Calculatrice d’étendue

étendue = max − min

max

La plus grande valeur de l’ensemble de données. Seules celle-ci et la plus petite participent au calcul : tout ce qui se trouve entre elles peut être réorganisé librement sans changer le résultat

min

La plus petite valeur de l’ensemble de données. Avec la plus grande, elle définit toute l’amplitude, et c’est pourquoi l’étendue est décrite comme une mesure de dispersion qui n’utilise que les extrêmes

range

La largeur de l’intervalle qui contient toutes les valeurs, dans l’unité des données. Elle n’est jamais négative, et elle vaut zéro exactement lorsque toutes les valeurs sont identiques

n

Le nombre de valeurs de la liste, plafonné à 200 ici. Il ne change rien au résultat : l’effectif n’est affiché que pour confirmer que toute la liste a bien été lue

Recourez à l’étendue quand vous avez besoin d’une dispersion en une ligne et que les extrêmes sont la partie intéressante : l’amplitude thermique de la journée, l’écart entre le devis le moins cher et le plus cher, la différence entre le meilleur et le pire temps d’une course. C’est aussi le résumé honnête d’un procédé où seuls les extrêmes comptent, comme un contrôle de tolérance — un arbre entre dans la plage admise ou il n’y entre pas. Là où elle est le mauvais outil, c’est dès que le milieu des données compte. Parce qu’elle utilise deux valeurs et abandonne les autres, une seule lecture aberrante la déplace autant qu’un vrai décalage de toute la distribution, et c’est pourquoi l’écart type et l’écart interquartile existent : ceux-là répartissent l’influence des données et restent utiles quand la liste a une queue lourde. Une étendue citée à côté d’une moyenne est un signal d’alerte si la liste est longue ; une étendue citée à côté du minimum et du maximum, comme ici, n’est que la description des deux bouts.

1. Huit valeurs : l’étendue vaut 7

   1. Tri : 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — la plus petite valeur est 2 et la plus grande est 9
   2. étendue = 9 − 2 = 7
   3. Les six valeurs intermédiaires — 4, 4, 4, 5, 5 et 7 — n’ont pris aucune part au calcul

   Les huit valeurs tiennent à trois unités du milieu, et pourtant l’étendue annonce 7, parce qu’elle mesure toute la largeur et non la partie densément peuplée. Cet écart entre « la largeur de la liste » et « la concentration des valeurs » est toute la raison pour laquelle on cite d’ordinaire une seconde mesure de dispersion à côté d’elle.

2. Une valeur poussée dehors : l’étendue bondit à 88

   1. Seule la plus grande valeur a changé, passant de 9 à 90 — les sept autres sont identiques au premier exemple
   2. étendue = 90 − 2 = 88
   3. L’écart type d’échantillon de la même liste vaut 30,2864, contre 2,1381 auparavant

   Les deux mesures ont augmenté, mais pour des raisons différentes. L’étendue a bougé exactement de ce dont la valeur extrême a bougé, parce qu’elle est décidée par les deux points les plus extérieurs et par rien d’autre. L’écart type se répartit sur les huit valeurs, donc la même modification isolée est absorbée et diluée par les sept autres. Une erreur d’un chiffre sur un seul nombre suffit à rendre une étendue inutilisable ; il faut un vrai changement dans les données pour déplacer l’écart type d’autant.

3. Valeurs négatives et un décimal

   1. La plus petite valeur est −5 et la plus grande est 10 — le signe fait partie de la valeur, donc l’intervalle traverse zéro
   2. étendue = 10 − (−5) = 10 + 5 = 15
   3. Les lectures négatives se comportent exactement comme les positives : soustraire le minimum ajoute sa valeur absolue, les deux signes négatifs s’annulant

   Soustraire un nombre négatif est l’endroit où les calculs à la main se trompent le plus souvent, et le résultat est visiblement plus grand que chacune des deux bornes quand les données encadrent zéro. Une liste de températures négatives, d’altitudes sous le niveau de la mer ou de soldes de compte se comporte de la même façon.

L’étendue n’utilise que deux valeurs sur toute la liste, donc une seule lecture extrême la décide entièrement : une faute de frappe, un défaut d’instrument, une journée réellement inhabituelle, et le nombre se déplace de toute l’ampleur de l’erreur. Elle ne dit rien non plus du milieu des données, là où se trouvent d’ordinaire la plupart des valeurs — deux listes ayant le même minimum et le même maximum peuvent être régulièrement étalées ou entassées en un seul tas, et l’étendue ne sait pas les distinguer. Comparer des étendues entre ensembles n’a de sens que si les unités et les tailles d’échantillon sont comparables, puisqu’un échantillon plus grand a plus de chances de contenir une valeur extrême. La liste est plafonnée à 200 valeurs, et un jeton comme « 1,500 » est refusé plutôt que deviné, parce qu’une virgule entre deux chiffres est un séparateur décimal dans certains pays et un séparateur de milliers dans d’autres. Cette page ne signale pas les valeurs aberrantes : l’étendue est la dernière mesure que l’on emploierait pour cela, puisqu’elle est définie par les valeurs mêmes que l’on voudrait tester. Les définitions retenues sont celles des ouvrages de référence internationaux (NIST) et non celles d’un programme scolaire national.

Comment trouve-t-on l’étendue d’un ensemble de données ?

Pour calculer l’étendue, repérez la valeur maximale et la valeur minimale, puis soustrayez : étendue = maximum − minimum. Pour la liste 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 cela donne 9 − 2 = 7. Aucune autre valeur de la liste n’intervient, donc il n’est pas nécessaire de trier les données ni de compter combien il y en a — même si le tri reste un moyen sûr de repérer les deux extrêmes quand la liste est longue. La calculatrice ci-dessus prend les nombres tels que vous les collez et affiche le minimum et le maximum à côté du résultat, ce qui permet de vérifier la soustraction.

Pourquoi l’étendue est-elle si facilement faussée par une seule valeur ?

Parce qu’elle est définie par les deux valeurs les plus extérieures et ignore toutes les autres. Remplacez 9 par 90 dans l’exemple et l’étendue passe de 7 à 88 — un bond de 81, exactement la distance dont cette valeur s’est déplacée. L’écart type d’échantillon de la même liste ne monte que de 2,1381 à 30,2864, parce que chacune des huit valeurs y contribue pour une part. Cette sensibilité n’est pas un défaut de la formule : c’est ce que signifie « la largeur de la liste ». Elle implique simplement qu’une étendue ne devrait jamais être citée sans dire combien de valeurs y sont entrées.

L’étendue est-elle la même chose que l’écart interquartile ?

Non, et elles répondent à des questions différentes. L’étendue est toute la largeur des données, de la plus petite valeur à la plus grande. L’écart interquartile est la largeur de la moitié centrale, du premier au troisième quartile. L’écart interquartile est volontairement insensible aux queues et l’étendue volontairement sensible, donc citer les deux donne au lecteur la largeur totale et la largeur du milieu densément peuplé en deux nombres. Si vous n’avez la place que pour un seul, demandez-vous si une lecture extrême, dans vos données, est significative ou erronée.

L’étendue dépend-elle du choix échantillon ou population ?

Non, et c’est pourquoi cette page n’a aucun sélecteur échantillon/population. La distinction compte pour les grandeurs qui divisent par le nombre de valeurs ou par ce nombre moins un — la variance et l’écart type — parce que ce diviseur diffère entre un échantillon et une population entière. L’étendue est une soustraction : il n’y a aucun diviseur sur lequel se disputer. Les pages de la variance et de l’écart type portent toutes deux ce sélecteur ; ici il ne changerait rien, et l’offrir laisserait croire le contraire.

L’étendue peut-elle être négative, ou nulle ?

Elle ne peut jamais être négative : la plus grande valeur est par définition au moins aussi grande que la plus petite, donc la soustraction renvoie zéro ou un nombre positif. Elle vaut zéro exactement lorsque toutes les valeurs de la liste sont identiques, y compris le cas d’une valeur unique, où le maximum et le minimum sont cette valeur et l’étendue vaut 0. Zéro est ici une vraie réponse, pas un échec : cela dit que les données n’ont aucune dispersion. Une valeur unique est acceptée pour la même raison : rien dans ce calcul n’exige une seconde observation.

Cette page m’indique-t-elle quelles valeurs sont aberrantes ?

Non. La règle usuelle pour signaler des valeurs aberrantes possibles repose sur l’écart interquartile — une valeur à plus de 1,5 × IQR sous le premier quartile ou au-dessus du troisième — et c’est une autre calculatrice. Utiliser l’étendue pour ce travail serait circulaire, puisque l’étendue est définie par les valeurs extrêmes mêmes que l’on voudrait tester : le minimum et le maximum d’un ensemble de données sont par définition ses points les plus extrêmes. Cette page décrit la largeur de la liste et laisse le verdict à l’outil conçu pour cela.

• étendue — Grand dictionnaire terminologique (écart entre la plus grande et la plus petite des valeurs observées ; fiche du domaine de la statistique) — OQLF — Office québécois de la langue française
• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (defines the range as the largest value minus the smallest, and notes that the spread near the centre of the data is not captured at all) — National Institute of Standards and Technology
• GB/T 3358.1-2009, Statistics — Vocabulary and symbols, Part 1 (the Chinese national vocabulary standard covering the range and the other measures of scale; the record page notes that no online full text is offered) — State Administration for Market Regulation, China