ont tiré la moyenne au-delà de la médiane, pendant que le mode restait sur place. Si le 9 valait 90, la moyenne bondirait à 15,6 et la médiane ne bougerait pas du tout.

2. Deux modes, et aucun milieu évident

   1. Tri : 2, 2, 5, 5, 9 — la valeur du milieu est 5
   2. Somme : 23, donc la moyenne vaut 23 ÷ 5 = 4,6
   3. Deux valeurs apparaissent deux fois chacune : 2 et 5 — il y a donc deux modes et le panneau annonce le plus petit
   4. Étendue : 9 − 2 = 7

   Cet ensemble est bimodal — deux valeurs sont à égalité pour la plus grande fréquence — et un ensemble de ce genre est souvent la réunion accidentelle de deux groupes, ici un paquet de 2 et un paquet de 5. La page annonce le plus petit des modes à égalité et le nombre de modes à côté, ce qui est la lecture honnête : le nombre 2 n’est pas plus « le mode » que 5, il est simplement le premier dans l’ordre.

3. Aucune valeur ne se répète

   1. Chaque valeur apparaît exactement une fois, donc aucune n’est plus fréquente qu’une autre
   2. Fréquence du mode : 1 ; nombre de modes : 3, c’est-à-dire toutes les valeurs de l’ensemble
   3. Moyenne et médiane : 2 pour les deux
   4. Étendue : 3 − 1 = 2

   Une fréquence de 1 accompagnée d’un nombre de modes égal à l’effectif est la façon qu’a cette page de dire « il n’y a aucun mode » — et c’est une affirmation plus utile qu’une réponse vide, parce que trois nombres distincts vous apprennent ensemble que toutes les valeurs sont à égalité. La ligne du mode affiche malgré tout une valeur, la plus petite, uniquement pour qu’elle ne reste pas vide.

Ces trois nombres décrivent le milieu, et l’étendue affichée à côté indique seulement à quelle distance l’une de l’autre se trouvent les deux valeurs les plus extérieures — ce qui n’est pas la même chose que la manière dont les données sont réparties entre elles : deux ensembles peuvent partager la même moyenne, la même médiane et la même étendue sans se ressembler en rien, l’un resserré au centre et l’autre étalé d’un bout à l’autre. Un ensemble asymétrique se décrit mieux par la médiane et les quartiles que par la moyenne, parce que la moyenne est tirée vers la queue tandis que la médiane ne l’est pas. Le mode est le moins stable des trois — il peut sauter à une autre valeur quand une seule entrée change, et sur des mesures continues il n’a souvent aucun mode utile, si bien que ce qui ressemble à un mode peut n’être qu’un effet d’arrondi. Cette page lit des nombres bruts : un tableau de fréquences doit donc être développé en ses valeurs avant de pouvoir être utilisé ici. La liste est plafonnée à 200 valeurs, et une écriture comme « 1,500 » est refusée plutôt que devinée, parce qu’une virgule entre deux chiffres est un séparateur décimal dans certains pays et un séparateur de milliers dans d’autres.

Comment trouve-t-on la moyenne, la médiane et le mode ?

Additionnez les valeurs et divisez par leur nombre pour la moyenne. Triez-les et prenez celle du milieu pour la médiane — avec un effectif pair, faites la moyenne des deux valeurs du milieu. Comptez combien de fois chaque valeur apparaît pour le mode. Pour 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 la somme vaut 28 pour 7 valeurs, donc la moyenne est 4 ; la quatrième des sept valeurs triées est 3, donc la médiane est 3 ; et 2 apparaît deux fois, donc le mode est 2.

Lequel faut-il employer ?

Employez la médiane quand il y a des valeurs aberrantes ou une longue queue, parce qu’elle ne se soucie pas de la distance à laquelle se trouve une valeur extrême — seulement du nombre de valeurs de chaque côté. Employez la moyenne quand chaque valeur doit compter pareil et que le total est ce qui importe, comme une note moyenne ou un taux. Employez le mode quand vous voulez la valeur la plus courante plutôt que celle du milieu, par exemple pour décider quelle pointure réapprovisionner. Le fait que les trois s’accordent est en soi un signal utile : cela signifie que les données sont proches de la symétrie et que le choix importe peu.

Que signifie l’absence de mode ?

Cela signifie que chaque valeur apparaît le même nombre de fois, donc qu’aucune n’est plus fréquente que les autres. Cette page le dit plutôt que de laisser la ligne vide : la fréquence du mode vaut 1 et le nombre de modes est égal à l’effectif, si bien que 1, 2, 3 renvoie trois modes. Ce n’est pas une erreur — sur une liste courte sans répétition c’est la réponse attendue, et sur des mesures continues c’est la réponse habituelle.

Un ensemble de données peut-il avoir plusieurs modes ?

Oui, et c’est fréquent. Si deux valeurs sont à égalité pour la plus grande fréquence, toutes deux sont des modes et l’ensemble est dit bimodal ; le panneau annonce la plus petite des deux et affiche le nombre de modes à côté. Deux modes signifient souvent que deux groupes ont été réunis par accident — un paquet d’une taille et un paquet d’une autre — ce qui mérite d’être remarqué avant d’annoncer un centre unique pour toute la liste.

Existe-t-il une version échantillon et une version population de ces trois nombres ?

Non, et cette page n’a délibérément aucune liste déroulante pour cela. Ces trois centres divisent tous par le nombre de valeurs ; la correction en n − 1 appartient à la dispersion, pas au milieu. Une moyenne est une moyenne, que la liste soit un échantillon ou le groupe entier. Si vous avez besoin de la distinction échantillon ou population, ce sont les pages de l’écart type et de la variance, qui offrent ce choix.

• Moyenne — définitions et méthodes (la moyenne est égale à la somme des données divisée par leur nombre ; l’indicateur le plus simple pour résumer l’information) — Insee (Institut national de la statistique et des études économiques)
• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 — OpenStax, Rice University
• Skewness and the Mean, Median, and Mode — Introductory Statistics 2e, section 2.6 — OpenStax, Rice University