Aller au contenu principal
CalcMax

Calculatrice de moyenne des extrêmes

Résultat

5,5000

Centre de l’étendue

Moyenne
5,0000
Minimum
2,0000
Maximum
9,0000
Effectif
8

La moyenne des extrêmes est le milieu de l’étendue : la plus petite valeur plus la plus grande, divisées par deux. Cette calculatrice l’affiche à côté de la moyenne, et c’est justement l’écart entre les deux qui fait l’intérêt de la page. C’est une mesure de position, pas une mesure de dispersion : elle répond à la question « où se situe à peu près le centre de ces données ?», la même que la moyenne et la médiane. Comme elle est construite à partir des deux valeurs les plus extérieures et ignore tout ce qui se trouve entre elles, c’est la moins robuste des trois : un ensemble de données ordinaire lui donne 5,5 face à une moyenne de 5, et une seule valeur modifiée la fait passer de 5,5 à 46 pendant que la moyenne bouge à peine.

Formule

moyenne des extrêmes = (min + max) ÷ 2

min
La plus petite valeur de l’ensemble de données. Seules celle-ci et la plus grande entrent dans le calcul, donc toutes les valeurs intermédiaires peuvent changer sans déplacer le résultat
max
La plus grande valeur de l’ensemble de données. Le couple d’extrêmes mérite d’être vérifié avant de faire confiance au résultat, puisqu’un seul chiffre mal saisi atterrit directement dedans
midrange
Le milieu des extrêmes, dans l’unité des données. Il se trouve toujours entre la plus petite et la plus grande valeur, et il est égal aux deux lorsque la liste ne contient qu’une seule valeur
mean
La moyenne arithmétique, affichée à côté de la moyenne des extrêmes pour la comparaison. L’écart entre les deux montre quelle part des données se trouve loin du milieu des extrêmes

La moyenne des extrêmes est le résumé qui convient quand les extrêmes sont le sujet : le milieu entre la température maximale et la température minimale d’une journée, le milieu entre le niveau le plus haut et le plus bas d’une rivière sur une année, le centre entre le meilleur et le pire score d’une compétition, le milieu entre une offre et un prix demandé. Dans chacun de ces cas, les deux bornes constituent les données : vous n’échantillonnez pas une population plus grande, vous décrivez un intervalle qui a deux bouts. C’est le mauvais choix quand l’intérieur des données compte, parce qu’elle écarte tout sauf deux points et présente donc une variance plus élevée que la moyenne ou la médiane sur n’importe quel échantillon réel. Elle n’est pas non plus la médiane : pour 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 et 9 la médiane vaut 4,5 et la moyenne des extrêmes 5,5, et les deux ne coïncident que sur des données symétriques. Employez-la comme estimation rapide du centre quand un ordre de grandeur suffit — elle se lit directement dans un tableau de relevés minimaux et maximaux, sans aucune arithmétique supplémentaire.

Exemples détaillés

  1. Huit valeurs : la moyenne des extrêmes vaut 5,5, la moyenne 5

    1. La plus petite valeur est 2 et la plus grande est 9
    2. moyenne des extrêmes = (2 + 9) ÷ 2 = 5,5
    3. La moyenne de la même liste vaut 40 ÷ 8 = 5 — une demi-unité en dessous, parce que six des huit valeurs se situent à ce niveau ou en dessous

    Les deux nombres ne sont pas d’accord, et c’est là la partie utile. La moyenne des extrêmes ne voit que le fait que les données commencent à 2 et finissent à 9 ; la moyenne voit en plus qu’elles sont regroupées vers le bas. Ni l’une ni l’autre n’a tort — elles répondent à des questions différentes, et les afficher toutes les deux permet de voir d’un coup d’œil si les données sont régulièrement étalées entre leurs extrêmes ou tassées d’un côté.

  2. Une valeur modifiée : la moyenne des extrêmes fait plus que doubler

    1. Seule la plus grande valeur a changé, passant de 9 à 90 — les sept autres sont identiques au premier exemple
    2. moyenne des extrêmes = (2 + 90) ÷ 2 = 46
    3. La moyenne de la même liste vaut 121 ÷ 8 = 15,125, contre 5 auparavant

    La moyenne des extrêmes a bougé de plus de quarante unités pendant que la moyenne en bougeait de dix. Elle encaisse la moitié de toute modification d’une valeur extrême, sans rien pour la diluer ; la moyenne répartit cette même modification sur toutes les valeurs de la liste. Si un relevé de vos données n’est pas fiable, la moyenne des extrêmes se trompera de la moitié de cette erreur, et c’est pourquoi elle est réservée aux cas où les extrêmes sont précisément le sujet.

  3. Températures en dessous et au-dessus de zéro

    1. Le relevé le plus froid est −10 et le plus chaud est 40
    2. moyenne des extrêmes = (−10 + 40) ÷ 2 = 30 ÷ 2 = 15
    3. Les valeurs négatives ne demandent aucun traitement particulier : elles s’ajoutent au maximum, donc une liste qui traverse zéro se comporte exactement comme une liste qui ne le traverse pas

    La moyenne des extrêmes qu’annonce un service météorologique est exactement ce nombre : le milieu entre la minimale et la maximale du jour, et non la moyenne des relevés horaires. Cette convention mérite d’être connue, car les deux diffèrent dès que la température a passé plus de temps près d’un bout de son intervalle que de l’autre.

Limites

La moyenne des extrêmes n’est pas robuste, et la raison est structurelle plus qu’une question de degré : elle est calculée à partir des deux points les plus extrêmes, donc elle n’a aucune défense contre un chiffre mal saisi, un défaut d’instrument ou une observation réellement inhabituelle. Son usage est en général limité aux situations où le comportement aux points extrêmes est la chose pertinente. Elle n’est pas non plus la médiane, malgré un nom qui se ressemble dans certaines langues — la médiane est la valeur du milieu de la liste triée et la moyenne des extrêmes est le milieu des bornes, et les deux ne s’accordent que sur des données symétriques autour de leur centre. Avec une seule valeur, la moyenne des extrêmes, la moyenne, la plus petite et la plus grande valeur sont toutes ce même nombre. La liste est plafonnée à 200 valeurs, et un jeton comme « 1,500 » est refusé plutôt que deviné, parce qu’une virgule entre deux chiffres est un séparateur décimal dans certains pays et un séparateur de milliers dans d’autres. Rien sur cette page ne signale de valeurs aberrantes : les extrêmes qui définissent la moyenne des extrêmes sont exactement les valeurs qu’une telle règle chercherait à tester.

Questions fréquentes

Comment calcule-t-on la moyenne des extrêmes ?
Ajoutez la plus petite valeur à la plus grande et divisez par deux : moyenne des extrêmes = (min + max) ÷ 2. Pour la liste 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 cela donne (2 + 9) ÷ 2 = 5,5. Aucune autre valeur de l’ensemble de données n’intervient, donc il n’est pas nécessaire de trier la liste : il faut les deux bornes, et un simple balayage suffit en général à les repérer. La calculatrice ci-dessus affiche le minimum et le maximum qu’elle a utilisés, ce qui permet de vérifier la somme.
La moyenne des extrêmes mesure-t-elle le centre ou la dispersion ?
C’est une mesure de position — une façon de dire à peu près où se situent les données, comme la moyenne et la médiane. On la prend facilement pour une mesure de dispersion parce que les deux extrêmes qui la définissent définissent aussi l’étendue, et parce que les deux formules ne sont séparées que d’une opération : l’étendue vaut max − min et la moyenne des extrêmes (max + min) ÷ 2. Elles répondent à des questions différentes. L’étendue dit quelle largeur font les données ; la moyenne des extrêmes dit où se trouve leur milieu. La référence internationale la classe parmi les mesures de position et non parmi les mesures de dispersion.
Pourquoi la moyenne des extrêmes n’est-elle pas robuste ?
Parce qu’elle est construite à partir des deux valeurs les plus extrêmes de l’échantillon et de rien d’autre : toute erreur sur l’une des deux se retrouve directement dans la réponse, et seule la moitié en est absorbée. Remplacez 9 par 90 dans l’exemple et la moyenne des extrêmes bondit de 5,5 à 46, tandis que la moyenne ne passe que de 5 à 15,125. Cette sensibilité est souhaitable quand les extrêmes sont ce que vous mesurez, comme une maximale et une minimale journalières ; elle devient un handicap dans le cas contraire.
La moyenne des extrêmes est-elle la même chose que la médiane ?
Non. La médiane est la valeur du milieu de la liste triée, donc avec huit valeurs c’est la moyenne de la quatrième et de la cinquième : (4 + 5) ÷ 2 = 4,5. La moyenne des extrêmes est le milieu des deux bornes : (2 + 9) ÷ 2 = 5,5. Elles ne coïncident que lorsque les données sont symétriques autour de leur centre, et l’écart entre elles est en soi une information — ici la moyenne des extrêmes se situe au-dessus de la médiane, ce qui signifie que la moitié supérieure des données est plus étirée depuis le centre que la moitié inférieure.
Dans quel cas utiliser réellement la moyenne des extrêmes ?
Quand les deux bornes constituent les données, plutôt qu’un échantillon d’un ensemble plus grand. Un résumé météorologique qui annonce la maximale et la minimale du jour décrit une moyenne des extrêmes. Il en va de même pour un contrôle de tolérance en fabrication, où le cahier des charges donne un minimum et un maximum et où l’on cherche leur centre. C’est aussi une première estimation utile quand seuls les extrêmes ont été relevés : si un tableau indique le devis le moins cher et le plus cher, la moyenne des extrêmes est le milieu de cet intervalle, disponible sans rien savoir des prix intermédiaires.
Et si toutes les valeurs sont identiques, ou s’il n’y en a qu’une ?
Les deux cas fonctionnent et donnent tous deux cette même valeur. Avec la valeur unique 42, la plus petite et la plus grande sont toutes deux 42, donc la moyenne des extrêmes, la moyenne, le minimum et le maximum valent tous 42 — rien dans ce calcul n’exige une seconde observation. De même pour 3, 3, 3, 3, où les bornes sont égales et la moyenne des extrêmes vaut 3. Il n’y a ici aucun nombre minimal de valeurs, contrairement à la variance et à l’écart type, qui ont besoin d’un diviseur et donc de plus d’une valeur.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice d’étendueÉtendue d’une série, avec le minimum et le maximum.Calculatrice de moyenne, médiane et modeMoyenne, médiane, mode et étendue d’une série de données.Calculatrice de médianeMédiane d’une série, avec les deux valeurs du milieu.Calculatrice de moyenneCalcule la moyenne d’une liste de nombres, pas à pas.