Calculatrice d’écart type relatif

Écart type relatif = (s ÷ x̄) × 100 %

s

L’écart type des relevés, dans les mêmes unités que les données. Le choix échantillon ou population se fait ci-dessous, et il modifie ce nombre, donc la réponse

x̄

La moyenne des relevés. Elle doit être strictement positive : une moyenne nulle mettrait un zéro au dénominateur, et une moyenne négative produit un rapport qui ne veut rien dire comme mesure de dispersion relative

RSD

L’écart type relatif, annoncé en pourcentage. La valeur est sans dimension — les unités de l’écart type et celles de la moyenne s’annulent — si bien que des résultats venus d’instruments ou d’échelles différentes peuvent être mis côte à côte

n

Le nombre de relevés pris en compte, plafonné à 200 ici. Répéter une mesure davantage resserre l’écart type : citer l’effectif fait donc partie d’une citation honnête d’un chiffre de précision

Employez-le chaque fois qu’une dispersion doit être jugée par rapport à la taille de ce que l’on mesure : mesures répétées d’un même échantillon, dispersion d’une courbe d’étalonnage, variation d’un dosage d’un jour à l’autre, bruit d’un capteur dont la sortie dérive. La formule est celle qu’utilise le coefficient de variation, et les deux noms voyagent ensemble : celui que l’on emploie dépend du domaine. La chimie analytique, la métrologie et les laboratoires cliniques annoncent l’écart type relatif, généralement abrégé RSD, et un pourcentage inférieur à environ 5 est souvent considéré comme une bonne répétabilité, bien que le seuil acceptable soit fixé par la méthode et non par une règle universelle. Les travaux économiques et sociaux ont plutôt tendance à dire coefficient de variation pour la même arithmétique, appliquée à des revenus, des prix ou des rendements. Employez le nom que votre lecteur attend ; le nombre est identique.

1. Huit valeurs, écart type d’échantillon

   1. La moyenne vaut 40 ÷ 8 = 5
   2. L’écart type d’échantillon vaut 2,1381
   3. 2,1381 ÷ 5 = 0,427618…, soit en pourcentage : 42,76 %

   Cette liste est délibérément très étalée, et 42,76 % le dit : la distance typique à la moyenne vaut presque la moitié de la moyenne elle-même. Un seul pourcentage porte toute la comparaison — la même liste mesurée en millimètres au lieu d’unités donnerait exactement le même nombre, parce que les unités s’annulent dans la division.

2. Les mêmes données avec le diviseur de population

   1. Seul le diviseur a changé : n au lieu de n − 1, ce qui donne un écart type de 2 plutôt que 2,1381
   2. La moyenne reste inchangée à 5
   3. 2 ÷ 5 = 0,4, donc l’écart type relatif vaut 40,00 %

   Les deux diviseurs diffèrent ici d’un facteur √(8/7), ce qui déplace l’écart type d’environ 7 % et le pourcentage de 42,76 à 40,00. Répéter une mesure cinq fois produit un échantillon d’un processus plus vaste, donc la forme en n − 1 est le choix habituel ; la forme population est correcte quand la liste est réellement la totalité de ce qui existe.

3. Cinq mesures répétées du même échantillon

   1. Les cinq relevés donnent en moyenne 241 ÷ 5 = 48,2
   2. Leur écart type d’échantillon vaut 0,255
   3. 0,255 ÷ 48,2 = 0,005289…, soit en pourcentage : 0,53 %

   Voilà la forme d’un vrai contrôle de précision : cinq répétitions d’une même mesure, dispersées d’environ un quart d’unité autour de 48,2. L’écart type relatif de 0,53 % est le chiffre qui entre dans le rapport — pas l’écart type de 0,255, qui ne dit rien tant qu’on ne sait pas que les relevés eux-mêmes tournent autour de 48. Le même 0,255 autour d’une moyenne de 1 donnerait 25,5 %, et c’est toute la raison pour laquelle c’est le rapport qui est cité.

4. Tous les relevés identiques

   1. La moyenne vaut 10 et l’écart type vaut 0 — aucun des deux relevés ne diffère de l’autre
   2. 0 ÷ 10 = 0, donc l’écart type relatif vaut 0,00 %

   Zéro est ici une vraie réponse et non un échec : cela dit que la mesure s’est répétée à l’identique. C’est possible avec un instrument qui affiche un nombre fixe de chiffres, et c’est le seul cas où l’écart type relatif ne sait pas distinguer une très bonne précision d’une absence totale de mesure — c’est l’écart type de 0 qui parle.

La moyenne doit être strictement positive, et c’est une vraie restriction, pas une subtilité technique. Si la moyenne est nulle, l’écart type est divisé par zéro et la réponse n’est pas définie ; si la moyenne est négative, le rapport est calculable mais dénué de sens, parce qu’une dispersion divisée par un centre négatif ne mesure pas une variabilité relative. Les données qui traversent zéro — températures en degrés Celsius, profits et pertes, altitudes de part et d’autre du niveau de la mer — sont donc hors du domaine de cet outil, tout comme toute mesure sur une échelle d’intervalle plutôt que de rapport, puisqu’une variation en pourcentage dépend de l’endroit où se trouve le zéro. Deux ensembles de données peuvent partager le même écart type relatif et n’avoir aucune forme commune : le chiffre n’utilise que la moyenne et l’écart type, il ne peut donc pas voir une asymétrie, une queue lourde ou un second groupe. Un petit nombre n’est pas non plus automatiquement meilleur — un écart type relatif proche de zéro peut signaler un instrument à résolution grossière qui arrondit tout à la même lecture. Il n’existe aucun seuil universel de ce qui compte comme bon : le chiffre acceptable vient de la méthode, du cahier des charges ou de la pratique du domaine, et c’est pourquoi cette page affiche le nombre sans verdict. La liste est plafonnée à 200 valeurs, et un jeton comme « 1,500 » est refusé plutôt que deviné, parce qu’une virgule entre deux chiffres est un séparateur décimal dans certains pays et un séparateur de milliers dans d’autres.

Qu’est-ce que l’écart type relatif ?

C’est l’écart type divisé par la moyenne, annoncé en pourcentage : RSD = (s ÷ x̄) × 100 %. Pour les relevés 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 et 9 l’écart type vaut 2,1381 et la moyenne 5, ce qui donne 42,76 %. C’est la division par la moyenne qui rend le chiffre comparable à la taille de la mesure — un écart type de 0,255 est petit à côté d’une moyenne de 48,2 et donne 0,53 %, tandis que le même 0,255 à côté d’une moyenne de 1 donnerait 25,5 %.

Est-ce la même chose que le coefficient de variation ?

Oui — les deux noms décrivent la même arithmétique, et la seule différence est la multiplication par 100. La plupart des logiciels, y compris la référence citée ici, l’appellent coefficient de variation et l’annoncent comme un simple rapport (0,4276 plutôt que 42,76 %). Les laboratoires et les documents de métrologie ont plutôt tendance à l’appeler écart type relatif et à l’écrire en pourcentage. La valeur de cette page vaut donc exactement 100 fois le coefficient de variation pour les mêmes données, et le diviseur échantillon ou population est la seule autre chose qui puisse faire diverger deux outils.

Existe-t-il une limite au-delà de laquelle la précision est bonne ?

Aucune limite universelle, et cette page n’en fournit délibérément pas. Un écart type relatif inférieur à environ 5 % est couramment cité comme une bonne répétabilité en chimie analytique, mais ce chiffre vient de la pratique d’un domaine particulier et des exigences d’une méthode particulière — un dosage géochimique et une mesure clinique peuvent avoir des seuils d’acceptation très différents. Traitez un seuil publié comme une règle empirique propre à cette discipline, pas comme une propriété de la statistique. Ce qu’il faut faire à la place, c’est comparer à la précision que la méthode ou l’instrument est censé fournir.

Mes données contiennent des nombres négatifs. Que se passe-t-il ?

Le calcul est refusé, et c’est voulu. Un écart type relatif exige une moyenne strictement positive. Si la moyenne est nulle, on diviserait par zéro ; si la moyenne est négative, diviser une dispersion par elle produit un pourcentage négatif qui ne dit rien d’utile sur la variabilité relative. La raison profonde est que ce chiffre n’a de sens que pour des mesures sur une échelle de rapport — une échelle avec un vrai zéro, où 2 kg vaut bien deux fois 1 kg. Les températures en degrés Celsius, les profits et pertes et les altitudes au-dessus et au-dessous du niveau de la mer sont sur des échelles d’intervalle, où le zéro est une convention, si bien qu’aucun rapport de ce genre n’a de sens pour elles.

Faut-il employer le diviseur d’échantillon ou celui de population ?

Employez n − 1, la forme échantillon, dès que les relevés sont un échantillon de quelque chose de plus vaste — ce qui comprend le cas habituel où l’on mesure plusieurs fois un même échantillon, puisque ces répétitions représentent toutes les mesures que l’on aurait pu faire. Employez n, la forme population, seulement quand la liste est l’ensemble complet des valeurs qui existent, par exemple tous les relevés qu’un procédé fixe a produits dans un lot que vous avez enregistré intégralement. La différence est faible pour de longues listes et notable pour de courtes : avec huit valeurs, la forme échantillon donne ici 42,76 % contre 40,00 % pour la forme population, un écart de près de trois points de pourcentage.

L’écart type relatif peut-il valoir zéro ?

Oui, chaque fois que tous les relevés sont identiques — l’écart type vaut alors 0, donc la réponse est 0,00 %. Deux relevés de 10 donnent une moyenne de 10 et un écart type de 0. C’est le seul cas où un chiffre très petit doit être lu avec prudence plutôt que célébré : un instrument qui arrondit sa sortie peut produire des relevés identiques même quand la grandeur sous-jacente bouge légèrement, si bien qu’un écart type relatif exactement nul mesure peut-être la résolution de l’affichage plutôt que la stabilité de l’échantillon.

• Coefficient de variation — définitions et méthodes (le coefficient de variation est le rapport de l’écart-type à la moyenne ; sans unité, il permet la comparaison de distributions de valeurs dont les échelles de mesure ne sont pas comparables) — Insee (Institut national de la statistique et des études économiques)
• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (defines the standard deviation this figure is built from, and states that squaring the distance from the mean gives greater weight to values far from it) — National Institute of Standards and Technology
• Normal Distribution — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.6.6.1 (lists the coefficient of variation σ / μ among the standard summaries of a distribution — the same quantity this page reports as a percentage; the handbook uses the coefficient-of-variation name) — National Institute of Standards and Technology
• GB/T 3358.1-2009, Statistics — Vocabulary and symbols, Part 1 (the Chinese national vocabulary standard covering the standard deviation and the measures of relative dispersion; the record page notes that no online full text is offered) — State Administration for Market Regulation, China