Calculatrice de moyenne pondérée

Moyenne pondérée = Σ wᵢxᵢ ÷ Σ wᵢ

xᵢ

Une valeur de la liste — une note, un prix, une mesure. Chaque valeur doit être fournie, y compris celles dont le poids se révèle nul ; une valeur omise n’est pas la même chose qu’une valeur de poids nul

wᵢ

Le poids de cette valeur, écrit à la même position dans le second champ. Ce peut être un pourcentage, un nombre de crédits, un nombre de personnes ou n’importe quelle autre part — seul le rapport entre les poids compte, et la page n’exige ni qu’ils soient entiers ni qu’ils totalisent 100

Σ wᵢxᵢ

Le total pondéré : chaque valeur multipliée par son propre poids, puis additionnée. C’est le numérateur, et c’est lui qui fait glisser la réponse vers les entrées les plus lourdement pondérées

Σ wᵢ

Le poids total, affiché sur le panneau de résultats. C’est en divisant par lui que le total pondéré redevient une moyenne — et c’est aussi le contrôle : si ce nombre n’est pas celui attendu, un poids a été mal saisi, et la réponse est fausse d’une façon qu’aucune autre ligne ne révélera

Employez une moyenne pondérée dès que les entrées diffèrent par l’importance qu’elles doivent avoir, et une moyenne ordinaire quand elles ne diffèrent pas. Le contrôle continu en est le cas quotidien : un examen final qui compte pour 30 % et un devoir surveillé qui compte pour 10 % ne sont pas deux notes à moyenner à égalité, et la même arithmétique couvre une moyenne de crédits, le prix d’achat moyen d’un portefeuille, et une note de satisfaction client où chaque agence a reçu un nombre de réponses différent. C’est aussi le bon outil pour un nombre qui est lui-même une moyenne : si l’agence A annonce une moyenne de 40 sur 10 ventes et l’agence B une moyenne de 90 sur 2 ventes, moyenner 40 et 90 donne 65, un chiffre que personne n’a jamais payé, tandis que pondérer par les effectifs donne ce que l’entreprise a réellement encaissé. Ne l’employez pas pour donner plus d’influence à une valeur parce qu’elle serait plus fiable ou plus importante en un autre sens — le poids est une part du total, et la réponse est exactement ce que donnerait une moyenne ordinaire si chaque valeur était répétée autant de fois que son poids.

1. Cinq notes avec des poids en pourcentage

   1. Multipliez chaque note par son poids : 85 × 20 = 1 700, 90 × 20 = 1 800, 78 × 10 = 780, 92 × 20 = 1 840, 88 × 30 = 2 640
   2. Additionnez les produits : 1 700 + 1 800 + 780 + 1 840 + 2 640 = 8 760
   3. Additionnez les poids : 20 + 20 + 10 + 20 + 30 = 100
   4. Divisez : 8 760 ÷ 100 = 87,6

   La moyenne ordinaire de ces cinq notes vaut 86,6, donc la pondération vaut ici 1 point. Elle vient de l’endroit où se trouve le poids : 78 est la note la plus basse et ne porte que 10, tandis que 88 porte 30, la part la plus grande. La moyenne pondérée est donc tirée vers le haut — non parce que la pondération serait injuste, mais parce que c’est ce qu’on lui a demandé. Lire les mêmes nombres dans l’autre sens complète le tableau : si le poids de 30 avait porté sur 78 au lieu de 88, la réponse serait 85,6, un point sous la moyenne ordinaire. Une moyenne pondérée ne vaut que ce que valent ses poids, et c’est pourquoi le poids total est affiché à côté du résultat.

2. Une moyenne de crédits sur cinq cours

   1. Multipliez chaque note par les crédits de ce cours : 4 × 3 = 12, 3,7 × 4 = 14,8, 3,3 × 3 = 9,9, 3 × 2 = 6, 4 × 3 = 12
   2. Additionnez les produits : 12 + 14,8 + 9,9 + 6 + 12 = 54,7
   3. Additionnez les crédits : 3 + 4 + 3 + 2 + 3 = 15
   4. Divisez : 54,7 ÷ 15 = 3,6467

   C’est le calcul qui se cache derrière une moyenne de crédits, et c’est la raison pour laquelle la page affiche le poids total : 15 crédits est le dénominateur de la fraction, et une moyenne venue de 15 crédits n’est pas la même affirmation qu’une moyenne venue de 60. La moyenne ordinaire des cinq notes vaut 3,6, donc les crédits déplacent la réponse de 0,0467 — un décalage plus faible que dans l’exemple précédent, parce que les crédits ne vont que de 2 à 4 tandis que les poids allaient de 10 à 30. Le chiffre non pondéré mérite d’être connu lui aussi : si tous les cours valaient pareil, le dossier de cet étudiant afficherait 3,6 plutôt que 3,65.

3. Des poids qui ne totalisent pas 100

   1. Multipliez chaque valeur par son poids : 10 × 1 = 10, 20 × 2 = 40, 30 × 3 = 90
   2. Additionnez les produits : 10 + 40 + 90 = 140
   3. Additionnez les poids : 1 + 2 + 3 = 6
   4. Divisez : 140 ÷ 6 = 23,3333

   Ces poids totalisent 6, et c’est parfaitement acceptable — la réponse serait identique s’ils s’écrivaient 10, 20 et 30, ou 0,1, 0,2 et 0,3. Seul le rapport compte, donc un jeu de poids se lit mieux comme une recette que comme des pourcentages : quel que soit leur total, les valeurs sont mélangées dans ces proportions. La seule chose qui change est le poids total affiché à côté de la réponse, qui suit les poids que vous avez saisis. Remarquez aussi que la réponse se tient bien plus près de la plus grande valeur, 30, que la moyenne ordinaire de 20 : le poids le plus lourd porte sur l’entrée la plus grande, et la moyenne pondérée est un point d’équilibre, elle glisse donc vers ce qui porte le plus.

Les poids doivent être nuls ou positifs, et au moins l’un d’eux doit être strictement positif : une liste dont tous les poids sont nuls n’a pas de moyenne pondérée, et la page la refuse plutôt que de diviser par rien. Un poids nul isolé est autorisé et signifie que cette entrée est ignorée — elle compte toujours dans le nombre de valeurs et figure toujours parmi les valeurs, mais elle ne contribue pas à la réponse, ce qu’il vaut mieux savoir avant de lire un zéro comme un simple petit poids. Rien n’est normalisé à votre place, donc des poids qui totalisent 150 conviennent, et des poids qui totalisent 0,4 aussi ; seul leur rapport influe sur le résultat. Les deux champs sont positionnels, donc les poids doivent être écrits dans le même ordre que les valeurs et il doit y en avoir autant — la page refuse une discordance plutôt que de deviner quel poids va avec quelle valeur, et ce refus est la garde contre le pire des échecs ici, une réponse d’apparence correcte construite sur des paires mal alignées. Ce n’est pas une moyenne pondérée de tableau d’effectifs, où une valeur représente plusieurs relevés ; pour ce cas, saisissez la valeur une fois avec l’effectif comme poids et la réponse sera la même, mais un tableau recopié tel quel ne fonctionnera pas. Les listes sont plafonnées à 200 paires, et un jeton comme 1,500 vaut 1,5 et non mille cinq cents, parce qu’une virgule entre deux chiffres est un séparateur décimal ; écrivez 1 500 ou 1,5.

Comment calculer une moyenne pondérée ?

Multipliez chaque valeur par son poids, additionnez ces produits, puis divisez par la somme des poids. Pour les cinq notes de cette page, les produits valent 1 700, 1 800, 780, 1 840 et 2 640, dont la somme fait 8 760, et les poids totalisent 100, donc la moyenne pondérée est 8 760 ÷ 100 = 87,6. Les deux termes de cette division sont affichés sur le panneau de résultats, ce qui permet de vérifier le calcul sans refaire les multiplications à la main.

Quelle différence entre une moyenne pondérée et une moyenne ordinaire ?

Une moyenne ordinaire donne à chaque entrée la même importance ; une moyenne pondérée donne à chacune la sienne, et la réponse se déplace vers les valeurs les plus lourdement pondérées. Les deux coïncident quand tous les poids sont égaux, ce qui fait de la moyenne ordinaire un cas particulier de la pondérée. La moyenne pondérée est donc la bonne réponse dès qu’une entrée doit compter plus qu’une autre — un examen final plus lourd qu’un devoir, un cours à plus de crédits qu’un autre, une agence qui a reçu plus de réponses qu’une autre.

Les poids doivent-ils totaliser 100 ?

Non, et rien sur cette page ne divise par 100. Les poids sont une part, donc seul leur rapport compte : 1, 2 et 3 donnent la même réponse que 10, 20 et 30, et la même encore qu’en pourcentages. Des ensembles qui ne totalisent pas 100 sont courants dès que les poids ne sont pas des pourcentages du tout — des crédits, des nombres de réponses, des parts de portefeuille. Le seul nombre qui suive ce que vous avez saisi est le poids total, que la page affiche à côté de la réponse.

Que se passe-t-il si un poids est nul ?

Cette valeur est entièrement écartée de la moyenne, comme si elle n’avait jamais figuré dans la liste — mais elle compte toujours dans le nombre de valeurs et doit toujours être saisie dans les deux champs, parce que les deux champs sont appariés position par position. Un poids nul n’est pas un petit poids, c’est l’absence de poids, et les deux affirmations sont différentes. Ce que la page n’accepte pas, c’est que tous les poids soient nuls : le poids total serait alors nul et la division n’aurait pas de réponse, donc la saisie est refusée au lieu de produire un infini.

Puis-je l’employer pour des notes ou une moyenne de crédits ?

Oui, et ce sont les deux usages standards. Des notes pondérées suivent la même arithmétique que le premier exemple : les notes dans le premier champ, le poids de chaque évaluation dans le second. Une moyenne de crédits fonctionne de la même façon avec les notes comme valeurs et les crédits comme poids, ce qui est le deuxième exemple — la réponse est le nombre qu’un secrétariat calculerait, et le poids total affiché à côté est le total des crédits.

Pourquoi afficher le poids total si la réponse n’en dépend pas ?

Parce que c’est le dénominateur qui servirait à vérifier la division, et parce que c’est là qu’une faute de frappe se voit en premier. Si le poids total vaut 97 alors que vous visiez des pourcentages, un poids a été mal saisi — et la moyenne pondérée qui en sort est fausse d’une manière qu’aucune autre ligne du panneau ne révèle, puisque les valeurs et le nombre de valeurs sont tous deux corrects. Si les poids comptent quelque chose de réel, des crédits ou des réponses ou des personnes, le total est un nombre utile en soi.

• Weighted Mean — MathWorld — Wolfram MathWorld
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (why the mean is a balance point, and how weights move it) — National Institute of Standards and Technology (NIST)