Calculatrice de moyenne harmonique

Moyenne harmonique = n ÷ (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ) = n ÷ Σ(1/xᵢ)

xᵢ

Une valeur de la liste, et chacune d’elles doit être supérieure à zéro. Un zéro rend 1/x infini, donc la somme des inverses infinie, et le résultat sort sous la forme d’un zéro bien propre qui a l’air d’un résultat ; une valeur négative peut annuler le dénominateur ou faire sortir la réponse de l’intervalle des données

1/xᵢ

L’inverse d’une valeur — son allure transformée en temps, ou un temps transformé en allure. C’est l’étape qui fait que la moyenne harmonique se comporte si différemment des deux autres : une petite valeur a un grand inverse et tire le plus fort sur la réponse, ce qui est exactement ce qui doit se passer quand cette petite valeur est une vitesse lente qui avale les heures

Σ(1/xᵢ)

La somme de ces inverses, et le dénominateur de la fraction. C’est ce que le panneau écrit terme par terme quand la liste est courte, parce que cette somme est tout le calcul : le reste n’est qu’une division à la fin

n

Le nombre de valeurs, affiché sur le panneau de résultats. Il remultiplie ce que les inverses ont divisé — sans lui, la réponse serait l’inverse d’une moyenne et non une moyenne

On emploie la moyenne harmonique quand le numérateur est fixe et que le dénominateur varie : une distance fixe parcourue à des vitesses différentes, une quantité de travail fixe effectuée à des rythmes différents, une tension fixe aux bornes de résistances de valeurs différentes. Le cas d’école est un trajet en deux moitiés — 30 à l’aller et 60 au retour donnent 40, parce que le retour dure deux fois moins longtemps que l’aller, donc la vitesse lente a deux fois plus de temps pour peser sur la réponse. Moyenner les deux vitesses arithmétiquement donne 45, ce qui serait la bonne réponse si l’on avait passé la moitié du temps à chaque vitesse, et il vaut la peine de savoir laquelle des deux questions on se pose. La même structure couvre la consommation d’un trajet en deux étapes, le prix moyen payé quand on dépense un budget fixe à deux prix différents, et les résistances en parallèle, où le total est l’inverse de la somme des inverses — pour des résistances égales, cela se réduit à la résistance divisée par leur nombre, ce qui est la moyenne harmonique d’une liste de valeurs identiques. Ne l’employez pas sur des quantités qui s’additionnent : pour des notes, des tailles ou des montants, la moyenne harmonique est un nombre plus petit que rien ne vient interpréter, et plus les valeurs sont dispersées, plus elle tombe bas sous la moyenne arithmétique.

1. Cinq notes de contrôle

   1. Prenez l’inverse de chaque valeur : 1/85 = 0,011765, 1/90 = 0,011111, 1/78 = 0,012821, 1/92 = 0,010870, 1/88 = 0,011364
   2. Additionnez-les : 0,011765 + 0,011111 + 0,012821 + 0,010870 + 0,011364 = 0,057931
   3. Divisez le nombre de valeurs par la somme des inverses — la somme arrondie ci-dessus ne redonne pas le compte : 5 ÷ (1/85 + 1/90 + 1/78 + 1/92 + 1/88) = 86,3118

   Le panneau n’affiche délibérément pas cette somme intermédiaire de 0,057931 : c’est une valeur arrondie, et 5 ÷ 0,0579 = 86,3558, donc un lecteur qui vérifierait le calcul avec elle obtiendrait un autre nombre que celui du panneau. C’est l’expression qui est affichée, ce qui dit ce qui a été fait sans inviter à une division qui ne retombe pas juste. Cet exemple complète aussi la chaîne de ce site : pour ces cinq nombres, la moyenne harmonique vaut 86,3118, la moyenne géométrique 86,458 et la moyenne arithmétique 86,6 — les trois se rangent donc dans l’ordre que l’inégalité promet, et l’écart entre elles se lit comme une mesure de l’irrégularité de la liste.

2. Aller à 30, retour à 60 — la vitesse moyenne est 40

   1. Prenez les inverses : 1/30 = 0,033333 et 1/60 = 0,016667
   2. Additionnez-les : 0,033333 + 0,016667 = 0,05
   3. Divisez le nombre de valeurs par la somme : 2 ÷ 0,05 = 40

   C’est l’exemple pour lequel toute cette page existe. Roulez 60 km à l’aller à 30 km/h et 60 km au retour à 60 km/h : l’aller prend deux heures et le retour une, soit trois heures pour 120 km, c’est-à-dire 40 km/h. La moyenne arithmétique de 30 et de 60 vaut 45, et 45 serait correct si l’on avait roulé une heure à chaque vitesse — cela, c’est une question de temps, alors que la nôtre est une question de distance. Les nombres ne dépendent d’ailleurs pas de l’unité : les mêmes 30 et 60 en miles par heure donneraient 40 miles par heure. Dans l’autre sens, 30 à l’aller et 30 au retour donnent 30 dans les deux méthodes, parce qu’il n’y a rien à quoi les deux puissent s’opposer quand les valeurs sont égales.

3. Trois valeurs : 1, 2 et 4

   1. Prenez les inverses : 1/1 = 1, 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25
   2. Additionnez-les : 1 + 0,5 + 0,25 = 1,75
   3. Divisez le nombre de valeurs par la somme : 3 ÷ 1,75 = 1,7143

   Les inverses vont dans l’autre sens que les valeurs, et c’est là tout le caractère de cette moyenne : 1 est la plus petite valeur et fournit le plus grand terme, 1, tandis que 4 est la plus grande valeur et fournit le plus petit terme, 0,25. La réponse se situe donc bien en dessous de la moyenne arithmétique de 2,3333, et plus près du bas de la liste. Les valeurs sont ici géométriques — chacune vaut le double de la précédente — et c’est sur une liste de ce genre que les trois moyennes se séparent le plus nettement : 1,7143, puis 2 pour la moyenne géométrique, puis 2,3333.

4. Le passage par 1 : les inverses renversent l’ordre

   1. Prenez les inverses : 1/0,5 = 2 et 1/2 = 0,5
   2. Additionnez-les : 2 + 0,5 = 2,5
   3. Divisez le nombre de valeurs par la somme : 2 ÷ 2,5 = 0,8

   Les valeurs inférieures à 1 ont des inverses supérieurs à 1, donc c’est la plus petite des deux qui produit le plus grand terme et qui domine le dénominateur : 0,5 apporte 2 tandis que 2 n’apporte que 0,5. La moyenne harmonique atterrit donc à 0,8, près de la petite valeur, tandis que la moyenne arithmétique de 1,25 se tient entre les deux. Se tromper de sens — diviser la somme par le nombre au lieu du nombre par la somme — donne 1,25, c’est-à-dire la moyenne arithmétique, et le résultat a l’air parfaitement plausible sur le panneau : l’ordre compte, et c’est sur ce couple qu’une erreur d’ordre se voit le mieux.

5. Huit valeurs, écrites avec un Σ

   1. Prenez l’inverse de chaque valeur : 1, 0,5, 0,333333, 0,25, 0,2, 0,166667, 0,142857, 0,125
   2. Additionnez-les : 2,717857
   3. Divisez le nombre de valeurs par cette somme : 8 ÷ 2,717857 = 2,9435

   Au-delà de six valeurs, la ligne pas à pas passe à l’abréviation, 8 / Σ(1/xᵢ) = 2,9435, parce que chaque inverse fait au moins quatre caractères et qu’une liste de deux cents valeurs produirait sinon une ligne de plus de mille. L’abréviation conserve la seule chose qui ne se devine pas : dans quel sens va la fraction. L’écart est ici le plus large de la page — 2,9435 contre une moyenne arithmétique de 4,5 — parce que ces huit valeurs s’étalent régulièrement sur un facteur huit, et que la moyenne harmonique est la plus sensible au bas d’une liste.

Chaque valeur doit être supérieure à zéro, et la page refuse une liste contenant un zéro ou un nombre négatif. Le zéro est le cas dangereux, parce que son inverse est infini et que le résultat qui sort de la formule est un zéro bien propre — un nombre qui a l’air d’un résultat plutôt que d’un échec. Une valeur négative peut annuler la somme des inverses, ce qui serait une division par zéro, ou faire sortir la réponse de l’intervalle des valeurs elles-mêmes. Cette moyenne n’a de sens que là où un total fixe est réparti, comme une distance fixe parcourue à des vitesses variables ou un budget fixe dépensé à des prix variables ; appliquée à des notes, des tailles ou des montants, elle produit un nombre plus petit que rien n’interprète, et plus les valeurs varient, plus elle tombe bas sous la moyenne arithmétique. La somme intermédiaire des inverses n’est affichée qu’arrondie si vous l’additionnez vous-même — le panneau préfère imprimer l’expression, précisément parce qu’une valeur intermédiaire arrondie ne redonne pas le résultat affiché. La liste est plafonnée à 200 valeurs, et un jeton comme 1,500 n’est pas lu comme mille cinq cents mais comme 1,5, parce qu’une virgule entre deux chiffres est un séparateur décimal ; écrivez 1 500 ou 1,5.

Comment calculer une moyenne harmonique ?

Prenez l’inverse de chaque valeur, additionnez ces inverses, puis divisez le nombre de valeurs par cette somme. Pour 30 et 60 les inverses valent 0,033333 et 0,016667, leur somme 0,05, et 2 ÷ 0,05 = 40. L’ordre compte : c’est le nombre de valeurs divisé par la somme, et non la somme divisée par le nombre — dans l’autre sens, vous obtiendriez la moyenne arithmétique.

Pourquoi la moyenne harmonique est-elle plus petite que les deux autres ?

Parce que prendre un inverse renverse l’ordre des valeurs, et qu’ensuite chaque valeur contribue à proportion de sa petitesse. Une petite valeur a un grand inverse, elle fait monter le dénominateur, ce qui fait descendre la réponse, et l’effet s’amplifie à mesure que les valeurs s’éloignent les unes des autres. Pour des valeurs égales, les trois moyennes coïncident ; plus la liste s’étale, plus la moyenne harmonique passe sous la moyenne géométrique, qui passe elle-même sous la moyenne arithmétique.

Pourquoi la vitesse moyenne est-elle de 40 et non de 45 ?

Parce que les deux moitiés du trajet n’ont pas duré le même temps. Sur la même distance à 30 et à 60, la moitié lente dure deux fois plus longtemps, elle a donc deux fois plus de poids dans la réponse : deux heures à 30 plus une heure à 60 font 120 km en trois heures, soit 40 km/h. Le chiffre de 45 est la moyenne arithmétique, et il répond à une autre question — la vitesse moyenne quand on passe autant de temps à chaque vitesse plutôt que la même distance.

Quand l’employer plutôt qu’une moyenne ordinaire ?

Quand ce qui est fixe est le total et que ce qui varie est l’allure — une distance fixe parcourue à des vitesses variables, une quantité de travail fixe accomplie par des machines de rythmes différents, un budget fixe dépensé à des prix différents, une tension fixe aux bornes de résistances de valeurs différentes. Si en revanche les entrées sont des montants qui s’additionnent, ou des valeurs qui doivent toutes compter pareil, c’est la moyenne arithmétique qu’il faut, et la moyenne harmonique serait un nombre plus petit que rien ne vient soutenir.

Quel est le lien avec les résistances en parallèle ?

Il est direct : la résistance totale de résistances en parallèle est l’inverse de la somme de leurs inverses, c’est-à-dire cette formule sans la multiplication finale par le nombre de valeurs. Deux résistances de 10 ohms en parallèle donnent 5 ohms, et la moyenne harmonique de 10 et de 10 calculée ici vaut 10 — l’inverse moyen s’annule, parce que la moyenne harmonique d’une liste de valeurs identiques est cette valeur, comme le sont aussi la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. Les cas intéressants sont les cas inégaux : le total en parallèle se tient toujours sous la plus petite résistance, alors que la moyenne harmonique ne descend jamais sous la plus petite valeur de la liste — elle l’égale quand toutes les valeurs sont identiques, et c’est la multiplication finale par le nombre de valeurs qui l’en écarte.

Les valeurs peuvent-elles être inférieures à 1 ?

Oui, tant qu’elles sont toutes supérieures à zéro. Les valeurs inférieures à 1 ont des inverses supérieurs à 1, elles fournissent donc les plus grands termes et la réponse atterrit près d’elles : pour 0,5 et 2, la moyenne harmonique vaut 0,8, bien en dessous de la moyenne arithmétique de 1,25. C’est la même règle que partout ailleurs sur cette page, lue dans l’autre sens — c’est la petite valeur qui tire, quel que soit le côté de 1 où elle se trouve.

• Harmonic Mean — MathWorld (the definition, the relation to the arithmetic and geometric means, and the classical mean proportional construction) — Wolfram MathWorld
• Harmonic Mean — Dataplot Reference Manual, auxiliary chapters (why a fixed total over varying rates calls for the harmonic mean rather than the arithmetic one) — National Institute of Standards and Technology (NIST)