Calculatrice d’espérance

E[X] = Σ pᵢ xᵢ Var(X) = Σ pᵢ (xᵢ − E[X])² σ = √Var(X)

xᵢ

Un résultat — la valeur du i-ème élément de la liste. Il peut être négatif, et il peut être décimal ; la liste est une série de nombres séparés par des points-virgules, des virgules ou des espaces, jusqu’à 200 d’entre eux

pᵢ

La probabilité de ce résultat, saisie en pourcentage de 0 à 100. Les deux listes sont lues côte à côte, donc la troisième probabilité appartient au troisième résultat, et elles doivent avoir la même longueur

E[X]

L’espérance : chaque résultat multiplié par sa propre probabilité, et les produits additionnés. C’est la moyenne pondérée que le panneau affiche en premier, et le seul nombre de la page auquel les autres se rapportent

Var(X)

La variance : pour chaque résultat, la distance au carré à l’espérance, pondérée par la probabilité de ce résultat. C’est l’élévation au carré qui permet à un seul résultat très éloigné de la dominer

σ

L’écart type, la racine carrée de la variance. Il revient dans les mêmes unités que les résultats eux-mêmes, ce qui en fait celui qu’il faut lire quand on veut savoir de combien la dispersion est large

Σ

Additionnez sur chaque résultat de la liste. Rien n’est pondéré deux fois et rien n’est écarté : c’est la somme des probabilités à 100 % qui fait de la liste entière une description complète des possibilités

Utilisez-la chaque fois que les résultats sont assez peu nombreux pour être listés et que chacun a une probabilité que vous savez nommer : un jeu avec une table de gains, une garantie qui coûte un montant fixe et indemnise une fraction connue des unités, une décision à trois scénarios. Passez plutôt à la moyenne arithmétique quand les nombres sont des observations et non des possibilités — une liste de mesures demande une moyenne, pas une espérance, et diviser par le nombre de valeurs suppose que chaque valeur est également probable ; cette supposition est exactement ce que cette page remplace par des probabilités explicites. Passez plutôt à une loi dès que les résultats suivent un schéma descriptible par une formule : un nombre de succès sur un nombre fixe d’essais a sa propre moyenne, et un décompte de Poisson a une moyenne égale à sa variance, si bien que vous n’avez pas besoin de saisir chaque décompte et sa probabilité. Le long terme est le cadre dans lequel tous ces nombres prennent sens : une espérance est ce vers quoi la moyenne converge au bout de nombreuses répétitions, et non une prévision de la prochaine.

1. Cinq résultats aux chances inégales

   1. Multipliez chaque résultat par sa probabilité en fraction : 5 × 0,10 = 0,5, 10 × 0,20 = 2, 20 × 0,30 = 6, 40 × 0,25 = 10, 100 × 0,15 = 15
   2. Additionnez les cinq produits : 0,5 + 2 + 6 + 10 + 15 = 33,5 — c’est l’espérance
   3. Pour la variance, retirez 33,5 de chaque résultat, élevez au carré et pondérez : 0,10 × 812,25 + 0,20 × 552,25 + 0,30 × 182,25 + 0,25 × 42,25 + 0,15 × 4 422,25 = 920,25
   4. La racine carrée de 920,25 est 30,3356, l’écart type

   Les probabilités se saisissent en pourcentage, et c’est la chose la plus facile à rater ici : lire le 10 comme une fraction plutôt que comme dix pour cent donne 3,35 au lieu de 33,5, et rien dans la mauvaise réponse n’a l’air faux. La dispersion mérite un second regard elle aussi — un écart type de 30,34 contre une espérance de 33,5 signifie que le résultat 100, improbable à 15 %, fait l’essentiel du travail, et la variance de 920,25 dit la même chose en unités au carré.

2. Un dé équilibré, dont la réponse ne peut pas être tirée

   1. Six résultats, chacun de probabilité 16,67 % — le dernier porte 16,65 % pour que les six totalisent exactement 100
   2. Chaque produit va de 1 × 0,1667 à 6 × 0,1667, et ils totalisent 3,4995
   3. La variance est la distance au carré moyenne à 3,4995, soit 2,916
   4. La racine carrée de 2,916 est 1,7076

   C’est l’exemple à garder en tête quand une espérance paraît impossible : 3,5 est la réponse correcte pour un dé à six faces et aucune face ne l’affiche. Une espérance est une propriété de la distribution entière, pas une prévision d’un lancer. C’est aussi le cas le plus net où l’écart type gagne sa place — 1,7076 se mesure en points de dé, les mêmes unités que les résultats, donc « le lancer tombe en moyenne à environ 1,7 de 3,5 » est une phrase sur laquelle on peut agir, tandis que la variance de 2,916 est en points de dé au carré.

3. Une indemnisation d’assurance, et une espérance négative

   1. Deux résultats : rien ne se produit, ou bien cela se produit et coûte 5 000 — écrit −5 000
   2. Pondérez-les : 0 × 0,97 + (−5 000) × 0,03 = −150
   3. La variance vaut 0,97 × (0 + 150)² + 0,03 × (−5 000 + 150)² = 727 500
   4. Sa racine carrée est 852,9361

   Une espérance négative n’est pas une erreur et ce n’est pas une raison d’éviter le calcul — c’est la réponse à une vraie question, et la plus fréquente que les gens apportent ici : si cet événement a 3 % de chance de coûter 5 000, alors en moyenne chaque période coûte 150, et une prime au-dessus de 150 est le prix à payer pour ne pas porter le risque soi-même. Notez tout ce que l’écart type de 852,94 ne dit pas tout seul : il est dominé par la même branche rare à 3 %, si bien qu’il redit surtout que la perte est grande et inhabituelle, plutôt que d’indiquer une dispersion intéressante des résultats.

4. Pourquoi la moyenne pondérée n’est pas la moyenne simple

   1. Les quatre résultats totalisent 160, donc leur moyenne simple est 40
   2. Pondérée à la place : 10 × 0,40 + 20 × 0,30 + 30 × 0,20 + 100 × 0,10 = 4 + 6 + 6 + 10 = 26
   3. La variance vaut 0,40 × 256 + 0,30 × 36 + 0,20 × 16 + 0,10 × 5 476 = 664
   4. Sa racine carrée est 25,7682

   Les deux nombres diffèrent de plus d’un tiers, et la raison est entièrement dans les probabilités : le grand résultat de 100 ne porte que 10 % du poids, tandis que les petits résultats de 10 et de 20 en portent 70 % à eux deux. Chaque fois que quelqu’un cite une moyenne sans dire si elle est pondérée, c’est l’écart qui se cache derrière le mot. C’est aussi pourquoi une probabilité de 0 est une entrée qui a un sens plutôt qu’une entrée vide : ce résultat occupe encore sa place dans la liste et ne contribue rien, ce qui est la différence entre « impossible » et « on ne pose pas la question ».

Trois choses sur cette page se lisent facilement de travers, et toutes les trois portent sur les entrées et non sur l’arithmétique. Les probabilités doivent totaliser 100 %, et la page refuse de le corriger pour vous : remettre silencieusement un partage 40/50 à l’échelle donnerait 44,4 et 55,6 et produirait un nombre d’apparence parfaitement ordinaire qui répond à une question que vous n’avez pas posée. La tolérance est d’une demi-unité de la dernière décimale par entrée, ce qui explique que trois parts égales saisies 33,33 chacune soient acceptées à 99,99 et qu’une paire 40/50 ne le soit pas. Les deux listes doivent avoir la même longueur, parce que les entrées se lisent côte à côte — une probabilité manquante n’est pas un zéro, c’est un décalage, et la page le dit au lieu d’apparier tranquillement les mauvais nombres. Au-delà des entrées, l’interprétation a des limites. Une espérance décrit une longue suite de répétitions, donc elle ne dit rien d’utile sur une réalisation isolée, et elle peut être dominée par un résultat extrême rare d’une façon que le nombre seul ne révèle pas — lisez l’écart type ou la variance à côté pour cela. Elle suppose aussi que les probabilités que vous saisissez sont les vraies : tout ici est de l’arithmétique sur les nombres que vous fournissez, et une espérance précise bâtie sur une probabilité devinée est une réponse précise à une autre question. Enfin, il n’y a pas de table des espérances usuelles sur cette page, parce qu’une telle table ne peut pas voir les résultats et les probabilités que vous avez saisis, et qu’une table en désaccord avec le panneau au-dessus d’elle serait pire que pas de table du tout.

Qu’est-ce qu’une espérance m’apprend au juste ?

Elle indique le résultat moyen que vous verriez si vous répétiez la même situation un grand nombre de fois en moyennant les résultats, chacun pondéré par sa fréquence d’apparition. Pour un jeu avec une table de gains, c’est le prix d’équilibre : une espérance de −150 par manche signifie qu’un prix équitable pour jouer est 150, et qu’un prix en dessous est en votre faveur. Ce qu’elle n’indique pas, c’est ce qui va se passer ensuite. Une manche produit un résultat de la liste, jamais la moyenne elle-même, donc une espérance positive est parfaitement compatible avec le fait de perdre à chaque fois sur une poignée de manches.

L’espérance peut-elle être un nombre qui ne peut jamais sortir ?

Oui, et c’est le cas le plus souvent. Chacune des six faces d’un dé équilibré a une probabilité de 16,67 % et l’espérance vaut 3,5, une face que le dé n’a pas. La raison est que l’espérance est une moyenne pondérée de la liste entière et non un membre de cette liste : c’est le point d’équilibre de la distribution, et un point d’équilibre peut se situer dans le vide entre les poids. La même chose se produit avec une loterie, où l’espérance est un petit nombre négatif qu’aucun billet ne peut produire.

Pourquoi les probabilités doivent-elles totaliser 100 % ?

Parce que deux listes qui décrivent le même ensemble de possibilités doivent en rendre compte en totalité. Si vos probabilités totalisent 90 %, soit un résultat manque dans la liste, soit l’une des probabilités est fausse, et la page n’a aucun moyen de distinguer les deux cas — elle signale donc la somme au lieu de deviner. Elle ne remet délibérément pas vos nombres à l’échelle de 100 % : diviser 40 et 50 par leur somme en ferait 44,4 et 55,6 et produirait une réponse à une question que vous n’avez pas posée, sans que rien sur le panneau ne le montre. La tolérance est d’une demi-unité de la dernière décimale par entrée, donc trois parts égales saisies 33,33 donnent 99,99 et sont acceptées.

En quoi est-ce différent de la moyenne arithmétique ?

La moyenne arithmétique divise par le nombre de valeurs, ce qui revient à supposer que chaque valeur est également probable. L’espérance remplace cette supposition par des probabilités que vous choisissez, si bien qu’une valeur à 10 % de chance tire le résultat dix fois moins qu’une valeur à 100 % de chance. Les deux ne coïncident que lorsque les probabilités sont toutes égales — quatre résultats à 25 % chacun donnent le même nombre des deux façons. Quand elles divergent, la différence est entièrement dans les poids, ce qui explique qu’une moyenne citée sans préciser si elle est pondérée mérite qu’on s’y arrête.

Que signifie une espérance négative ?

Cela signifie que les résultats du côté perdant sont assez grands ou assez probables pour l’emporter sur le reste, si bien que répéter la décision revient en moyenne à une perte. Ce n’est pas la même chose que dire que vous perdrez : 3 % de chance de perdre 5 000 contre 97 % de chance que rien ne se produise donne une espérance de −150, et la plupart des périodes ne coûtent rien du tout. Ce que le nombre négatif dit, en revanche, c’est ce que le risque coûte en moyenne, et c’est le nombre à comparer à une prime, à un prix ou à un devis d’assurance. C’est le domaine où ce calcul est le plus souvent utile, et une réponse négative y est un résultat et non un échec.

Pourquoi n’y a-t-il pas de table d’espérances sur cette page ?

Parce que la réponse dépend entièrement des deux listes que vous saisissez, et qu’une table de référence ne peut pas les voir. La table que les gens réclament est une courte liste de cas familiers — un dé, un billet de loterie, un pari à la roulette — mais chacun de ceux-là a ses propres résultats et ses propres probabilités, si bien qu’une ligne imprimée répondrait à une autre question que celle du panneau, et que les deux se contrediraient parfois en public. Le panneau est la table : changez les résultats et les probabilités et les trois mêmes lignes se recalculent. Les pages qui tirent réellement profit d’une table fixe sont celles dont la table ne dépend pas des entrées, comme un barème de notation ou une série de seuils.

• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 (the mean as the balance point of a list of values, and how a single extreme value moves it — the reason an expected value can sit far from every outcome on the list) — OpenStax, Rice University
• Measures of the Spread of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e, section 2.7 (states that the variance is the average of the squares of the deviations, which is the quantity this page weights by the probabilities instead of counting equally) — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (what it means for an outcome to have a distribution, and how probabilities are read off the outcomes it assigns them to) — National Institute of Standards and Technology (NIST)