Calculatrice de moyenne arithmétique

Moyenne = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n = Σx ÷ n

xᵢ

Un nombre de la liste. Les valeurs peuvent être négatives — une température, un solde, un écart à une cible — et elles peuvent être décimales ou fractionnaires ; seuls le total et le nombre de valeurs entrent dans la formule, donc rien n’a besoin d’être trié au préalable

Σx

La somme de toutes les valeurs, affichée sur le panneau de résultats. C’est le numérateur, et c’est lui qui porte l’unité : une somme de minutes se mesure en minutes, et la moyenne qui en sort aussi

n

Le nombre de valeurs, également affiché. C’est le dénominateur, et c’est de là que cette moyenne tire son sens — la somme est répartie à parts égales entre les valeurs, donc la réponse est ce que chacune vaudrait si toutes avaient la même part

Σx ÷ n

L’unique division, écrite sur le panneau avec les nombres réels dedans. La vérifier est justement la raison d’afficher la somme et le nombre de valeurs séparément : si la réponse a l’air fausse, c’est cette ligne qui dit si c’est la somme qui a été mal saisie ou le nombre de valeurs

Employez la moyenne pour des grandeurs qui s’additionnent, et dont chaque entrée doit compter pareil. Cela couvre la plupart des cas ordinaires : la note moyenne d’une classe, le prix moyen d’un panier de courses, le nombre moyen de minutes que prend une tâche, la température moyenne d’un mois. C’est aussi le nombre qui fait tomber le total juste — la somme des écarts à la moyenne vaut exactement zéro — ce qui explique qu’elle soit le résumé naturel d’un total, et qu’elle serve d’entrée à presque tout le reste en statistique. Prenez autre chose quand les entrées n’ont pas la même importance, c’est-à-dire une moyenne pondérée ; quand les valeurs se multiplient au lieu de s’additionner, comme les taux de croissance et les rapports, c’est-à-dire une moyenne géométrique ; quand les valeurs sont des allures, c’est-à-dire une moyenne harmonique ; et quand quelques valeurs extrêmes tireraient la réponse loin du cas typique, c’est-à-dire une médiane. La moyenne est sensible aux valeurs aberrantes par construction, puisque chaque valeur tire sur elle proportionnellement à son éloignement, et cette sensibilité est tantôt la raison de l’employer, tantôt la raison de s’en abstenir.

1. Cinq notes de contrôle

   1. Additionnez les valeurs : 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433
   2. Comptez-les : il y en a 5
   3. Divisez : 433 ÷ 5 = 86,6

   Le panneau écrit cette division en entier — (85 + 90 + 78 + 92 + 88) / 5 = « 86.6000 » — pour que la réponse se vérifie sans refaire l’addition, et pour que le dénominateur soit visiblement le nombre de valeurs et rien d’autre. La somme de 433 vaut la peine d’être regardée pour elle-même : c’est le total que la classe a obtenu, et la moyenne est la note que chaque élève aurait eue si ce total avait été partagé également. Cette même liste de cinq nombres est la valeur par défaut des quatre pages de ce groupe, donc passer d’une page à l’autre donne les mêmes données sous une autre moyenne : 86,6 est la moyenne arithmétique, et les moyennes pondérée, géométrique et harmonique sont toutes plus basses pour cette liste.

2. Une liste avec des valeurs négatives

   1. Additionnez les valeurs : −5 + (−1) + 3 = −3
   2. Il y a 3 valeurs
   3. Divisez : −3 ÷ 3 = −1

   Les valeurs négatives sont des entrées ordinaires : des températures sous zéro, des soldes dans le rouge, des relevés par rapport à une référence. Le panneau écrit la somme sous la forme (−5 − 1 + 3) plutôt que (−5 + −1 + 3), ce qui revient au même mais se lit comme on le dirait à voix haute. Remarquez que la réponse, −1, se situe entre la plus petite valeur et la plus grande, comme une moyenne le doit toujours — une moyenne qui tombe en dehors de l’intervalle des données signale une saisie erronée. Elle n’a pas non plus besoin de figurer dans la liste, et pour cette liste elle n’y figure pas.

3. Deux valeurs décimales

   1. Additionnez les valeurs : 0,3 + 0,45 = 0,75
   2. Il y a 2 valeurs
   3. Divisez : 0,75 ÷ 2 = 0,375

   Les décimales se saisissent avec la virgule ici, et une valeur peut s’écrire avec autant de chiffres qu’on veut — rien n’est arrondi à l’entrée. La réponse est affichée à quatre décimales, ce qui ajoute ici un zéro final : 0,3750 plutôt que 0,375. Ce remplissage est délibéré et ne prétend pas à une précision supplémentaire ; c’est ce qui aligne le panneau de résultats sur la division écrite juste au-dessus, et c’est le nombre de décimales que toutes les réponses de cette page utilisent.

4. Huit valeurs, écrites avec un Σ

   1. Additionnez les valeurs : 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
   2. Il y a 8 valeurs
   3. Divisez : 40 ÷ 8 = 5

   Cette liste dépasse six valeurs, donc la ligne pas à pas passe à l’abréviation : Σx / 8 = « 5.0000 » au lieu d’écrire les huit nombres. Le Σ est le même symbole que celui du bloc de formule, et il veut exactement dire ce que disait la ligne développée — additionnez-les toutes — donc rien n’est perdu, et une liste de deux cents valeurs ne produit pas une ligne de deux cents nombres. Le basculement se fait au-delà de six valeurs et pas à un autre compte : en dessous, la ligne développée reste assez courte pour être la plus utile des deux, et à six valeurs elle l’est encore.

La liste doit contenir au moins une valeur et au plus deux cents, et un jeton qui n’est pas un nombre est refusé plutôt qu’ignoré — une liste 1, 2, abc est rejetée au lieu d’être moyennée sur les deux nombres qui se laissent lire. Une virgule entre deux chiffres est traitée comme un séparateur décimal, donc 1,500 vaut 1,5 et non mille cinq cents ; écrivez 1 500 ou 1,5. Rien n’est arrondi à l’entrée : les valeurs sont utilisées exactement telles qu’elles ont été saisies, et seul le résultat affiché est fixé à quatre décimales, si bien qu’une longue liste de valeurs à nombreux chiffres donne une réponse correcte qui peut s’afficher comme sa voisine. La moyenne n’a ni borne haute ni borne basse à laquelle se raccrocher — elle rendra une réponse pour une liste de températures comme pour une liste de prix sans savoir ce qu’elle regarde, et elle ne peut pas deviner que les deux ne vont pas dans la même liste. Enfin, cette moyenne n’est pas robuste : une seule valeur très grande la déplace de loin, et chaque valeur tire sur elle proportionnellement à sa distance au résultat.

Comment trouver la moyenne d’une liste de nombres ?

Additionnez les nombres, comptez combien il y en a, puis divisez le total par ce nombre. Pour les cinq notes de cette page, le total vaut 433 et il y a 5 notes, donc la moyenne est 433 ÷ 5 = 86,6. Le total et le nombre de valeurs sont tous les deux affichés sur le panneau de résultats à côté de la réponse, ce qui permet de vérifier la division sans refaire l’addition soi-même.

Quelle différence entre la moyenne et la moyenne arithmétique ?

La moyenne arithmétique est celle que l’on calcule en additionnant les valeurs puis en divisant par le nombre de valeurs, et on l’appelle ainsi pour la distinguer de la moyenne géométrique et de la moyenne harmonique. Dans l’usage courant, on dit simplement « la moyenne », et c’est d’elle qu’il s’agit. En statistique, le mot moyenne est plus général et désigne toute valeur centrale, la médiane et le mode compris, ce qui explique que le qualificatif arithmétique soit parfois nécessaire pour lever l’ambiguïté.

La moyenne peut-elle être un nombre qui n’est pas dans la liste ?

Oui, et c’est le cas le plus fréquent. Rien dans le calcul n’exige que la réponse soit l’une des valeurs : la moyenne de 1 et de 2 vaut 1,5, qui ne figure pas dans cette liste, et la moyenne des cinq notes ci-dessus vaut 86,6, qui n’est aucune des cinq notes. Ce qui est garanti, c’est que la réponse tombe entre la plus petite et la plus grande valeur, et qu’elle n’atterrit sur l’une d’elles que si la liste s’y prête.

Comment calculer la moyenne de nombres négatifs ?

Exactement de la même façon qu’avec des positifs : on les additionne, puis on divise par le nombre de valeurs. Les signes se gèrent tout seuls dans l’addition, donc −5, −1 et 3 font −3, et diviser par 3 donne −1. Le panneau écrit la somme avec des signes moins entre les termes plutôt qu’avec des signes plus devant des nombres négatifs, ce qui est la même arithmétique écrite comme on la dirait.

Pourquoi le résultat s’affiche-t-il avec quatre décimales ?

Parce que toutes les réponses de cette page sont imprimées à quatre décimales, et qu’un nombre fixe de décimales est ce qui rend le panneau comparable d’une saisie à l’autre — 0,375 s’affiche 0,3750 pour s’aligner sur la division écrite au-dessus. Cela ne veut pas dire que la réponse est exacte à quatre décimales ; la valeur sous-jacente porte toute la précision du calcul, et seule son affichage est fixé.

Quand la moyenne est-elle la mauvaise moyenne à employer ?

Quand les entrées n’ont pas la même importance, quand elles se multiplient au lieu de s’additionner, ou quand quelques valeurs extrêmes tireraient la réponse loin du cas typique. Une importance inégale appelle une moyenne pondérée ; les taux de croissance et les rapports, qui se composent, appellent une moyenne géométrique ; les allures comme des vitesses sur une distance fixe appellent une moyenne harmonique ; et une série asymétrique, où le cas typique compte plus que le total, appelle une médiane.

• Arithmetic Mean — MathWorld (the definition, the zero-sum property of the deviations, and the inequality with the geometric and harmonic means) — Wolfram MathWorld
• Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1 (the mean as a balance point, and how a single extreme value moves it) — National Institute of Standards and Technology (NIST)