Calculatrice de permutations

P(n, r) = n ! / (n − r) ! = nPr C(n, r) = n ! / (r ! (n − r) !) P(n, r) = C(n, r) · r !

n

La taille du vivier dans lequel vous puisez — le nombre d’éléments distincts disponibles, jusqu’à 1000. Ce plafond borne l’arithmétique et non l’idée : les décomptes grandissent avec n, et passé un point la valeur exacte ne tient plus dans la plage d’entiers que cette page peut représenter exactement

r

Le nombre d’éléments que vous prenez. Il ne doit pas dépasser n tant que les répétitions sont interdites, puisque vous ne pouvez pas prendre plus d’éléments distincts qu’il n’en existe ; une fois les répétitions autorisées, r peut être plus grand et n’est limité que par la taille de la puissance que la page sait encore calculer exactement

n !

La factorielle de n : n multiplié par tous les entiers au-dessous jusqu’à 1. C’est le décompte de tout prendre dans l’ordre, et c’est le terme que la division par (n − r) ! retire

P(n, r)

Le nombre d’arrangements : n choix pour la première position, n − 1 pour la deuxième, et ainsi de suite sur r positions. Le produit n × (n − 1) × … × (n − r + 1) est ce que la formule écrit n ! / (n − r) !

C(n, r)

Le décompte l’ordre ignoré, affiché en seconde ligne. Il divise le nombre d’arrangements par r !, le nombre de façons d’ordonner un ensemble choisi — ce qui est toute la différence entre les deux lignes

répétition

Lequel des deux réglages la page applique. Quand les répétitions sont autorisées, le décompte devient n puissance r, parce que chacun des r choix dispose à nouveau de tout le vivier ; la ligne l’ordre ignoré bascule alors sur le décompte des multiensembles

Utilisez-la quand les positions sont distinguables : les places d’un podium, l’ordre des trois premières cartes distribuées, un mot de passe, une plaque d’immatriculation, ou l’attribution des places assises d’une salle, toute liste où échanger deux entrées donne un autre résultat. Prenez la ligne des combinaisons — ou l’autre page de cette paire — quand le résultat est un ensemble, parce que deux arrangements des mêmes r éléments sont alors la même réponse et que la division par r ! est exactement la correction. Activez la répétition quand un élément peut être repris après avoir été pris : un code à quatre chiffres a 10⁴ possibilités parce que chaque chiffre est tiré dans l’ensemble complet des dix, alors qu’un tirage de loterie sur des boules distinctes ne le peut pas. Et lisez la seconde ligne même si vous êtes venu pour la première : les deux décomptes ensemble sont l’énoncé le plus clair de la raison pour laquelle l’ordre compte, puisqu’ils ne diffèrent que d’un seul facteur.

1. Dix éléments, trois places, ordre compté

   1. Dix choix pour la première place, neuf restants pour la deuxième, huit pour la troisième
   2. Multipliez : 10 × 9 × 8 = 720 arrangements
   3. L’ordre ignoré, on divise par 3 ! = 6, ce qui donne 120 ensembles
   4. 720 / 120 = 6, qui est exactement 3 !

   Les deux lignes sont toute cette page en une phrase : les mêmes dix éléments et les mêmes trois places donnent 720 si l’ordre compte et 120 sinon, et le rapport entre les deux vaut 3 ! — le nombre de façons de réarranger trois éléments choisis. Chaque fois qu’une permutation et une combinaison paraissent incohérentes, diviser l’une par l’autre est le contrôle : si le rapport n’est pas une factorielle, c’est le montage qui est en cause et non l’arithmétique.

2. Un podium parmi huit coureurs

   1. Huit vainqueurs possibles, sept deuxièmes possibles, six troisièmes places possibles
   2. 8 × 7 × 6 = 336 façons de remplir le podium
   3. L’ordre ignoré, les mêmes trois personnes forment un seul ensemble quelle que soit leur disposition : 336 / 6 = 56
   4. En inversant la multiplication à la place — 8 !/(8 − 3) ! = 40 320 / 120 — on retrouve 336

   C’est la forme quotidienne de la distinction : un résultat de course est une permutation parce que la médaille d’argent n’est pas celle d’or, tandis qu’un groupe de qualifiés est une combinaison parce que les trois personnes qui passent sont les mêmes, qui que ce soit qui ait couru le plus vite. Notez que la même paire de nombres apparaîtrait sur la page des combinaisons avec les deux lignes échangées — c’est la paire qui fonctionne comme prévu, et non un doublon.

3. Distribuer cinq cartes dans l’ordre

   1. Cinquante-deux choix pour la première carte, cinquante et un pour la deuxième, et ainsi de suite jusqu’à quarante-huit pour la cinquième
   2. 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311 875 200 donnes ordonnées
   3. Une main de cinq cartes ignore l’ordre, donc on divise par 5 ! = 120
   4. 311 875 200 / 120 = 2 598 960 — le nombre familier de mains de cinq cartes au poker

   2 598 960 est le nombre cité dans toute probabilité de poker, ce qui en fait l’exemple où le lecteur peut vérifier la page contre quelque chose qu’il a déjà vu ailleurs. C’est aussi le cas le plus net d’un facteur d’ordre énorme : distribuer les mêmes cinq cartes dans un autre ordre est une autre donne ordonnée mais la même main, et le facteur entre les deux décomptes est 120 plutôt que 6. Les deux décomptes sont exacts ici, sans arrondi.

4. Codes à trois chiffres où les chiffres peuvent se répéter

   1. Répétitions autorisées, chacune des trois positions est choisie indépendamment parmi les dix chiffres
   2. 10 × 10 × 10 = 1 000 codes
   3. La ligne de l’ordre ignoré n’est plus 1 000 / 6, parce que les arrangements d’un code comme 777 ne sont pas tous distincts
   4. Elle devient le décompte des multiensembles : C(10 + 3 − 1, 3) = C(12, 3) = 220

   Le nombre intéressant ici est la seconde ligne. Avec des éléments distincts, le décompte l’ordre ignoré n’est que le décompte ordonné divisé par r !, mais dès que les répétitions sont autorisées cette division corrige trop — 777 n’a qu’un arrangement distinct, pas six — si bien que la page bascule sur une autre formule au lieu de diviser. 220 est le nombre de multiensembles de trois chiffres pris parmi dix, et c’est la raison pour laquelle le commutateur de répétition change les deux lignes et pas seulement la première.

Deux frontières sont appliquées plutôt qu’expliquées, et les deux valent la peine d’être connues avant que les nombres ne surprennent. Tant que les répétitions sont interdites, r ne peut pas dépasser n : prendre quatre éléments dans un vivier de trois éléments distincts n’est pas un résultat improbable mais une demande impossible, et la page le dit au lieu de renvoyer zéro. La taille du vivier est plafonnée à 1 000. La seconde limite est celle qui mord réellement en pratique : le décompte des arrangements est un produit qui grandit extrêmement vite, et cette page rend des entiers exacts plutôt qu’une approximation en notation scientifique. Passé le point où la valeur vraie cesse d’être représentable exactement, elle refuse de répondre au lieu d’imprimer un entier dont les derniers chiffres sont faux — un nombre faux d’apparence plausible est bien pire ici qu’un refus net, parce qu’il serait recopié dans tout ce qui en dépend. Il existe aussi une limite arithmétique plus étroite sur la branche des répétitions, où le décompte est une puissance et où les très grands exposants débordent de la même façon. Deux points de sens, enfin. Aucune des deux lignes n’est une probabilité — les deux sont des décomptes d’arrangements également probables, et transformer un décompte en chance veut dire le diviser par le nombre total de possibilités, qui dépend du processus et non de la paire de nombres affichée ici. Et il n’y a pas de table de factorielles, de coefficients binomiaux ou de triangle de Pascal sur cette paire de pages, pour la raison que donne la cinquième question ci-dessous.

Quelle est la différence entre une permutation et une combinaison ?

Une permutation compte les arrangements et une combinaison compte les ensembles : échangez deux des éléments choisis et la permutation a produit un autre résultat tandis que la combinaison n’a pas bougé. La page affiche les deux pour que la relation soit visible plutôt qu’affirmée — le décompte des arrangements est toujours le plus grand des deux, et le diviser par la factorielle de r donne l’autre ligne. En pratique, la question à se poser est de savoir si les positions portent un sens. Si la troisième place est différente de la deuxième, comme dans un résultat de course ou une carte distribuée en séquence, il vous faut le nombre d’arrangements ; si les trois éléments choisis sont interchangeables, il vous faut le nombre d’ensembles.

Pourquoi les deux lignes diffèrent-elles d’exactement r factorielle ?

Parce que tout ensemble de r éléments choisis peut être aligné dans r ! séquences différentes, et que le décompte des arrangements traite chacune de ces séquences comme un résultat à part. Pour r = 3, trois éléments quelconques s’ordonnent de six façons, donc un ensemble correspond à six arrangements et le décompte des arrangements vaut six fois celui des ensembles. C’est aussi le moyen le plus rapide de contrôler un calcul : divisez les deux lignes et la réponse doit être une factorielle. Si ce n’en est pas une, le désaccord vient du montage et non de l’arithmétique — le plus souvent une taille de vivier ou un réglage de répétition qui ne correspond pas à la situation décrite.

Quand le fait de prendre deux fois le même élément compte-t-il comme différent ?

Exactement quand la situation permet de le prendre deux fois — c’est le commutateur que règle le paramètre de répétition, et il change les deux lignes et pas seulement la première. Un code à quatre chiffres tire chaque chiffre à nouveau parmi les dix, donc 0000 et toute autre répétition sont des résultats ordinaires et le décompte vaut 10⁴ ; un tirage de loterie sort les boules du boulier, donc aucun numéro ne peut apparaître deux fois et le décompte est un produit décroissant. Avec les répétitions autorisées, le décompte des ensembles n’est plus le décompte des arrangements divisé par r !, parce qu’un tirage comme 777 n’a qu’un arrangement distinct au lieu de six, et la page utilise le décompte des multiensembles pour cette ligne.

Pourquoi la page refuse-t-elle de prendre plus d’éléments que le vivier n’en contient ?

Tant que les répétitions sont interdites, un r supérieur à n décrit une procédure qui ne peut pas être exécutée : le quatrième élément distinct n’existe pas quand trois seulement sont disponibles. La page signale le problème au lieu de renvoyer zéro, parce que zéro est un décompte légitime dans d’autres situations et serait lu comme une réponse. Activez la répétition et la même demande devient parfaitement ordinaire — trois éléments pris cinq à la fois avec répétitions autorisées font 3⁵ = 243 arrangements — ce qui explique pourquoi la limite porte sur la combinaison des deux réglages et non sur r seul.

Pourquoi n’y a-t-il pas de triangle de Pascal ni de table de factorielles sur cette paire de pages ?

Parce qu’une table ici ne pourrait pas voir les deux nombres que vous avez saisis, et que la table que les gens réclament — les factorielles, les coefficients binomiaux, les lignes du triangle de Pascal — est une liste pour de petites valeurs fixées. Mettez-en une sur la page et elle répondrait à une autre question que le panneau au-dessus d’elle, en le contredisant parfois visiblement, ce qui est pire que pas de table du tout. Le panneau est la table : changez n, r ou le réglage de répétition et les deux lignes se recalculent. Cette paire de pages rend le même verdict que les autres outils de dénombrement plutôt qu’une page offrant une table et l’autre non, puisque les deux sont deux directions de la même question.

Pourquoi la réponse cesse-t-elle de fonctionner pour les grands viviers ?

Parce que le décompte des arrangements est un produit de longues suites d’entiers, et qu’il dépasse le plus grand entier que cette page peut représenter exactement bien plus tôt qu’on ne l’imagine — la factorielle de 19 est déjà au-delà, alors que ses 18 chiffres n’ont rien d’alarmant. Passé ce point la page refuse de répondre au lieu d’imprimer un nombre dont les derniers chiffres sont faux, et les chiffres sont toute la valeur d’un décompte exact : un entier faux a l’air parfaitement ordinaire et serait recopié dans tout calcul qui en dépend. Le plafond de 1 000 sur le vivier est une garde distincte et plus lâche sur la même préoccupation — il arrête l’entrée à une taille où l’arithmétique vaut encore la peine d’être tentée.

• Permutation — from Wolfram MathWorld (a rearrangement of the elements of an ordered list, and the count of them for a set of a given size) — Wolfram MathWorld
• Combination — from Wolfram MathWorld (the number of ways of picking unordered outcomes from a set, also called the binomial coefficient and read "n choose k") — Wolfram MathWorld
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the frequency reading of probability, which is how a count of equally likely arrangements becomes a chance) — National Institute of Standards and Technology (NIST)