Calculatrice de la loi binomiale

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k) où C(n, k) = n ! / (k ! (n − k) !)

n

Le nombre d’essais, jusqu’à 1 000 — des répétitions indépendantes du même événement à deux issues. La limite est une borne de performance et non une borne mathématique : la loi binomiale est parfaitement définie bien au-delà, mais les comptes de cette page grandissent avec n et une page qui se bloque vaut moins qu’une page qui refuse

k

Le nombre de succès sur lequel porte votre question. Il ne peut pas dépasser n, car plus de succès que d’essais n’est pas une issue improbable mais une demande impossible

p

La probabilité de succès d’un seul essai, saisie en pourcentage de 0 à 100. Elle est la même à chaque essai, et c’est ce qui rend les essais échangeables et le compte binomial

C(n, k)

Le coefficient binomial : de combien de façons k succès peuvent se répartir sur n essais. C’est la raison pour laquelle les comptes du milieu sont les plus probables — un compte proche du centre peut se répartir d’un nombre de façons bien plus grand qu’un compte extrême

p^k · (1 − p)^(n − k)

La probabilité d’une répartition particulière de k succès et n − k échecs. La multiplication par le nombre de répartitions transforme « une répartition » en « n’importe laquelle des répartitions »

np

La moyenne du nombre de succès. La variance est np(1 − p) et l’écart type en est la racine carrée ; ce sont les trois dernières lignes du panneau

Utilisez-la quand les essais se comptent au lieu de se mesurer : combien de composants sur 20 passent le contrôle, combien de lancers francs sur 12 rentrent, quelle est la probabilité d’une série d’au moins 8 faces sur 10 lancers. Les deux lignes cumulées sont celles que l’on prend en pratique, parce qu’un objectif est presque toujours un seuil — au moins k pour franchir un contrôle qualité, au plus k pour rester dans un budget — et lire un seuil sur la ligne du compte exact oblige à additionner les comptes à la main. Prenez un autre outil quand le nombre d’essais n’est pas fixé à l’avance (c’est une autre loi), quand la probabilité de succès change d’un essai à l’autre, ou quand les essais s’influencent mutuellement ; c’est le troisième cas qui casse le plus souvent l’hypothèse en pratique.

1. Dix essais, trois succès, une probabilité de 50 % à chaque fois

   1. Il y a C(10, 3) = 120 façons de placer trois succès parmi dix essais
   2. Une répartition a pour probabilité 0,5³ × 0,5⁷ = 1/1 024
   3. 120 / 1 024 = 0,1171875, donc exactement trois succès arrivent dans 11,72 % des cas
   4. En additionnant les comptes de 0 à 3 on obtient 17,19 % au plus ; la moyenne vaut np = 10 × 0,5 = 5

   L’écart entre les deux lignes cumulées est tout l’intérêt de cet exemple : 17,19 % au plus et 94,53 % au moins laissent 11,72 % entre elles, et cette tranche manquante est exactement la probabilité de trois — le compte sur lequel vous avez posé la question. C’est cette arithmétique qui permet d’attraper l’erreur courante consistant à lire « au moins » comme un moins « au plus », ce qui donnerait 82,81 % ici. La moyenne de 5 avec un écart type de 1,58 indique elle aussi que 3 n’a rien de remarquable dans ce dispositif : ce compte se situe un peu plus d’un écart type sous la moyenne.

2. Vingt essais avec une probabilité de 25 % à chaque fois

   1. La moyenne vaut np = 20 × 0,25 = 5 succès
   2. La variance vaut np(1 − p) = 20 × 0,25 × 0,75 = 3,75, et sa racine carrée environ 1,94
   3. Exactement quatre succès a une probabilité de 18,97 %, le compte le plus probable ici
   4. Au plus quatre vaut 41,48 %, et au moins quatre vaut 77,48 %

   Quatre succès est à la fois le compte voisin de la moyenne et le plus probable, et c’est pourquoi les deux lignes cumulées se placent si asymétriquement de part et d’autre : 41,48 % de la distribution se trouve au plus au compte le plus probable. Cette asymétrie est générale et vaut la peine d’être retenue — pour tout compte inférieur ou égal à la moyenne, la probabilité d’être au plus à ce compte est plus grande que l’intuition ne le suggère, parce que la distribution a une longue queue supérieure quand p est petit. Les lignes de synthèse permettent de le voir sans additionner les termes : un écart type de 1,94 autour d’une moyenne de 5 place 4 bien à l’intérieur de la plage ordinaire.

3. Cent essais, aucun succès, une probabilité de 2 % à chaque fois

   1. Avec k = 0 il n’y a exactement qu’une répartition — aucun succès — donc C(100, 0) = 1
   2. Sa probabilité vaut 0,98¹⁰⁰ ≈ 0,1326, donc n’en obtenir aucun arrive dans 13,26 % des cas
   3. Au plus zéro succès est le même événement, donc cette ligne lui est identique
   4. « Au moins zéro succès » contient toutes les issues possibles, donc 100 %

   C’est le cas qui fixe la ligne « au moins ». Au moins zéro succès n’est pas un bord sans information mais une certitude — toute issue compte zéro succès ou plus — donc 100 % est la bonne réponse et non une valeur de remplissage. Lisez les trois lignes ensemble et le décalage d’une unité devient visible : au plus 13,26 % plus au moins 100 % dépasse 100 % parce que le compte exactement nul est à l’intérieur des deux, et la quantité dont elles se recouvrent est justement ces 13,26 %. L’autre moitié de l’exemple est la moyenne : deux succès attendus sur cent semble rassurant, et pourtant n’en obtenir aucun reste environ une fois sur huit.

4. Mille essais avec une probabilité de 50 % à chaque fois

   1. La moyenne vaut 1 000 × 0,5 = 500 succès et la variance 250, donc l’écart type est d’environ 15,81
   2. Exactement 500 succès — le compte isolé le plus probable — a une probabilité de 2,52 %
   3. Au plus 500 vaut 51,26 %, et au moins 500 vaut 51,26 % également, parce que 500 est le centre
   4. Les deux lignes cumulées sont égales ici, ce qui n’arrive qu’à la moyenne

   Deux choses méritent d’être retenues de cet exemple. La première est que le compte isolé le plus probable n’est pas un événement probable : 500 est le sommet de la distribution et n’arrive pourtant qu’environ une fois sur quarante, parce qu’il y a mille comptes différents sur lesquels répartir la probabilité. La seconde est que les deux lignes cumulées sont égales à exactement 51,26 % — un contrôle utile, puisque la distribution est symétrique à la moyenne et que tout écart à l’égalité signale un compte décentré. Notez aussi que la probabilité de 2,52 % est calculée ici à partir de coefficients binomiaux de plusieurs centaines de chiffres, et c’est pourquoi l’outil plafonne le nombre d’essais au lieu de tenter le coup.

Le modèle binomial repose sur trois hypothèses, et quand l’une d’elles tombe les nombres restent plausibles tout en étant faux. Le nombre d’essais doit être fixé à l’avance plutôt que décidé en cours de route, la probabilité de succès doit être la même à chaque essai, et les essais doivent être indépendants les uns des autres — et c’est la troisième qui casse le plus souvent en pratique, parce que des essais issus du même lot, de la même personne ou de la même journée ont tendance à bouger ensemble. Quand les succès se regroupent, la dispersion réelle est plus large que ce que cette page annonce. Deux autres limites méritent d’être énoncées. Le nombre d’essais est plafonné à 1 000, ce qui est une borne de performance et non une borne mathématique : le modèle est défini bien au-delà, mais les comptes grandissent avec le nombre d’essais et une page qui se bloque n’aide personne. Et il n’y a pas de tableau des probabilités par compte sur cette page : le tableau que l’on souhaite aurait une ligne par nombre de succès possible, ce qui dépend des essais et de la probabilité que vous saisissez, et un tableau de référence ici ne peut pas voir ces entrées — les trois lignes du panneau donnent la forme de ce tableau pour les nombres que vous avez choisis.

Pourquoi la ligne « au moins k » n’est-elle pas simplement 100 % moins la ligne « au plus k » ?

Parce que les deux événements ne sont pas complémentaires. Au plus k signifie de zéro à k succès ; au moins k signifie de k à n. Le compte exactement k se trouve dans les deux, donc soustraire l’un de 100 % laisse de côté cette tranche partagée — qui est précisément la probabilité sur laquelle vous avez posé la question. Prenez la ligne « au plus k − 1 » si vous voulez le complément de « au moins k », ou lisez les trois lignes ensemble : exactement k est toujours l’écart entre les deux autres, et cet écart est un contrôle utile sur les trois.

La probabilité de succès peut-elle valoir 0 % ou 100 % ?

Oui, et les deux sont porteuses de sens plutôt que des cas limites. Une probabilité de 0 % signifie que l’événement n’arrive jamais, donc le nombre de succès vaut 0 avec certitude ; une probabilité de 100 % signifie qu’il arrive toujours, donc le compte vaut n avec certitude. Le panneau affiche les lignes 0 % et 100 % qui en résultent, sans détour. Si vous voyez un 0 % uniforme pour un compte que vous attendiez petit mais possible, vérifiez le champ de la probabilité : un 0 saisi là où vous vouliez 10 produit exactement cela.

Pourquoi n’y a-t-il pas de tableau donnant la probabilité de chaque nombre de succès ?

Parce qu’un tel tableau dépend des essais et de la probabilité de succès que vous saisissez, et qu’un tableau de référence sur cette page ne voit pas ces entrées — il est calculé à partir de constantes, donc il afficherait les nombres d’un autre dispositif sous un titre qui ressemble au vôtre. Les trois lignes du panneau de résultats donnent à la place la forme de ce tableau au compte sur lequel vous avez posé la question : le compte exact, tout ce qui est en dessous, tout ce qui est au-dessus. Pour voir la distribution entière, changez le nombre de succès et relisez la ligne du compte exact — ces valeurs sont le tableau, une ligne à la fois.

Qu’apporte la moyenne que la probabilité ne dit pas ?

Elle indique où se situe la distribution, ce qui rend un compte interprétable. Une moyenne de 5 succès avec un écart type de 1,58 fait de 3 un résultat ordinaire, alors que le même compte de 3 face à une moyenne de 12 serait très loin du centre. La moyenne vaut np, la variance vaut np(1 − p) et l’écart type en est la racine carrée : les trois lignes de synthèse sont la distribution décrite par son centre et sa dispersion plutôt que par une probabilité à la fois.

Que se passe-t-il si je demande plus de succès que d’essais ?

La demande est refusée plutôt que suivie d’un 0 %. Plus de succès que d’essais n’est pas une issue improbable — ce n’est pas une issue du tout, et afficher 0 % suggérerait que le modèle l’a envisagée puis écartée. Le panneau signale une erreur, et il en va de même pour un nombre d’essais supérieur à 1 000, refusé comme limite de performance et non parce que les mathématiques s’arrêtent là.

Les essais doivent-ils vraiment être indépendants ?

Oui, et c’est l’hypothèse qui échoue le plus souvent sur des données réelles. Si les succès se regroupent — composants d’un même lot de production, tirs d’un même joueur le même jour, patients d’un même cabinet — alors les essais portent une information les uns sur les autres, et la dispersion réelle du compte est plus large que ne le dit la loi binomiale. La moyenne reste à peu près juste en présence de regroupement, tandis que l’écart type et les probabilités de queue ne le sont plus, si bien que les trois lignes de synthèse sont celles dont il faut se méfier en premier. Un modèle prévoyant une variabilité supplémentaire est le bon outil quand vous savez que les essais se regroupent.

• 1.3.6.6.18. Binomial Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the binomial probability function, its mean np and variance np(1 − p), and the assumptions the model rests on) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 4.3 Binomial Distribution — Introductory Statistics 2e (the fixed number of independent trials with a constant success probability, and the cumulative form used by the at most and at least rows) — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (what it means for a count to have a distribution, and how probabilities are read off the outcomes it assigns them to) — National Institute of Standards and Technology (NIST)