Calculatrice de la loi de Poisson

P(X = k) = e^(−λ) · λ^k / k ! avec λ = taux × intervalle et Var(X) = λ

λ

Le nombre attendu d’événements sur l’intervalle — le taux multiplié par la longueur de la fenêtre, et le seul paramètre de la loi. Tout sur cette page en découle, et c’est pourquoi un taux et un intervalle sont demandés séparément plutôt que comme un seul nombre. On l’appelle aussi lambda, et c’est ce même paramètre que l’on retrouve dans la condition moyenne = variance = λ

k

Le nombre d’événements sur lequel porte votre question. C’est un compte entier à partir de 0, et 0 est une vraie réponse plutôt qu’une réponse vide : « il ne s’est rien passé » est l’issue la plus probable tant que lambda reste sous environ 0,7

e^(−λ)

Le poids de ce qui n’arrive pas du tout, avant que le compte n’entre en jeu. C’est la raison pour laquelle toute la distribution se resserre quand lambda grandit : plus le nombre attendu est grand, plus la probabilité de n’en voir aucun est petite

λ^k / k!

La partie qui grandit avec k puis retombe : la puissance k-ième de la moyenne divisée par la factorielle du compte. Son maximum se situe à k = λ, et c’est là que la distribution place l’essentiel de sa masse

moyenne = variance = λ

La propriété qui rend cette loi reconnaissable. La moyenne égale la variance et vaut le même nombre, donc l’écart type est la racine carrée de la moyenne — √4 = 2 pour une moyenne de quatre événements, √1 000 ≈ 31,6 pour une moyenne de mille

Utilisez-la quand vous comptez combien d’événements arrivent par intervalle et que ces arrivées sont indépendantes les unes des autres : combien d’appels en une heure, combien de défauts au mètre carré de tissu, combien de particules dans une fenêtre de comptage fixe. Deux conditions portent l’essentiel du poids. Les événements doivent être rares au regard des occasions qu’ils ont de se produire — un taux si élevé que le compte est en pratique plafonné par autre chose cesse d’être poissonnien — et ils ne doivent pas se regrouper, car une rafale d’arrivées dues à une même cause casse l’indépendance qui donne sa forme à la loi. Prenez plutôt la loi binomiale quand le nombre d’occasions est fixe et dénombrable, puisqu’un compte de Poisson n’a pas de borne supérieure alors qu’un compte binomial ne peut pas dépasser son nombre d’essais ; passez à une approximation normale une fois lambda grand, là où les deux s’accordent de près et où les bandes d’écarts types habituelles deviennent lisibles. Le fait que la moyenne égale la variance est aussi le diagnostic le plus rapide dont on dispose : divisez la variance d’un ensemble de comptes par leur moyenne, et si le rapport s’écarte nettement de un, le processus est sur- ou sous-dispersé et ce modèle n’a pas la bonne forme.

1. Quatre événements par heure, question sur trois

   1. Le taux vaut 4 par heure sur un intervalle d’une heure, donc lambda vaut 4
   2. P(X = 3) = e⁻⁴ × 4³ / 3 ! = 0,018316 × 64 / 6 = 0,1954, soit 19,54 %
   3. En additionnant les comptes de 0 à 3 on obtient 43,35 % au plus ; le reste de la masse au-delà de 3 donne 76,19 % au moins
   4. La moyenne vaut lambda = 4 et la variance aussi, ce qui donne un écart type de √4 = 2

   Les deux lignes cumulées se recouvrent ici, et ce n’est pas une erreur : 43,35 % plus 76,19 % font 119,54 %, et l’excédent au-delà de 100 % est exactement les 19,54 % de trois événements, présents dans les deux lignes. C’est la même mise en garde qu’avec un compte binomial, et elle attrape l’erreur courante qui consiste à calculer « au moins » comme un moins « au plus », ce qui donnerait 56,65 % ici. Notez aussi que trois événements n’ont rien de remarquable quand la moyenne est de quatre : c’est un demi-écart type sous la moyenne.

2. Le centre de la distribution

   1. En demandant quatre événements au lieu de trois : P(X = 4) = e⁻⁴ × 4⁴ / 4 ! = 0,018316 × 256 / 24 = 0,1954
   2. La probabilité exacte est la même que pour trois événements, 19,54 %, parce que le maximum de la distribution se situe à k = 4 = lambda et que les deux comptes qui l’encadrent sont également probables
   3. Au plus quatre vaut 62,88 % et au moins quatre vaut 56,65 %
   4. La moyenne, la variance et l’écart type sont inchangés, puisqu’ils ne dépendent que de lambda

   Deux comptes de même probabilité sont le signe visible le plus net que la distribution est centrée sur lambda : avec une moyenne de quatre événements, en voir trois et en voir quatre sont des issues également probables, et toutes les autres le sont moins. Les lignes cumulées ne sont pas symétriques même ici — 62,88 % contre 56,65 % — parce que la ligne « au plus » contient tout le k = 4 tandis que la ligne « au moins » le contient aussi, et qu’en dessous du maximum la distribution est plus mince qu’au-dessus.

3. Le même taux sur trois heures

   1. Le taux vaut toujours 4 par heure, mais l’intervalle est maintenant de trois heures, donc lambda = 4 × 3 = 12
   2. P(X = 3) = e⁻¹² × 12³ / 3 ! = 0,0000061 × 1 728 / 6 = 0,0018, soit 0,18 %
   3. Au plus trois vaut 0,23 % et au moins trois vaut 99,95 %
   4. La moyenne vaut 12 et la variance aussi, ce qui donne un écart type de √12 = 3,46

   C’est l’exemple qui sépare les deux champs de saisie : rien n’a changé sinon la longueur de la fenêtre, et la réponse est passée de 19,54 % à 0,18 %. Les deux champs sont nécessaires parce que le paramètre est leur produit, et une page qui ne prendrait que le taux donnerait la même réponse pour une heure et pour une journée. Les lignes de synthèse suivent le mouvement — avec douze événements attendus, trois se situe à plus de deux écarts types sous la moyenne, et c’est pourquoi la ligne « au moins » est désormais quasi certaine.

4. Un événement par heure, et rien ne se produit

   1. Avec lambda = 1, la probabilité d’exactement zéro événement vaut e⁻¹ = 0,3679, soit 36,79 %
   2. Demander « au plus zéro » pose la même question, donc cette ligne répète le même nombre
   3. « Au moins zéro » couvre tous les comptes possibles, donc c’est exactement 100 % — et non 99,99 %
   4. La moyenne et la variance valent toutes deux 1, et l’écart type vaut 1

   Un lambda de un est le point de départ des manuels, et il produit le nombre le plus contre-intuitif de la page : plus d’une fois sur trois, un processus qui fait un événement par heure en moyenne n’en produit aucun. La ligne « au moins » mérite elle aussi d’être lue — elle vaut exactement 100 %, parce que « zéro ou plus » est toute la distribution, et une page qui la calculerait en soustrayant d’une somme cumulée pourrait facilement renvoyer 99,99 % à la place. Zéro événement est par ailleurs une réponse légitime à avoir demandée, et c’est pourquoi le champ du compte commence à zéro plutôt qu’à un.

Le modèle de Poisson repose sur deux hypothèses qui échouent en silence, et toutes deux méritent d’être vérifiées avant de faire confiance aux nombres. Les événements doivent être indépendants les uns des autres, et ils doivent arriver à un taux qui ne dérive pas à l’intérieur de l’intervalle que vous fixez. L’indépendance tombe dès que les arrivées partagent une cause — les appels affluent pendant une panne, les défauts se regroupent sur un même rouleau de tissu, les accidents se concentrent par mauvais temps — et le symptôme est que les comptes réels sont plus dispersés que la page ne le prévoit, avec plus d’intervalles vides et plus d’intervalles très chargés que le modèle ne l’autorise. Un taux qui dérive échoue dans l’autre sens : un centre d’appels avec une nuit calme et une matinée chargée n’a pas un taux horaire unique, et faire la moyenne des deux produit un nombre qui ne décrit ni l’un ni l’autre. Au-delà des hypothèses, deux limites sont appliquées plutôt qu’expliquées. La longueur de l’intervalle et le taux peuvent chacun être saisis jusqu’à des bornes raisonnables, mais leur produit est plafonné, parce qu’un nombre attendu de l’ordre du million fait arrondir à zéro toutes les probabilités du panneau et que la page préfère refuser plutôt qu’imprimer un tableau de zéros. Le compte lui-même doit être un nombre entier. Il n’y a pas non plus de tableau de référence des probabilités de Poisson ici : le tableau que l’on souhaite aurait une ligne par valeur de la moyenne, et la moyenne dépend du taux et de l’intervalle que vous avez saisis, si bien qu’un tableau imprimé répondrait à une autre question que le panneau au-dessus de lui.

Quelle est la différence entre la loi de Poisson et la loi binomiale ?

La loi binomiale compte des succès sur un nombre d’essais fixé, donc son compte ne peut pas dépasser ce nombre ; la loi de Poisson compte des événements qui arrivent d’eux-mêmes, donc il n’y a ni borne supérieure ni nombre d’essais à saisir. La loi binomiale demande deux entrées — combien d’essais et la probabilité de chacun — tandis que cette page demande un taux et un intervalle, qui se combinent en un seul nombre attendu. Les deux s’accordent dans le cas étroit où le nombre d’essais est grand et la probabilité de chacun petite, et c’est pourquoi les événements rares se décrivent indifféremment de l’une ou l’autre façon en pratique. Prenez la loi binomiale quand vous pouvez nommer les occasions, et la loi de Poisson quand les événements arrivent simplement.

Pourquoi la moyenne égale-t-elle la variance ici ?

Parce que cette identité est ce sur quoi le modèle est bâti et non une coïncidence des exemples : pour un compte de Poisson, la moyenne et la variance valent le même nombre, lambda, donc l’écart type est toujours la racine carrée de la moyenne. Cela donne un moyen rapide de tester si le modèle convient : prenez un ensemble de comptes observés, divisez leur variance par leur moyenne, et si le rapport dépasse nettement un, les comptes sont regroupés plutôt qu’indépendants, tandis qu’un rapport bien inférieur à un signifie qu’ils sont plus réguliers que le hasard ne le ferait. Aucun des deux cas ne se corrige en saisissant d’autres nombres — cela signifie que le processus n’est pas poissonnien.

Pourquoi « au plus k » et « au moins k » ne sont-ils pas complémentaires ?

Parce que les deux lignes contiennent le compte exactement k, donc les additionner compte cette issue deux fois. Sur l’exemple ci-dessus, au plus trois vaut 43,35 % et au moins trois vaut 76,19 %, ce qui fait 119,54 % — et l’excédent au-delà de 100 % est exactement les 19,54 % de trois événements. C’est la même arithmétique qu’avec un compte binomial et le même piège : lire « au moins » comme un moins « au plus » se trompe de la probabilité sur laquelle vous avez posé la question. Si vous voulez un vrai complément, prenez la valeur « au plus k − 1 », ou lisez les trois lignes ensemble en vérifiant qu’exactement k comble l’écart entre les deux autres.

Quand un compte est-il réellement poissonnien ?

Quand les événements sont indépendants, que le taux est stable sur l’intervalle et que les événements sont rares au regard des occasions qu’ils ont de se produire. L’indépendance est l’hypothèse qui fait le travail et celle qui tombe le plus souvent, parce que le regroupement est facile à manquer à partir de nombres de synthèse : une usine qui déclare le même total mensuel de défauts chaque mois peut malgré tout avoir des journées noires et des journées calmes, et ce regroupement se manifestera par des comptes plus variables que cette page ne le prévoit. Le contrôle pratique est celui de la réponse précédente — comparez la variance d’un ensemble de comptes à leur moyenne. Si elles sont proches, le modèle décrit bien la situation ; si elles sont très éloignées, aucun choix de taux ne le corrigera.

Que se passe-t-il quand le taux est nul ?

Rien ne peut se produire sur l’intervalle, donc le compte de zéro a une probabilité de 100 % et tous les autres comptes ont une probabilité de 0 %. La page l’annonce plutôt que d’échouer : un taux nul, ou un intervalle de longueur nulle, donnent tous deux un lambda de zéro sans événement attendu, et demander un événement ou plus renvoie 0 % tandis que demander zéro renvoie 100 %. Il vaut la peine de savoir que ce cas est traité explicitement, parce que la formule telle qu’elle est écrite contient un facteur zéro puissance k et un moins l’infini venu du logarithme, et qu’une implémentation qui l’évaluerait naïvement produirait un résultat dénué de sens au lieu de la réponse évidente.

Pourquoi n’y a-t-il pas de tableau des probabilités de Poisson sur cette page ?

Parce que chaque ligne d’un tel tableau appartient à une valeur différente de la moyenne, et qu’ici la moyenne est le produit des deux nombres que vous saisissez. Un tableau imprimé serait juste pour un taux et un intervalle donnés et faux pour toutes les autres combinaisons, si bien qu’il répondrait à une autre question que le panneau — et là où les deux seraient en désaccord, c’est le panneau qui aurait raison. Le panneau est le tableau : les trois lignes de probabilité sont les valeurs exacte, au plus et au moins pour la moyenne que vous avez fixée, et changer le taux ou l’intervalle les recalcule. Les tableaux de référence méritent leur place sur les pages dont les lignes ne dépendent d’aucune entrée, comme un barème de notation ou un jeu de seuils.

• 4.3 Binomial Distribution — Introductory Statistics 2e (the fixed number of independent trials with a constant success probability, which is precisely the constraint a Poisson count does not have) — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the density, the role of the mean and standard deviation, and the standard normal as the reference case a large-mean Poisson count approaches) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (what it means for a count to have a distribution, and how probabilities are read off the outcomes it assigns them to) — National Institute of Standards and Technology (NIST)