Calculatrice de médiane

Médiane = la valeur centrale de la liste triée ; si l’effectif est pair, la moyenne des deux valeurs du milieu

xᵢ

Une valeur de l’ensemble de données. Seule sa position dans la liste triée compte : sa distance aux autres valeurs n’entre jamais dans le calcul, et c’est précisément pour cela qu’une lecture extrême laisse le résultat tranquille

n

Le nombre de valeurs de la liste, plafonné à 200 ici. Un effectif impair donne une seule valeur du milieu ; un effectif pair en donne deux, et leur moyenne est la médiane

Y₍ₖ₎

La k-ième valeur une fois la liste triée du plus petit au plus grand. NIST écrit le cas pair (Y(N/2) + Y(N/2+1)) / 2, ce qui désigne exactement la paire d’observations affichée sous le résultat

Y₍ₙ/₂₎ et Y₍ₙ/₂₊₁₎

Les deux valeurs du milieu. Elles sont affichées pour que la division soit vérifiable à l’œil, et pour un effectif impair c’est deux fois le même nombre : il n’y a bien qu’une seule valeur au milieu

M

La médiane. Elle porte l’unité des données d’origine, et ajouter la même constante à toutes les valeurs la décale de cette constante et de rien d’autre

Recourez à la médiane dès qu’une lecture peut être complètement à côté et que vous voulez malgré tout une valeur typique : prix immobiliers, revenus, temps d’attente, tout ce qui a une longue queue. Parce qu’elle compte des positions et non des grandeurs, le plus grand nombre de la liste peut être énorme sans que la médiane bouge, et cette résistance est toute la raison de son existence à côté de la moyenne. C’est aussi le centre naturel des étiquettes ordonnées — une échelle de notation, une taille — là où l’écart entre deux catégories voisines n’a pas de sens et ne peut pas être moyenné. Deux choses qu’elle ne dira pas : rien sur la dispersion, et rien sur les valeurs éloignées du milieu. Associez-la aux quartiles quand la forme des données compte, et retenez que sur un ensemble symétrique la médiane et la moyenne se superposent presque : un écart visible entre les deux est donc en soi une information sur l’asymétrie.

1. Effectif pair : les deux valeurs du milieu sont 4 et 5

   1. Tri : 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
   2. Effectif : 8 valeurs, il n’y a donc pas une seule valeur au milieu — la paire centrale est la 4e et la 5e
   3. La 4e valeur est 4 et la 5e est 5
   4. Médiane : (4 + 5) ÷ 2 = 4,5

   4,5 ne fait pas partie des nombres de la liste, et c’est normal pour un effectif pair. Le panneau affiche 4 et 5 à côté du résultat exactement pour cette raison : sans eux, rien ne permet de savoir si l’outil a moyenné la bonne paire ou s’il en a choisi une discrètement.

2. Effectif impair, avec une valeur très éloignée des autres

   1. Tri : 3, 7, 9, 12, 40
   2. Effectif : 5 valeurs, la valeur du milieu est donc la 3e
   3. Médiane : 9 — sans division, puisqu’il n’y a qu’une valeur au milieu

   La moyenne de ces cinq nombres vaut 14,2, tirée vers le haut par le 40 ; la médiane vaut 9 et ne s’en soucie pas. Remplacez 40 par 4 000 et la moyenne devient 806,2 tandis que la médiane reste 9. C’est tout l’argument en faveur de la médiane sur des données asymétriques, et cela ne coûte aucun calcul supplémentaire.

3. Quatre valeurs, où le milieu n’est pas une valeur de la liste

   1. Tri : 1, 2, 3, 4
   2. La paire centrale est la 2e et la 3e valeur : 2 et 3
   3. Médiane : (2 + 3) ÷ 2 = 2,5

   Deux autres conventions existent pour ce cas — prendre la plus petite de la paire (2) ou la plus grande (3) — et les trois figurent dans les manuels. Cette page fait la moyenne, comme le font NIST et la norme de vocabulaire GB/T. C’est la même règle que suivent les pages quartiles et centiles, et c’est pourquoi 2,5 ici est aussi le deuxième quartile là-bas.

La médiane est une position unique, elle laisse donc tomber presque tout le reste de l’information. Deux listes peuvent partager la même médiane et n’avoir aucune ressemblance — l’une serrée autour d’elle, l’autre étalée d’un bout à l’autre — et c’est pourquoi on la publie en général avec les quartiles plutôt que seule. Elle suppose la liste triée, ce qui veut dire que chaque valeur doit être lue avant que la réponse existe. Elle ne dit rien des valeurs elles-mêmes : une médiane de 9 indique qu’un nombre proche de 9 occupe le milieu, pas que 9 apparaisse quelque part. Pour des étiquettes ordonnées comme des tailles ou des mentions, l’arithmétique fonctionne encore, mais la réponse est l’étiquette du milieu, pas un nombre que l’on peut additionner. La liste est plafonnée à 200 valeurs. Une écriture comme 1,500 est refusée plutôt que devinée, parce qu’une virgule entre deux chiffres vaut séparateur décimal dans une grande partie du monde et séparateur de milliers ailleurs : écrivez 1500 ou 1,5. Les définitions retenues sont celles des ouvrages de référence internationaux (NIST, OpenStax, et la norme de vocabulaire GB/T pour le cas pair) et non celles d’un programme scolaire national.

Comment trouver la médiane d’une liste de nombres ?

Triez les nombres du plus petit au plus grand et comptez-les. Un effectif impair a une seule valeur au milieu — avec sept nombres, c’est le quatrième. Un effectif pair en a deux, et la médiane est leur moyenne : pour 1, 2, 3, 4 la paire centrale est 2 et 3, donc la médiane vaut 2,5. C’est toute la méthode. Le panneau ci-dessus affiche l’effectif, les deux valeurs du milieu et le résultat, de sorte que chaque étape se vérifie sans rien retrier.

Pourquoi la médiane est-elle parfois un nombre absent de ma liste ?

Parce qu’un effectif pair n’a pas de valeur centrale unique : la médiane est alors la moyenne des deux valeurs qui encadrent le milieu. Le 4,5 ci-dessus ne fait partie d’aucun des huit nombres, et c’est pourtant la bonne réponse — la moitié des valeurs sont en dessous, la moitié au-dessus. Les deux valeurs du milieu sont affichées à côté du résultat précisément pour que cela ne passe pas pour une erreur.

Quand faut-il préférer la médiane à la moyenne ?

Quand une seule lecture extrême peut fausser le tableau — revenus, prix immobiliers, temps d’attente, tout ce qui a une longue queue d’un côté. La moyenne additionne chaque valeur, donc un nombre très éloigné des autres la tire ; la médiane compte seulement combien de valeurs sont de part et d’autre, donc ce même nombre ne change rien. Sur un ensemble symétrique les deux réponses coïncident presque, et un écart entre elles est donc en soi un indice d’asymétrie.

Puis-je coller une colonne directement depuis un tableur ?

Oui. Les retours à la ligne, les tabulations, les points-virgules, les espaces et une virgule suivie d’un espace séparent toutes les valeurs, donc une colonne collée ou une ligne saisie avec des points-virgules fonctionnent aussi bien, et les segments vides sont ignorés plutôt que rejetés. Jusqu’à 200 valeurs sont lues. Une seule forme est refusée volontairement : un jeton comme « 1,500 » ou « 1.500 », où trois chiffres suivent le séparateur — c’est un séparateur de milliers dans certains pays et un séparateur décimal dans d’autres, alors écrivez 1500 ou 1,5.

La médiane a-t-elle une version échantillon et une version population ?

Non, et cette page n’a aucun sélecteur pour cela. La correction en n − 1 appartient aux mesures de dispersion, qui divisent une somme de carrés des écarts par un effectif ; la médiane ne divise rien, elle prend une position. Que votre liste soit un échantillon ou le groupe entier, la valeur du milieu reste la valeur du milieu. Les pages qui ont réellement besoin de ce choix sont celles de l’écart type et de la variance, et là le diviseur change vraiment la réponse.

Pourquoi la même liste donne-t-elle une autre médiane dans un autre outil ?

Presque toujours à cause de la règle du cas pair. Trois conventions circulent : faire la moyenne des deux valeurs du milieu, prendre la plus petite, ou prendre la plus grande. Pour 1, 2, 3, 4 elles donnent 2,5, 2 et 3. Cette page fait la moyenne, en suivant la définition donnée par NIST et la norme de vocabulaire GB/T, et les deux valeurs du milieu sont affichées pour que l’on voie quelle paire a été utilisée. Une seconde cause, plus rare, est une valeur saisie avec une virgule décimale que l’autre outil a lue comme un séparateur.

• Médiane — définitions et méthodes (si on ordonne une distribution, la médiane partage cette distribution en deux parties d’effectifs égaux : 50 % des salaires se situent sous la médiane et 50 % au-dessus) — Insee (Institut national de la statistique et des études économiques)
• Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 — OpenStax, Rice University
• GB/T 3358.1-2009, Statistics — Vocabulary and symbols, Part 1 (the Chinese national vocabulary standard covering the median and the other measures of location; the record page notes that no online full text is offered) — State Administration for Market Regulation, China