Calculatrice de moyenne géométrique

Moyenne géométrique = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ) = exp(moyenne(ln xᵢ))

xᵢ

Une valeur de la liste, et chacune d’elles doit être supérieure à zéro. Un zéro rend le produit nul et la réponse nulle, quoi que dise le reste de la liste ; une valeur négative donne un produit négatif, dont une racine d’indice pair n’est pas un nombre réel

n

Le nombre de valeurs, affiché sur le panneau de résultats. C’est l’exposant de la racine : deux valeurs donnent une racine carrée, trois une racine cubique, cinq une racine cinquième. Se tromper en le comptant est la façon habituelle de rater ce calcul à la main, c’est pourquoi il est affiché au lieu d’être laissé à recompter sur la liste

x₁ · x₂ · … · xₙ

Le produit de toutes les valeurs. Seul le produit compte, ce qui explique que la réponse ne dépende pas de l’ordre dans lequel les valeurs ont été écrites — et que, pour deux valeurs, elle se réduise à la racine carrée de leur produit

moyenne(ln xᵢ)

L’autre façon d’écrire la même chose, et celle qu’une calculatrice emploie réellement : on prend le logarithme népérien de chaque valeur, on en fait la moyenne, puis on défait le logarithme. Cela donne le même résultat que de multiplier d’abord, sans le débordement que rencontre la multiplication d’une longue liste de grandes valeurs

On emploie la moyenne géométrique quand les nombres se multiplient au lieu de s’additionner — des pourcentages qui se composent, des rapports, des niveaux d’indice, des facteurs de croissance. Un fonds qui gagne 10 %, puis 20 %, puis perd 10 % termine les trois années sur +18,8 %, soit 1,1 × 1,2 × 0,9 ; le facteur de croissance annuel moyen est la racine cubique de ce produit, 1,0591, donc la croissance annuelle composée est de 5,91 % et non les 6,67 % que donne une simple moyenne des trois pourcentages. Le même raisonnement couvre tout ce qui se mesure sur une échelle multiplicative : les comptages de bactéries, la magnitude des séismes, les tailles d’un ensemble d’objets qui s’étale sur plusieurs ordres de grandeur, et une série de rapports comme des cours sur bénéfices, où une valeur extrême écraserait une moyenne ordinaire. Ne l’employez pas pour des quantités qui s’additionnent — une liste de températures, de notes ou de prix n’a pas de produit qui ait un sens, et sa moyenne géométrique serait un nombre sans interprétation. La comparaison à retenir est que la moyenne géométrique est toujours la plus basse des deux, et d’autant plus que les valeurs diffèrent : l’écart entre elles mesure grossièrement l’irrégularité de la liste. Le rendement géométrique est ce même nombre, lu comme un pourcentage plutôt que comme un facteur.

1. Cinq notes de contrôle

   1. Multipliez les valeurs : 85 × 90 × 78 × 92 × 88 = 4 830 883 200
   2. Il y a 5 valeurs, on prend donc la racine cinquième : ⁵√4 830 883 200 = 86,458
   3. La moyenne arithmétique de la même liste est 86,6

   Les deux réponses diffèrent de 0,142, ce qui est peu parce que ces cinq notes sont proches — la moyenne géométrique passe sous la moyenne arithmétique d’une quantité qui augmente avec l’irrégularité de la liste. Cette inégalité n’est pas un artefact d’arrondi : pour des valeurs positives, la moyenne géométrique ne peut jamais dépasser la moyenne arithmétique, et elle ne la rejoint que si toutes les valeurs sont identiques. Des notes ne sont pas vraiment une grandeur multiplicative, donc cet exemple est là pour montrer le mécanisme plutôt que pour un usage naturel : ce sont les rendements du fonds dans l’exemple suivant qui justifient l’outil.

2. Un fonds à +10 %, +20 %, puis −10 %

   1. Multipliez les facteurs de croissance : 1,1 × 1,2 × 0,9 = 1,188
   2. Il y a 3 facteurs, on prend donc la racine cubique : ³√1,188 = 1,0591
   3. La moyenne arithmétique est 1,0667 — plus élevée, et fausse pour cette question

   Les trois années réunies font +18,8 %, et 1,188 est le seul nombre qui le dise. Le facteur annuel moyen est celui qui, répété trois fois, donne 1,188 : c’est la racine cubique, 1,0591, soit une croissance annuelle composée de 5,91 %. Une simple moyenne des trois pourcentages donne 6,67 %, et la raison pour laquelle elle est trop haute est que les pourcentages ne s’additionnent pas : une baisse de 10 % annule plus qu’une hausse de 10 %, parce qu’elle porte sur une base plus grande. L’écart, ici, vaut 0,76 point de pourcentage par an, ce qui sur vingt ans sépare un portefeuille qui triple d’un portefeuille multiplié par 3,6.

3. Deux nombres : la moyenne proportionnelle

   1. Multipliez les deux valeurs : 2 × 8 = 16
   2. Il y a 2 valeurs, on prend donc la racine carrée : √16 = 4
   3. La moyenne arithmétique du même couple est 5

   Avec deux valeurs, la moyenne géométrique est la racine carrée de leur produit, c’est-à-dire ce que les géomètres de l’Antiquité appelaient la moyenne proportionnelle : 2 est à 4 ce que 4 est à 8. C’est aussi le côté du carré qui a la même aire que le rectangle 2 × 8 — 16 dans les deux cas — là où la moyenne arithmétique, 5, est le côté du carré de même périmètre, un carré 5 × 5 dont l’aire vaut 25. C’est le cas le plus net de désaccord entre les deux moyennes, et il montre pourquoi la géométrique est la bonne réponse à une question d’aires, d’échelles ou de croissance, et l’arithmétique la bonne réponse à une question de totaux.

Chaque valeur doit être supérieure à zéro, et la page refuse une liste contenant un zéro ou un nombre négatif plutôt que de renvoyer quelque chose qui ne veut rien dire : un seul zéro annule le produit et la réponse, quoi que contienne le reste de la liste, et une racine d’indice pair d’un produit négatif n’est pas un nombre réel. Pour une liste comportant un nombre impair de valeurs négatives, il existe en principe une réponse réelle, mais le signe d’une moyenne géométrique construite sur des négatifs n’a aucune interprétation : ces listes sont donc refusées elles aussi, et la solution consiste à travailler sur les facteurs de croissance plutôt que sur les variations en pourcentage. Cette moyenne n’a de sens que pour des grandeurs qui se multiplient ; pour des notes, des températures ou des prix, c’est un calcul légitime mais sans lecture utile, ce qui explique que la moyenne arithmétique soit affichée à côté plutôt que remplacée. Elle est inutilisable dès que certaines valeurs sont nulles, ce qui exclut une série de rendements comportant une perte totale. La liste est plafonnée à 200 valeurs, et un jeton comme 1,500 est refusé plutôt que deviné, parce qu’une virgule entre deux chiffres est un séparateur décimal dans une bonne partie du monde ; écrivez 1500 ou 1,5.

Comment calculer une moyenne géométrique ?

Multipliez toutes les valeurs entre elles, puis prenez la racine dont l’indice est le nombre de valeurs. Pour 2 et 8 le produit vaut 16 et il y a deux valeurs, donc la moyenne géométrique est √16 = 4 ; pour cinq valeurs, vous prendriez la racine cinquième. Une calculatrice fait la même chose par les logarithmes : elle moyenne les logarithmes puis défait le logarithme, ce qui évite le produit intermédiaire énorme.

Pourquoi la moyenne géométrique est-elle plus basse que la moyenne arithmétique ?

Parce que la multiplication traite une baisse et une hausse de façon dissymétrique. Une valeur qui perd 10 % puis gagne 10 % termine en dessous de son point de départ, à 1,1 × 0,9 = 0,99 : toute liste qui va dans les deux sens aura donc une moyenne géométrique sous sa moyenne arithmétique. Les deux ne coïncident que si toutes les valeurs sont égales, et l’écart se creuse à mesure que les valeurs s’éloignent — c’est pourquoi la différence entre les deux nombres est elle-même une lecture grossière de l’irrégularité de la liste.

Quand employer la moyenne géométrique plutôt que la moyenne arithmétique ?

Quand les valeurs se multiplient au lieu de s’additionner. Les taux de croissance, les pourcentages qui se composent d’une année sur l’autre, les rapports et les niveaux d’indice sont multiplicatifs, et les moyenner avec une moyenne ordinaire surestime la réponse. Les quantités qui s’additionnent — des notes, des températures, des prix, des dénombrements — sont additives, et c’est la moyenne arithmétique qu’il faut pour elles. Un bon test consiste à demander si doubler chaque valeur doit doubler la réponse : si oui, la grandeur est multiplicative.

Puis-je l’utiliser sur une liste qui contient un zéro ou un nombre négatif ?

Non, et la page le refuse. Un seul zéro pousse le produit à zéro, donc la réponse serait nulle quoi que dise le reste de la liste, ce qui n’est la moyenne de rien. Une valeur négative donne un produit négatif, dont une racine d’indice pair n’est pas un nombre réel. La solution pratique, pour une série de variations en pourcentage comportant une perte totale, consiste à travailler sur les facteurs de croissance — 0,5 pour une perte de 50 % — et à admettre qu’un facteur nul, une perte totale, n’a pas de moyenne géométrique du tout.

Quelle différence avec un taux de croissance annuel composé ?

Le taux de croissance annuel composé est la moyenne géométrique des facteurs de croissance annuels, exprimée en pourcentage. Si un placement est multiplié par 1,1, par 1,2 puis par 0,9 en trois ans, le produit vaut 1,188, la racine cubique vaut 1,0591 et la croissance annuelle composée est de 5,91 %. Tout, dans la calculatrice, est déjà sous cette forme : saisissez les facteurs plutôt que les pourcentages, et le nombre affiché par le panneau est le facteur de croissance dont le pourcentage est le taux.

L’ordre des valeurs a-t-il une importance ?

Non. La moyenne géométrique est construite sur le produit et sur le nombre de valeurs, et la multiplication ne dépend pas de l’ordre : 2, 8 et 4 donnent la même réponse que 8, 4 et 2. Cela vaut la peine de le savoir, parce que la moyenne géométrique décrit souvent une suite dans le temps — des années de rendement — et que la réponse qu’elle donne est volontairement aveugle à l’année où la bonne performance est arrivée. Elle répond à quoi ressemble l’année moyenne, pas à ce qui s’est passé telle année précise.

• Geometric Mean — MathWorld (the definition, the mean proportional, and the inequality with the arithmetic mean) — Wolfram MathWorld
• Geometric Mean — Dataplot Reference Manual, auxiliary chapters (why rates and ratios call for the geometric mean rather than the arithmetic one) — National Institute of Standards and Technology (NIST)